高中数学定理公式

高中数学概念、公式、定理汇编函数一．函数的单调性与奇偶性1.如果函数y=f(x)的定义域是关于原点对称的,则奇函数<===>f(x)=f(x)<===>f(x)+f(x)=0;偶函数<===>f(x)=f(x)<===>f(x)f(x)=0.2.在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;3.研究函数的单调性,首先必须弄清它的定义域;4.判断函数单调性的基本方法是:1、定义法，2、导数法,5.用复合函数的单调性质判断函数的单调性,首先必须弄清复合关系,再用"同增(或同减)者增;一增一减、一减一增者减".二.一次函数、二次函数1.一次函数的标准形式是:y=kx+b(k≠0),图象是直线,当k>0时,单调递增;当k<0时,单调递减;当b=0时,直线过原点,称之为正比例函数,是奇函数.2.二次函数的标准形式是:y=ax2+bx+c(a≠0),其图象是开口向上(或下)的抛物线,对称轴是x=,顶点坐标是O'(,).3.求二次函数表达式的方法主要是待定系数法,标准形式(一般形式):y=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:,其中顶点坐标为.两点式:y=a(xx1)(xx2),其中x1,x2为图象与x轴交点的横坐标.三.幂函数、指函数、对数函数1.幂函数的标准形式是:(其中是自变量,为常数),①当为正有理数时,图象过(0,0)和(1,1)两个点,在>0时,单调递增;当为负有理数时,图象都过(1,1)一个点,在>0时单调递减;②所有幂函数的图象都不经过第四象限;2.指数函数的标准形式是:y=ax(a>0且a≠1),定义域为R,值域为;1时,单调递增;0<a<1时,单调递减.3.对数函数的标准形式是:y=logax(a>0且a≠1),定义域为,值域为R;a>1时,单调递增;0<a<1时,单调递减.4.对数恒等式换底公式5．对数运算法则6．指数幂运算法则四.函数图象1、函数作图的一般步骤：确定函数定义域；化简函数，分析函数，确定作图方法。分析函数的性质，如奇偶性、对称性、单调性等。确定函数图象的关键点，如曲线的顶点、端点、与坐标轴的交点等；确定函数图象的关键线，如对称轴、渐近线等。2、函数作图的常用方法：运用基本函数的图象作图；视函数为方程作图；变换作图；平移变换：的图象向左平移a(a>0)个单位，向上平移b（b>0）个单位得的图象；的图象向右平移a(a>0)个单位，向下平移b（b>0）个单位得的图象。伸缩变换：的图象上各点纵坐标变为b（b>0）倍,横坐标变为原来的k(k>0)倍，所得图象的函数解析式为。对称变换：(1).函数y=f(x)的图象与它的反函数y=的图象关于y=x对称;(2).函数y=f(x)的图象分别与y=f(x)、y=f(x)、y=f(x)的图象关于x轴、y轴、坐标原点对称,(3).函数y=｜f(x)｜的图象是保留y=f(x)的图象在x轴上方(包括x轴上的点)的部分,再加上把y=f(x)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称得到的图形.(4).y=f(｜x｜)的图象是在x≥0时的区间上y=f(x)的图象,再加上在x<0的区间上将右边的图形关于y轴对称所得的图形;(5)对于函数y=f(x)：若对定义域內的每个x值，都有f(a+x)=f(ax)或f(2ax)=f(x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称；若对定义域內的每个x值，都有f(a+x)+f(ax)=2b或f(2ax)+f(x)=2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称；函数y=f(xa)与函y=f(ax)的图象关于直线x=a对称；函数与函数的图象关于直线对称.五.函数的值域或最值1．求函数的值域(最值),必须重视函数的定义域,解应用问题时,在目标函数后必须写清定义域;2．求函数的值域(或最值)的常用方法主要是:(1)直接观察;(2)用二次函数的最值公式;(3)用实系数一元二次方程的根的判别式;(4)求反函数的定义域;(5)配方法;(6)利用已知基本初等函数的值域,如:｜sinx｜≤1,ax>0(a>0且a≠1)等;(7)用均值不等式(注意:正,定,等三条缺一不可);(8)用已知函数的单调性求,如:二次函数,三角函数,函数y=ax(a>0,b>0,x>0)在(0,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,(需证);(9)换元法.