（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第28讲 等比数列及其前n项和（练）原卷版+解析

第28讲等比数列及其前n项和【练基础】1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝()A．4 B.eq\f(5,2)C．2 D.eq\f(1,2)2．已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－eq\f(a\o\al(2,7),2)＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝()A．25 B．16C．8 D．43．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A．8 B．9C．10 D．114．设{an}是首项大于零的等比数列，则“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝()A．1 B．5C.eq\f(31,48) D.eq\f(11,16)6．已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝()A.eq\f(31,16) B．31C.eq\f(15,8) D．7A【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝eq\f(a6,a3)＝eq\f(8a3,a3)＝8，故q＝2.易证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以T5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).7．已知{an}是公差为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，则{an}的前10项和S10＝()A．165 B．138C．60 D．308．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于()A．－2 B．－1C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)9．已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则q＝________.10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于________．【练提升】1．已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1＋3a3＝eq\f(7,2)，S3＝eq\f(7,2)，则a4＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．4 D．82．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝－27，则a5＝()A．81 B．24C．－81 D．－243．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是()A．q＝3 B．数列{Sn＋2}是等比数列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)4．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝()A．2 B．4C．6 D．85．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－eq\f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n的值为()A．2 B．3C．4 D．66．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3a9＝2aeq\o\al(2,5)，a2＝1，则a1＝________.8．在数列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.

第28讲等比数列及其前n项和【练基础】1．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝()A．4 B.eq\f(5,2)C．2 D.eq\f(1,2)【答案】C【解析】由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1·a1q4＝16，,a1q＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－1，,q＝－2))(舍去)，故选C.2．已知各项均不为0的等差数列{an}满足a3－eq\f(a\o\al(2,7),2)＋a11＝0，数列{bn}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝()A．25 B．16C．8 D．4【答案】B【解析】由a3－eq\f(a\o\al(2,7),2)＋a11＝0，得2a7－eq\f(a\o\al(2,7),2)＝0，a7＝4，所以b7＝4，b1·b13＝beq\o\al(2,7)＝16.3．公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为()A．8 B．9C．10 D．11【答案】C【解析】由题意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∵a1am＝a5a6＝9，∴m＝10.4．设{an}是首项大于零的等比数列，则“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】设公比为q，若aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)，则aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,1)q2，即q2>1，则q>1或q<－1，当q<－1时，数列为摆动数列，则“数列{an}为递增数列”不成立，即充分性不成立，若“数列{an}为递增数列”，则a1<a2，∵a1>0，∴a2>0，则“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”成立，即必要性成立，则“aeq\o\al(2,1)<aeq\o\al(2,2)”是“数列{an}为递增数列”的必要而不充分条件．5．已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝()A．1 B．5C.eq\f(31,48) D.eq\f(11,16)【答案】D【解析】由题意得eq\f(a11－q3,1－q)＝3a1q2，解得q＝－eq\f(1,2)或q＝1(舍)，所以S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))5,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(11,16).6．已知{an}是等比数列，若a1＝1，a6＝8a3，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Tn，则T5＝()A.eq\f(31,16) B．31C.eq\f(15,8) D．7【答案】A【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q3＝eq\f(a6,a3)＝eq\f(8a3,a3)＝8，故q＝2.易证数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以T5＝eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,16).7．已知{an}是公差为3的等差数列，若a1，a2，a4成等比数列，则{an}的前10项和S10＝()A．165 B．138C．60 D．