苏教版 第9章《平行四边形》单元测试卷（B）

第9章《平行四边形》单元测试卷（B）

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（2020春•句容市期中）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,

2.（2020春•滨湖区期中）如图，在△ABC中，NA=70°,AC=BC,以点B为旋转中心

把AABC按顺时针旋转一定角度，得到△A8C,点A'恰好落在AC上，连接CC,则N

4CC度数为（）

3.（2020春•连云区期中）如图，在△4BC中，D,E分别是AB,AC的中点，4c=10,F

是QE上一点，连接AF,CF,DF=\.若NAFC=90°,则8c的长度为（）

A.10B.12C.14D.16

4.（2019秋•江阴市期中）在△ABC中，AB=AC=5,点M为BC的中点，N为A8中点，

则MN等于（）

125

A.3B.2C.—D.一

52

5.（2019春•金坛区期中）如图，在△A8C中，BD,CE是△ABC的中线，8力与CE相交

于点。，点凡G分别是80,CO的中点，连接AO.若要使得四边形。EFG是正方形，

则需要满足条作（）

A.AO=BCB.ABA.AC

1

C.AB=ACS.AB±ACD.AO=BCS.AO±BC

6.（2020秋•苏州期末）如图，四边形ABC£＞中，以对角线AC为斜边作RtZ\ACE,连接

BE、DE,BELDE,AC,8。互相平分.若2A8=BC=4,则BD的值为（）

A.2、5B.v弓C.3D.4

7.（2020春•仪征市期末）如图，在△ABC中，ZACfi=90°,AC=4,48=5,。为4c

上的动点，连接BO以A。、8。为边作平行四边形4O8E,则DE长的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2020春•常熟市期末）如图，以正方形A8CZ）的对角线AC为一边作菱形AEFC,点尸

在。C的延长线上，连接AF交8c于点G,则/FGC的度数为（）

A.67.5°B.45°C.60°D.75°

9.（2020春•太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，AD^3AB,且A8=2,点G、H分别在

AD.3c上，连接8G、DH,若四边形B//DG是菱形，则AG的长为（）

810

A.-B.3C.——D.4

33

10.（2020•建邺区一模）某小区打算在一块长80〃?，宽7.5〃?的矩形空地的一侧，设置一排

如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽

度忽略不计）.已知规划的倾斜式停车位每个车位长6〃?，宽2.5〃?，如果这块矩形空地用

于行走的道路宽度不小于4.5机，那么最多可以设置停车位（）

A.16个B.15个C.14个D.13个

2

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

11.（2019秋•阳东区期中）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对

称图形是—.

12.（2020嘀新区一模）如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将沿直线AE折叠,

使点8落在点尸处，连接/C,若/D4尸=18°,则/OCF=度.

上的一点，AQ=24,点E是8c上一点，BE=10,连接。E,M、N分别是AB、OE的

中点，Pl1]MN=.

14.（2019•丹阳市一模）如图，△A8C中，ZACB=90°,。在BC上，E为AB中点，A。、

CE相交于凡AD=DB.若/B=35°,则/。FE等于°.

15.（2020春•揭阳期末）如图，已知AABC中，AB=AC,AO平分NBAC,E是AC的中点,

若AB=6,则。E的长为.

16.（2020春•方城县期中）如图，E为。ABCQ内任一点，且。ABC。的面积为6,则图中阴

影部分的面积为—.

3

17.（2019秋•平顶山期中）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△OOE的直角顶点

。在边8C的中点处，其中NA=NOOE=90°.ZB=45°，Z£>=60°,△OOE绕点

O自由旋转，且OD,OE分别交AB,AC于点M,N当AN=4,NC=2时，MN的长为.

18.（2020春•海陵区校级期中）如图，正方形ABC。中，5为CD上一点（不与C、力重合）.4E

交对角线8。于点F,过点尸作FGLAE交5c于G,连接EG,现有如下结论：①AF

=FG；②EF>DE；③GE=BG+DE；④NFGE=NDAE；⑤在C£）上存在两个符合条

件的E点使CE=CG.以上正确的有（填序号）.

三、解答题（本大题共8小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（2020春•文山州期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶

点叫格点，△ABC的每个顶点都在格点上.

（1）将△ABC向左平移4个单位长度，得到△

画出△A181C1,并写出C1点的坐标.

