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文档简介

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节洛必达法则

第三章微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则若两个函数时都趋于零或趋于那么，可能存在，也可能不存在。此种极限称为未定式。分别简记为“商的极限等于极限的商”的法则来计算。此外，还有等共七种类型。未定式等仅是一个习惯记号，没有运算意义。通常这种极限不能用一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)(

在x,a之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,存在(或为)推论1.定理1中换为下列过程之一:推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!洛洛例2.

求解:

原式＝本题第二步也可用等价无穷小替换来做，在求极限时将洛必达法则与等价无穷小替换结合起来，会大大提高解题效率.例3.求解:注意到原式洛例4.求解:原式思考:

如何求

(n为正整数)?洛解：练习二、型未定式存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.例5.求解:原式例6.求解:

(1)n为正整数的情形.原式洛洛洛(2)

n

不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,例6.例5.说明:1)例5,例6表明时,后者比前者趋于更快.例如,事实上用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.3)若例如,极限不存在不能用洛必达法则!即你还打算做下去吗?这样做,分母中x的次数将越来越高,而分子不变,极限始终无法求出.练习解：将原极限稍加变形:练习解：三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例7.求解:原式洛解:原式例8.求通分转化取倒数转化取对数转化洛例9.求解:

利用例7通分转化取倒数转化取对数转化例10.解：例11.解：例5例12.求法1.直接用洛必达法则.下一步计算很繁!法2.利用例5结果.原式例5注对数列极限不能直接用洛必达法则.如：×正确解：内容小结洛必达法则思考与练习1.设是未定式极限,如果是否的极限也不存在?

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