30【答案】A【解析】由a1，a2，a4成等比数列得aeq\o\al(2,2)＝a1a4，即(a1＋3)2＝a1·(a1＋9)，解得a1＝3，则S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10×3＋45×3＝165.故选A.8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于()A．－2 B．－1C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)【答案】B【解析】将已知两式作差得S4－S2＝3a4－3a2，所以a3＋a4＝3a4－3a2，即3a2＋a2q－2a2q2＝0.所以2q2－q－3＝0，解得q＝eq\f(3,2)或q＝－1(舍去)．将q＝eq\f(3,2)代入S2＝3a2＋2，即a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.9．已知等比数列{an}满足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则q＝________.【答案】2【解析】由等比数列的性质得aeq\o\al(2,4)＝a3a5，又因为a3a5＝4(a4－1)，所以aeq\o\al(2,4)＝4(a4－1)，解得a4＝2.又a1＝eq\f(1,4)，所以q3＝eq\f(a4,a1)＝8，解得q＝2.10．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于________．【答案】eq\f(32,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n)))【解析】因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，所以q3＝eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)，则q＝eq\f(1,2)，所以eq\f(anan＋1,an－1an)＝q2＝eq\f(1,4)(n≥2)．所以数列{anan＋1}是以8为首项，eq\f(1,4)为公比的等比数列．所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝eq\f(8\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))n)),1－\f(1,4))＝eq\f(32,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))).【练提升】1．已知等比数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足：a1＋3a3＝eq\f(7,2)，S3＝eq\f(7,2)，则a4＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8)C．4 D．8【答案】A【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q>0.∵a1＋3a3＝eq\f(7,2)，S3＝eq\f(7,2)，∴a1＋3a1q2＝eq\f(7,2)，a1(1＋q＋q2)＝eq\f(7,2)，联立解得a1＝2，q＝eq\f(1,2).则a4＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,4).故选A.2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1a2a3＝－27，则a5＝()A．81 B．24C．－81 D．－24【答案】C【解析】解法一：易知等比数列{an}的公比q≠1，由S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，可得eq\f(a11－q2n,1－q)＝4×eq\f(a11－q2n,1－q2)，解得q＝3.由a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝－27，得a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×33＝－81.故选C.解法二：当n＝1时，S2＝a1＋a2＝4a1，即a2＝3a1，所以q＝3.又a1a2a3＝aeq\o\al(3,2)＝－27，所以a2＝－3，所以a5＝a2q3＝－3×33＝－81.故选C.3．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是()A．q＝3 B．数列{Sn＋2}是等比数列C．S5＝121 D．2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)【答案】ACD【解析】因为a1＝1，a5＝27a2，所以有a1·q4＝27a1·q⇒q3＝27⇒q＝3，因此选项A正确；因为Sn＝eq\f(1－3n,1－3)＝eq\f(1,2)(3n－1)，所以Sn＋2＝eq\f(1,2)(3n＋3)，因为eq\f(Sn＋1＋2,Sn＋2)＝eq\f(\f(1,2)3n＋1＋3,\f(1,2)3n＋3)＝1＋eq\f(2,1＋31－n)≠常数，所以数列{Sn＋2}不是等比数列，故选项B不正确；因为S5＝eq\f(1,2)(35－1)＝121，所以选项C正确；an＝a1·qn－1＝3n－1>0，因为当n≥3时，lgan－2＋lgan＋2＝lg(an－2·an＋2)＝lgaeq\o\al(2,n)＝2lgan，所以选项D正确．4．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＋a3an－2＝256，且前n项和Sn＝126，则n＝()A．2 B．4C．6 D．8【答案】C【解析】因为数列{an}是等比数列，所以a2an－1＝a3an－2＝a1an，又因为a2an－1＋a3an－2＝256，所以a1an＝128，又因为a1＋an＝66.所以a1＝2，an＝64或a1＝64，an＝2.因为Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，且Sn＝126，所以若a1＝2，an＝64，则eq\f(2－64q,1－q)＝126，得q＝2.此时an＝2×2n－1＝2n＝64，n＝6；若a1＝64，an＝2，则eq\f(64－2q,1－q)＝126，得q＝eq\f(1,2)，此时an＝64×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝2，得n＝6.综上知，n＝6.5．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－eq\f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n的值为()A．2 B．3C．4 D．6【答案】C【解析】设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－eq\f(8,9)，所以q3＝eq\f(1,27)，q＝eq\f(1,3)，易知此等比数列各项均为负数，则当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B；而T2＝(－24)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝24×8＝192，T4＝(－24)4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6＝84×eq\f(1,9)＝eq\f(84,9)>192，T6＝(－24)6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))15＝86×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))9＝eq\f(86,39)＝eq\f(84,9)×eq\f(82,37)<eq\f(84,9)，所以T4最大．故选C.6．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.【答案】eq\f(3n－1＋1,2)【解析】因为a1＝1，a2＝2，a3＝5，所以a2－a1＝1，a3－a2＝3.所以等比数列{an＋1－an}的首项为1，公比