（2）在平面直角坐标系中，282c2与aABC

关于原点O成中心对称，请画出AA282c2.

（3）在x轴上是否存在点尸，使B4+PC的长度最

短？如果存在，请在平面直角坐标系中作出点P,

并保留作图痕迹，若不存在，请说明理由.

20.（2011春•萧山区期末）在证明三角形中位线性质“如图，已知EF是aABC的中位线,

求证：EF//BC,EF=：BC”时，小雨根据老师的引导给出了一种思路：延长E尸至D,

使EF=DF,连接AO、CE,证明四边形AECD是平行四边形即可.

小婷思考后认为小雨的思路是正确的，可行的.

你能在这样的思路下完成证明吗？请写出你的证明过程.

R

4

21.（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABC。中，AC和BO相交于点O,过点O的线段EF

与一组对边AB,CO分别相交于点E,F.

（1）求证：AE=CFy

（2）若A2=2,点E是A8中点，求EF的长.

22.（2019秋•梁平区期末）如图，口48。0中,CG1AB于点G,NA8F=45°，/在CD

上，BF交CG于点、E,连接AE,AE1.AD.

(1)若BG=1,BC=>fl0,求EF的长度;

(2)求证：AB->/2BE=CF.

23.（2020春•文山州期末）如图1,已知点8、C、。在同一条直线上，△A8C和△CDE都

是等边三角形，BE交AC于点F,AO交CE于点从

（1）求出/ACE的度数；

（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

（3）若将△CQE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否

还成立，试说明理由.

5

24.(2020•丰台区二模)如图，矩形ABC£>,延长C。至点E,使DE=C£>,连接AC,AE,

过点C作CF//AE交AD的延长线于点F,连接EF.

(1)求证：四边形ACFE是菱形；

(2)连接BE交AO于点G.当AB=2,ZACB=30°时，求8G的长.

25.(2020春•焦作期末)如图，在。A8CD中，点。是边8C的中点，连接。。并延长，交

AB的延长线于点E,连接8。，EC.

(1)求证：四边形8ECD是平行四边形；

(2)当NBOD=°时，四边形BEC。是菱形；

(3)当乙4=50°,则当NBOO=°时，四边形BECO是矩形.

26.(2020•临沂)如图，菱形ABCO的边长为1,/ABC=60°,点E是边AB上任意一点

(端点除外)，线段CE的垂直平分线交80,CE分别于点凡G,AE,EF的中点分别为

M,N.

(1)求证：AF=EF；

(2)求MN+NG的最小值；

(3)当点E在A2上运动时，/CEF的大小是否变化？为什么？

6

一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（2020春•句容市期中）随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多,

下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

【解析】人是中心对称图形，故本选项符合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：A.

2.（2020春•滨湖区期中）如图，在aABC中，ZA=70°,AC=BC,以点B为旋转中心

把△A8C按顺时针旋转一定角度，得到△4BC,点4恰好落在AC上，连接CC,则/

ACC度数为（）

【分析】由NA=70°,AC=BC,可知/AC8=40°,根据旋转的性质，A8=B4',BC

=BC',ZCBC1=Za=40°,ZBCC'=70°,于是N4CC'=ZACB+ZBCC'=

110°.

【解析】VZA=70°,AC=BC,

：.ZBCA=40c,

根据旋转的性质，AB-BA',BC=BC,

7

AZa=180°-2X70°=40°,

:NCBC'=Na=40°,

ZBCC'=70。,

AACC'=ZACB+ZBCC1=110°；

故选：A.

3（2020春•连云区期中）如图,在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，AC=10,F

是DE上一点,连接4F,CF,DF=1,若NAR7=90°,则BC的长度为（）

A.10B.12C.14D.16

【分析】先证明防=5,继而得到。E=6；再证明。石为△ABC的中位线，即可解决问

题.

【解析】如图，・・・NAFC=90°,E是AC的中点,

・—。尸中,EF=1AC=5x10=5,

1+5=6；

,：D,E分别是A3,AC的中点,

・・・。七为△48C的中位线，

J8C=2DE=\2,

故选：B.

4.（2019秋•江阴市期中）在aABC中，A8=AC=5,点M为BC的中点，N为AB中点、,

则MN等于（）

125

A.3B.2C.D.-

52

8

【分析】根据三角形中位线定理计算即可.