有代数换元和三角换元两种,前者要注意新元的范围,后者要使变元(角)的范围最小;(10)数形结合,注意发现条件和目标函数隐含的几何意义.六、函数与方程1．方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点。2．零点存在性定理：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点。三角函数一、基础知识要点1．角的概念（1）角度与弧度的互化:1°=弧度←180°=π弧度→1弧度=（2）弧长公式:=││r;扇形面积公式:s=r=││r2（3）所有与终边相同的角都可以写成=+·360°(∈Z)或=+2π(∈Z)的形式.2．三角函数定义:任意角终边上的一点P(x,y)到原点的距离为r(r>0),则sin=cos=tan=3．同角三角函数基本关系式：tan=sin+cos=14．诱导公式：sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tansin()=sincos()=costan()=tansin()=sincos()=costan()=tansin(2)=sincos(2)=costan(2)=tansin()=coscos()=sinsin(+)=coscos(+)=sin5．两角和与差的三角函数：sin()=sincoscossincos()=coscossinsintan()=tan()=6．二倍角的三角函数：sin2=2sincoscos2=cossin=2cos1=12sintan2=8．化一个角的一个三角函数公式:其中的辅助角所哪个象限由点(,b)的象限决定,的值由tan=确定.9.三角函数的图象与性质函数名称y=sinxy=cosxy=tanx图象奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性T=2πT=2πT=π单调区间增[2kπ-,2kπ+]减[2kπ+,2kπ+]增[2kπ+,2kπ+2]减[2kπ,2kπ+]增（kπ-,kπ+）对称性对称轴x=kπ+对称中心（kπ,0）对称轴x=kπ对称中心（kπ+,0）对称中心（,0）最大值x=2kπ+时，y=1x=2kπ时，y=1无最小值x=2kπ-时，y=-1x=2kπ+时，y=-1无周期函数f(x+T)=f(x),(T是不为零的常数),其中nT都是f(x)的周期(n∈Z,n0)(2)周期:y=Asin(ωx+ψ)+m及y=Acos(ωx+ψ)+m的周期T=y=Atan(ωx+ψ)+m的周期T=（3）三角函数的变换作图.主要掌握以下几种基本变换:y=sinxy=sin(x+ψ)y=sin(ωx+ψ)(ω>0)y=sinxy=sin(ωx)y=sin(ωx+ψ)(ω>0)二、解三角形1.三角形内角和A+B+C=π;2.有关斜三角形的几个结论(1)正弦定理:.(2)余弦定理:由此可知:当时C>90°;当时C<90°.(3)面积公式:S=absinC=bcsinA=acsinB=不等式一．不等式性质1．对称性a>bb<a2．传递性a>b,b>ca>c3．加法a>ba+c>b+ca>b,c>da+c>b+d4．乘法a>b,c>0ac>bca>b,c<0ac<bca>b>0,c>d>05．乘方a>b>0,nNa>b6．开方a>b>0,nN7．倒数a>b,ab>0二．均值不等式（基本不等式）1．a,bRa+b2ab2．a,bRa+b2（当且仅当a=b时,取等号）3．a,b，cRa+b+c3abc4．a,b，cRa+b+c3（当且仅当a=b=c时,取等号）5．a,bR（当且仅当a=b时,取等号）三.绝对值不等式1．<aa<x<a;>ax>a或x<a(a>0)七．不等式的解法1．一元一次不等式，一元二次不等式；（其中）2．指数不等式的解法：当a.>1时，；当0<a<1时,3．对数不等式的解法：f(x)>0当a.>1时，g(x)>0f(x)>g(x)f(x)>0当0<a<1时，g(x)>0f(x)<g(x)6．注意换元法在解不等式中的运用：如解不等式(logx)+3logx4>0数列一．等差数列、等比数列1．定义和等价形式等差数列：，，，等比数列：，2．通项与求和公式等差数列：等比数列：3．等差中项等比中项4．