【解析】

:点M为8c的中点，N为AB中点，

是△48C的中位线，

15

-

：.MN=2-Ac=2

故选：D.

5.（2019春•金坛区期中）如图，在△48C中，BD,CE是△ABC的中线，8力与CE相交

于点O,点凡G分别是8。，CO的中点，连接AO.若要使得四边形。£FG是正方形,

则需要满足条作（）

B.ABLAC

C.AB=AC^.ABLACD.AO=BC^.AOLBC

【分析】根据三角形中位线定理得到DE=WBC,DE//BC,FG=±BC,FG//BC,得到

四边形DEFG为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可.

【解析】..•点E、。分别为A3、AC的中点，

：.DE=\BC,DE//BC,

•.•点尸、G分别是80、C。的中点，

:.FG=±BC,FG//BC,

：.DE=FG,DE//FG,

四边形DEFG为平行四边形，

•.•点E、F分别为AB、OB的中点，

9

：.EF=^OA,EF//OA,

当EF=FG,即AO=BC时平行四边形DEFG为菱形，

当AO_LBC时，DE1.0A,

'：EF//OA,

:.EFLFG,

...四边形。EFG为正方形，

则当40=8C且AOJ_BC时，四边形DEFG是正方形，

故选：D.

6.（2020秋•苏州期末）如图，四边形A8CQ中，以对角线AC为斜边作RtZ\ACE,连接

BE、DE,BEA.DE,AC,互相平分.若2AB=BC=4,则BZ）的值为（）

【分析】连接OE，由AC,互相平分得出四边形ABC。是平行四边形，由直角三角

形斜边上的中线性质推出AC=BO,则四边形438是矩形，再由勾股定理即可得出结

果.

【解析】连接。E,如图所示：

'：2AB=BC=4,

•\AB=2,

"：AC,8。互相平分，

：.OA=OC,OB=OD,四边形A8CZ）是平行四边形，

以AC为斜边作RtAACE,

：.OE^OA=OC=^AC,

•；BELDE,

10

1

：.OE=OB=OD=~BD,

：.AC=BD,

，四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC=4,NBAD=90°,

：.BD=vXB'+AD二=、/2二+4==2V5

故选：A.

B

7.（2020春•仪征市期末）如图，在△ABC中，ZACB=9Q°,AC=4,AB=5,。为AC

上的动点，连接B。以A。、8。为边作平行四边形AOBE,则。E长的最小值为（）

C.4D.5

【分析】由勾股定理可去8c=3,由平行四边形的性质可得BE//AC,由平行线之间的

距离和垂线段最短可得当。EL4。时，OE有最小值，即可求解.

【解析】如图，

；N4CB=90°,AC=4,AB=5,

：.BC=\!AB2-AC-=V25-16=3,

•.•四边形是平行四边形,

11

J.BE//AC,

...当£>E_LA。时，OE有最小值，

...OE有最小值为3,

故选：B.

8.（2020春•常熟市期末）如图，以正方形ABCC的对角线AC为一边作菱形AEFC,点F

在QC的延长线上，连接AF交BC于点G,则/FGC的度数为（）

【分析】由正方形的性质和菱形的性质可得/CAB=45°=/ACB,NA8C=90°,Z

CAF=NE4F=[/CA8=22.5°,由三角形的外角性质可求解.

【解析】•••四边形A8CQ是正方形，

：.ZCAB=45Q=NACB,NABC=90°,

•••四边形AEFC是菱形，

AZCAF^ZEAF=|ZCAB=22.5°,

ZFGC=ZACB+ZCAF=61.5°,

故选：A.

9.（2020春•太仓市期末）如图，在矩形ABCD中，AO=348,且48=2,点G、H分别在

AD.8c上，连接BG、DH,若四边形8HDG是菱形，则AG的长为（）

D.4

【分析】首先根据菱形的性质可得8G=GQ,然后设AG=y，则GQ=BG=6-y,再根

据勾股定理可得丁+22=（6-丫）2解答即可.

12

【解析】•••四边形BGO”是菱形,

：.BG=GD,

3A8,且AB=2,

：.AD=6,

设AG=y,则GO=BG=6-y,

在Rt^AGB中，AG2+AB2=GB2,

8

解得-

=3

故选：A.

10.（2020•建邺区一模）某小区打算在一块长80〃?，宽75〃的矩形空地的一侧，设置一排

如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位,相邻车位间隔线的宽

度忽略不计）.已知规划的倾斜式停车位每个车位长6〃?，宽25",如果这块矩形空地用

于行走的道路宽度不小于45",那么最多可以设置停车位（)

14个D.13个

【分析】根据题意可得当AC=3时，AD=GF=6,得NA£）C=30°,CD=3®根据

Z）E=2.5可得。尸=5,设最多可以设置停车位x个，进而根据x个平行四边形的面积加

上两个三角形的面积小于等于矩形面积列出方程即可求出x的值.

13

根据题意可知：

A3=7.5,BC24.5,

・・・ACW3,

当AC=3时，

<AD=GF=6,

AZADC=30°，CD=35

：.ZEFD=ZADC=30Q,

VDE=2.5,

：.DF=5,

设最多可以设置停车位1个，根据题意可得，

,**S平行四边形ADEGU。尸・AC=5X3=15,

IQ.g

S^ADC=xCDMC=受，

.\15x+2x^<80X3,

解得xW14.96,

所以最多可以设置停车位14个.

故选：C.

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上

11.（2019秋•阳东区期中）在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这儿个图形中，中心对

称图形是线段、圆.

【分析】直接利用中心对称图形的定义分析得出答案.

【解析】在“线段、等腰三角形、四边形、圆”这几个图形中，中心对称图形是：线段、

圆.

故答案为：线段、圆.

12.（2020•高新区一模）如图，矩形ABC。中，E为BC的中点，将△ABE沿直线4E折叠,

使点8落在点尸处，连接FC,若/D4F=18°,则N£>CF=36度.

14

【分析】由折叠的性质得：FE=BE,/瑛E=NBAE,ZAEB^ZAEF,求出NBAE=N

雨E=36°,由直角三角形的性质得出/AE尸=Z4EB=54°,求出/CE尸=72°,求出

FE=CE,由等腰三角形的性质求出NECF=54°,即可得出NQCF的度数.

【解析】•••四边形ABCD是矩形，

:.NBAD=NB=NBCD=90°,

由折叠的性质得：FE=BE,NFAE=NBAE,NAEB=NAEF,

'：ZDAF=\8°,

：.ZBAE=ZFAE=^(90°-18°)=36°,

：.ZAEF=ZAEB=90°-36°=54°,

AZC£F=180°-2X54°=72°,

；E为BC的中点，

；.BE=CE,

：.FE=CE,

1

：.NECF=*(1800-72°)=54°,

：.ZDCF=900-NECF=36°；

故答案为：36.

13.(2020春•市中区期末)如图，已知在RtZiABC中，ZACB=90°,点。是AC延长线

上的一点，A£>=24,点E是BC上一点，BE=10,连接QE,M、N分别是AB、QE的

中点，则MN=13.

15

A

【分析】连接BQ,取的中点F,连接MF、NF,证明NF、MF分别是△8DE、/\ABD

的中位线，由三角形中位线定理得出N尸〃BE,MF//AD,NF=±BE=5,MF=^AD=\2,

证出NF_LMF,在中，由勾股定理即可得出答案.

【解析】连接8。，取BQ的中点F,连接MF、NF,如图所示:

N、F分别是AB、DE、BQ的中点,

:.NF、MF分别是△8OE、△ABO的中位线，

J.NF//BE,MF//AD,NF=《BE=5,MF=^40=12,

VZACB=90°,

：.AD±BC,

'：MF//AD,

：.MF±BC,

'：NF//BE,

C.NFLMF,

在Rt^MN尸中，由勾股定理得：MN=\NF-+MF:=v5:+12:=13；

故答案为：13.

16

A

14.（2019•丹阳市一模）如图，/XABC中，ZACB=90°,。在BC上，E为AB中点,AD.

CE相交于F,AD=DB.若NB=35°,则NQFE等于105°.

【分析】根据/E尸£）=/AOC+/Z）CF,只要求出乙4£>C,NOCF即可解决问题.