性质等差数列：（1）（2）m+n=p+q（3）也成等差数列（4）若{an},{bn}是等差数列,Sn,Tn分别为{an},{bn}的前n项和,则等比数列：（1）（2）m+n=p+q（3）也成等比数列一般数列的前n项和与通项的关系式一般数列的前n项和求法（1）公式法①分解为等差数列或等比数列，分组求和②利用已知公式，如（2）裂项法求和:适用于通项是分式形式的数列;如:;;（3）错位相减法求和:适用于通项an=bn·cn,其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列;如:求数列的前n项和解析几何直线数轴上两点间距离公式：直角坐标平面内的两点间距离公式：若点，点P分有向线段成定比λ，则：λ==；==4、直线斜率的定义式为，两点式为k=5、直线方程的几种形式：点斜式：，斜截式：两点式：截距式：一般式：7、点到直线的距离：8、两条平行线的距离是二．圆圆的标准方程是：(r>0)圆的一般方程是：其中，半径是，圆心坐标是三．圆锥曲线1、椭圆的定义：（1）（2）（0<e<1）2、椭圆标准方程的两种形式是：和。3、椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，其中5、双曲线的定义：（1）（2）（e>1）6、双曲线标准方程的两种形式是：和7、双曲线的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，渐近线方程是，其中9、与双曲线共渐近线的双曲线系方程是10、抛物线的定义：（抛物线的离心率e=1）11、抛物线标准方程的四种形式是：(p>0)12、抛物线的焦点坐标是：，准线方程是：；若点是抛物线上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是：13、若直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为；极坐标互化公式：2、圆心在点，半径为的圆的参数方程是：3、中心在原点焦点在x轴上的椭圆参数方程是：（为参数）求轨迹方程的常见类型及其解法直接法：直接列方程，化简；定义法：先判断轨迹是何种曲线，再求方程；代入法（坐标转移法）：将所求轨迹上的点的坐标转移到已知曲线上；参数法：引入参数，建立参数方程立体几何一、有关平行的证明1、线∥线⑴公理4⑵⑶⑷l1∥l2l1∥αα∥βl1∥l3l1∥l2l1∥l2l1∥l2l2∥l3α∩β=l2线∥线线∥线线∥面线∥线面∥面线∥线同垂直于一个平面线∥线2、线∥面⑴⑵α∥βa∥αa∥βa∥b线∥线线∥面面∥面线∥面3、面∥面⑴⑵α∥βα∥βa∥αb∥β线∥面面∥面同垂直于一直线面∥面二、有关垂直的证明1、线⊥线⑴⑵⑶a∥b三垂线定理⊥射影⊥斜线平面内直线逆定理⊥斜线⊥射影（线⊥面线⊥线）（线⊥线线⊥线）2、线⊥面⑴⑵⑶⑷a∥bα∥β(线⊥线线⊥面)3、面⊥面（线⊥面面⊥面）三．位置关系空间直线的位置关系有三种：a∥b（２）（３）a，b是异面直线２、空间直线与平面的位置关系有三种：（１）（２）（３）a∥α３、空间两个平面的位置关系有两种：（１）α∥β（２）七．面积与体积1、面积公式：（-底面周长，-直截面周长，-高，-斜高，-侧棱长或母线长，-底面半径，R-球的半径）直棱柱侧面积：斜棱柱侧面积：正棱锥侧面积：圆柱侧面积：圆锥侧面积：正棱台侧面积：球的表面积：圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：（弧度）2、体积公式：，，特别地，：圆锥体：，复数一.复数的概念:复数相等:复数的模：=平面向量与空间向量1．坐标运算：设，则设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则.3．实数与向量的积的运算律:设，则λ，4．向量的数量积：定义：.坐标运算:设,则向量在上的射影：||cos，其中为和的夹角5．重要定理、公式:平面向量的基本定理如果和是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量,有且只有一对实数,使两个向量平行（共线）的充要条件设，则两个非零向量垂直的充要条件设，则线段的定比分点坐标公式设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且，则概率与统计1．等可能事件的概率P（A）=（m为A中所含基本事件数，n为基本事件总数）2．若事件A、B为互斥事件,则P（A+B）=P（A）+P（B）3．若事件A、B为相互独立事件,则P（A·B）=P（A）·P（B）4