【解析】VZACB=90°AE=EB,

：.CE=EB=AE,

：.ZB=ZECB=35°,

'JDB^DA,

；.NB=/D4B=35°,

/.ZADC=ZB+ZDAB=1Q°,

；.NEFD=NADC+NECB=105°,

故答案为105.

15.（2020春•揭阳期末）如图，已知△ABC中，AB=AC,A。平分NBAC,E是AC的中点,

若AB=6,则DE的长为3.

【分析】根据等腰三角形的性质可得ADVBC,再根据在直角三角形中，斜边上的中线

17

等于斜边的一半可得答案.

【解析】"：AB=AC,AD平分NBAC,

：.ADLBC,

：.ZADC=90°,

•点E为AC的中点，

：.DE=^AC=3.

故答案为：3.

16.（2020春•方城县期中）如图，E为。ABCD内任一点，且FBCD的面积为6,则图中阴

【分析】根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半.所

以S阴影=四边形

【解析】设两个阴影部分三角形的底为AB,CD,高分别为加，〃2,则〃1+比为平行四边

形的高，

/eS^EAB+S^ECD=当AB・hi+±CD・h2=（Z?i+/z2）

11

=5s四边形A8C0=5x6=3.

故答案为：3.

17.（2019秋•平顶山期中）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△OOE的直角顶点

。在边BC的中点处，其中/A=NOOE=90°.ZB=45°,ZD=60°,△OOE绕点

。自由旋转，且。。，0E分别交AB,AC于点M,N当AN=4,NC=2时，MN的长为

2y5.

18

A

【分析】如图，连接AO,作O”J_4c于H.首先证明△。历N是等腰直角三角形，求出

ON即可解决问题.

【解析】如图，连接A。，作4c于”.

'：AB=AC,ZBAC=90°,OB=OC,

：.AOLBC,NBAO=NC=45°,OA=OB=OC,

VZD（9E=ZAOC=90°,

NAOM=NCON,

：./XAOM^/^CON（AS4）,

：.OM=ON,

"：AN=4,NC=2,

；.AC=6,

VZAOC=90°,OA=OC,OHA.AC,

：.AH=HC=3,OH=AH=CH=3,

:.HN=AN-AH=4-3=1,

：.ON=OM=VO/f2+HN-=V3:+1==V10.

:.MN=V2ON=2、亏，

故答案为2店.

18.（2020春•海陵区校级期中）如图，正方形ABC。中，E为CO上一点（不与C、D重合）.4E

交对角线BD于点F,过点尸作FGLAE交BC于G,连接EG,现有如下结论：@AF

=FG；②EF>DE：③GE=BG+DE；④NFGE=NDAE；⑤在CO上存在两个符合条

件的E点使CE=CG.以上正确的有①⑶⑷（填序号）.

19

【分析】如图①，连接C凡由“SAS”可证△AB/名△C3R可得AF=CRZBAF=Z

BCF,可得AF=FG,如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△48”，由“S4S”可证

/\AHG^AAEG,可得HG=EG,由全等三角形的性质和正方形的性质依次判断可求解.

【解析】如图①，连接C凡

ZABF=ZCBF=45Q,

在△A8尸和△CB尸中,

AB=BC

乙4BF=乙CBF=45。，

(BF=BF

：.(SAS),

：.AF=CF,NBAF=NBCF,

・・・FG-LAE,

・••在四边形4BGE中，NBAF+/BGF=360°-90°-90°=180°,

又・・・N8Gb+NCG/=180°，

・・・NBAF=ZCGF,

:./CGF=/BCF,

:・CF=FG,

：.AF=FG,故①正确;

20

•?ZDFE=ZADF+ZDAE=45°+ZDAE>ZFDE,

：.DE>EF,故②错误；

如图②，把△4OE顺时针旋转90°得至IJaABH,贝UAH=AE,BH=DE,ZBAH^ZDAE,

••.△APG是等腰直角三角形，

：.ZEAG=45Q,

.../HAG=/84G+/£>AE=90°-45°=45°,

：.ZEAG^ZHAG,

在AAHG和AAEG中，

AH=AE

乙EAG=zJ/AG>

\AG=AG

AAAHG^AAEG(SAS),

：.HG=EGf

•：HG=BH+BG=DE+BG=EG,故③正确；

：AF=FG,AF±FGf

.e.ZMG=ZFGA=450,

MAHGeXAEG,

：.ZAGH=ZAGE=ZAGF+ZEGF=45°+NFGE,

,:AD〃BC,

：.ZDAG=ZAGHf

：.ZDAG=ZAGE=45°+ND4E,

：.ZDAE=ZFGE,故④正确；

•・•在CD上存在1个符合条件的E点使CE=CG,

21

.•.⑤错误，

故答案为①③④.

三、解答题(本大题共8小题，共64分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

19.(2020春•文山州期末)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶

点叫格点，△ABC的每个顶点都在格点上.

(1)将△ABC向左平移4个单位长度，得到△AIBICI,画出△A181C1,并写出。点的

坐标.

(2)在平面直角坐标系中，/XAiBiCi与△ABC关于原点。成中心对称，请画出△A282c2.

(3)在x轴上是否存在点P,使出+PC的长度最短？如果存在，请在平面直角坐标系中

作出点P，并保留作图痕迹，若不存在，请说明理由.

【分析】(1)分别作出A,B,C的对应点Ai,Bi,Ci即可.

(2)分别作出A,B,C的对应点A2,Bl,C2即可.

(2)作点C关于x轴的对称点C,连接AC交x轴于点P,连接PC,此时PA+PC

的值最小.

【解析】(1)如图，△481。即为所求，Ci点的坐标(1,1).

(2)如图，282c2即为所求.

(3)如图，点P即为所求.

22

20.（2011春•萧山区期末）在证明三角形中位线性质”如图，已知EF是AABC的中位线,

求证：EF//BC,EF=：8C”时，小雨根据老师的引导给出了一种思路：延长EF至

使EF=OF,连接A。、CE,证明四边形是平行四边形即可.

小婷思考后认为小雨的思路是正确的，可行的.

你能在这样的思路下完成证明吗？请写出你的证明过程.

【分析】延长EF至。，使EF=DF,连接A。、CE,CD,证明四边形AECQ是平行四

边形即可.

【解析】证明：延长EF至。，使EF=OF,连接A。、CE,CD,

；EF=DF,AF=CF,

.♦•AECQ是平行四边形

J.AB//CD,AE=CD,

：.BE=CD

四边形BEDC是平行四边形

J.ED//BC,J.ED=BC

I

：.EF//BC,EF=*BC.

23

21.（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形A3CQ中，AC和30相交于点O,过点0的线段EF

与一组对边AB,C。分别相交于点£F.

（1）求证：AE=CF\

（2）若AB=2,点E是A3中点，求所的长.

【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，可得AB//CD,OA=OC,继而证得

COF,则可证得结论.

（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可.

【解析】（1）证明：・・•四边形A3CO是菱形，

：.AO=CO.AB//CD,

：.ZEAO=NFCO,/AEO=/CFO.

在△OAF和△OC/中，

LEAD=LFCO

AO—CO，

LAEO=乙CFO

：.AAOE^ACOF,

:・AE=CF；

（2）・・・E是45中点，

：・BE=AE=CF.

9：BE//CF,

・・・四边形BEFC是平行四边形，

,.・A3=2,

24

：.EF=BC=AB=2.

22.(2019秋•梁平区期末)如图，nABCD中，CG_LAB于点G,NA8F=45°,/在C£)

上，BF交CG于点E,连接AE,AELAD.

(1)若BG=1,BC=回,求EF的长度；

(2)求证：AB->/2BE^CF.

【分析】(1)根据BG=1,BC=v'TO,利用勾股定理可以得到CG的长，再根据等腰三

角形的性质可以得到GE的长，从而可以得到EF的长；

(2)要证明结论成立，只要作辅助线于点H,利用勾股定理得到BH=V2BE,

再利用三角形的全等和平行四边形的性质即可得到结论成立.

【解析】(1)'：CG±AB,BG=1,BC=\T0,

：.CG=v'BC--=J(VIO)=-1-=3.

VZABF=45°,

...△BGE是等腰直角三角形，

:.EG=BG=1,

:.EC=CG-EG=3-1=2,

;在平行四边形中，ABHCD,N4BF=45°,CGA.AB,

：.ZCFE=ZABF=^,NFCE=NBGE=9G°,

A£CF是等腰直角三角形，

；.EF=\!ECZ+CF2=v'2:+2:=2、②

(2)证明：过E作EH_L8E交AB于H,

「/AB尸=45°,NBEH=90°,

25

，/\BEH是等腰直角三角形,

：.BH=7BEXEH二=迎BE,BE=HE,

:./BHE=45°,

AZAHE=180°-ZBH£=180°-45°=135°,

由（1）知，AiBGE和都是等腰直角三角形,

：.ZBEG=45°,CE=CF,

AZBEC=180°-ZBEG=180°-45°=135°,

/AHE=NCEB,

AZDAE=90°,

ZBAD=ZDAE+ZEAB=90Q+ZEAB,

由（1）知，NFCE=90°,

・•・/BCD=NFCE+NBCG=90°+NBCG,

•・,在平行四边形48co中，/BAD=NBCD,

/.90°+NEAB=90°+NBCG,

:・/EAB=/BCG,

即NE4”=NBCE,

在△△£：4”和△3CE中，

\cEAH=乙BCE

Z.EHA=乙BEC

\EH=BE

：./\EAH^ABCE（AAS）,

:.AH=CE=CF,

・・.AB-y/2BE=AB-BH=AH=CF,

即AB-\r2BE=CF.

26

BGHA

23.(2020春•文山州期末)如图1,己知点B、C、。在同一条直线上，ZXA8C和△CDE都

是等边三角形，8E交AC于点F,AZ)交CE于点H.

(1)求出/ACE的度数；

(2)请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；

(3)若将aCQE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，(2)中的结论是否

还成立，试说明理由.

【分析】(1)由等边三角形的性质得出NAC8=NECQ=60°,则可求出NACE=60°；

(2)依据等边三角形的性质可得到BE=AD,CE=CD,N4CB=/ECD=60°,然后

可证明NACD=NBCE=120°,依据SAS可证明△BCEZZiAC。；

(3)(2)中的结论还成立.证明方法同(2).

【解析】(1)•.•△48C和△CDE都是等边三角形，

...NACB=NEC£>=60°,

•.•点B、C、。在同一条直线上，

；./ACE=180°-ZACB-Z£CZ)=180°-60°-60°=60°；

(2)ABCE^AACD.

理由：「△ABC和△CEO都是等边三角形，

ZBC4=ZDC£=60°,BC=AC,CE=CD,

：.ZBCE=ZACD,

在△BCE和△AC。中,

27

BC=AC

乙BCE=乙4CD，

(CE=CD

：./\BCE^/\ACD(SAS)；

(3)(2)中的结论还成立.

*/匕ABC和△(7£)£：都是等边三角形，

AZACB=ZECD=60°,AC=BC,EC=DC.

：.ZBCE=ZACD,

.•.△BCEW4ACD(SAS).

24.(2020•丰台区二模)如图，矩形A3CO,延长CO至点£使OE=C£),连接AC,AE,

过点。作C/〃AE交AQ的延长线于点F,连接E?

(1)求证：四边形AC正是菱形；

(2)连接8E交A。于点G.当A8=2,ZACB=30°时，求8G的长.

【分析】(1)根据矩形的性质得到N4QC=90°,求得AE=AC,EF=CF,根据平行线

的性质得到N£4£>=NAFC,求得AE=E/=AC=CR于是得到结论；

(2)如图，根据矩形的性质得到NA5C=NBCE=90°,CD=AB,根据直角三角形的

性质得到5。=2、6，CE=4,由勾股定理得到BE=、归。二+CE[=2\7根据全等三角形

的性质即可得到结论.

【解析】(1)证明：•・•四边形ABCQ是矩形，

AZADC=90°,

AAF1CE,

•；CD=DE,

：.AE=ACfEF=CF,

：.ZEAD=ZCAD,

9：AE//CF,

:・/EAD=NAFC,

28

：.ZCAD=ZCFA,

：.AC^CF,

：.AE=EF^AC^CF,

，四边形4CFE是菱形；

(2)解：如图，•••四边形ABC。是矩形，

AZABC=ZBCE=90°,CD=AB,

；A8=2,CD=DE,

:.BC=23CE=4,

：.BE=7BL+CE：=2、7

'：AB=CD=DE,ZBAE=ZEDG=90°,ZAGB=ZDGE,

：./\ABG^/\DEG(A4S),

：.BG=EG,

:.BG=