新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.2离散型随机变量的分布列学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．2.2离散型随机变量的分布列[课标解读]1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列.2.通过具体实例，了解伯努利试验并能解决简单的实际问题.3.应在引导学生利用所学知识解决一些实际问题的基础上，适当进行严格、准确的描述．【教材要点】知识点一离散型随机变量的分布列定义要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：(1)X所有可能取的值x1，x2，…，xn；(2)X取每一个值xi的概率p1，p2，…，pn，需要列出下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的________，或称为离散型随机变量X的________．知识点二离散型随机变量的分布列性质(1)pi____0，i＝1，2，3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝____．知识点三随机变量X与随机变量Y＝aX＋b的分布列的关系一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)，所以它们分布列的第二行的概率值是一样的．知识点四两点分布如果随机变量X的分布列为X01P________其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．【基础自测】1．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记Y＝0，试验失败，1，试验成功，则P(Y＝0)＝A．0 B．1C．13 D．2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为()A.13 B．C.13或23 D．－13．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1，2，….则P(2＜X≤4)等于(A.316 B．C.116 D．4．随机变量η的分布列如下：η123456P0.2x0.350.10.150.2则x＝________，P(η≤3)＝________．题型1分布列及其性质的应用例1设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ia(i＝1，2，3，4)(1)P(X＝1或X＝2)；(2)P12状元随笔先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，12<X<7方法归纳利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题：(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意所有概率和等于1，而且要注意pk≥0，k＝1，2，…，n.跟踪训练1若离散型随机变量X的分布列为：X01P4a－13a2＋a求常数a及相应的分布列．题型2求离散型随机变量的分布列例2(1)口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．状元随笔X的可能取值为3，4，5，6，是离散型随机变量．可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：①2X＋1的分布列；②|X－1|的分布列．方法归纳1．求离散型随机变量的分布列的步骤(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n).(2)求出取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi.(3)列出表格．2．求离散型随机变量分布列时应注意的问题(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．对于随机变量ξ取值较多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程．(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可验证分布列是否正确．跟踪训练2(1)[2022·山东高二课时练习]已知随机变量X的分布列如下：X12345P0.10.20.40.20.1若Y＝2X－3，则P(Y＝5)的值为________．(2)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用ξ表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，求ξ的分布列．题型3两点分布【思考探究】1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些问题有什么共同点？[提示]这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？[提示]不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25P0.30.7X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.例3袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝0，两球全红，1，两球非全红．状元随笔X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可．方法归纳两步法判断一个分布是否为两点分布1．看取值：随机变量只取两个值0和1.2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．跟踪训练3若离散型随机变量X的分布列为X01P2a3a则a＝()A．12B．13C．15教材反思4．2.2离散型随机变量的分布列新知初探·自主学习[教材要点]知识点一概率分布分布列知识点二(1)≥(2)1知识点四qp[基础自测]1．解析：由题意知，可设P(Y＝1)＝p，则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝23，故P(Y＝0)＝1答案：C2．解析：由离散型随机变量分布列的性质可得9解得a＝13答案：A3．解析：2＜X≤4时，X＝3，4.所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123+答案：A4．解析：由分布列的性质得0．2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.答案：00.55课堂探究·素养提升例1解析：(1)∵1a+2∴a＝10，则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝110+2(2)由a＝10，可得P1＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝110+2跟踪训练1解析：由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，即3a2＋5a－2＝0，解得a＝13或a＝－2又因4a－1>0，即a>14，故a≠－所以a＝13，此时4a－1＝13，3a2＋a＝所以随机变量X的分布列为：X01P12例2解析：(1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6.从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C63，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C33，事件“X＝4”包含的基本事件总数为C11C32，事件“X＝5”从而有P(X＝3)＝C33CP(X＝4)＝C11CP(X＝5)＝C11CP(X＝6)＝C11C所以随机变量X的分布列为X3456P1331(2)由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为①2X＋1的分布列为：2X＋113579P0.20.10.10.30.3②|X－1|的分布列为：|X－1|0123P0.10.30.30.3跟踪训练2解析：(1)当Y＝5时，由2X－3＝5得X＝4，所以P(Y＝5)＝P(X＝4)＝0.2.(2)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.则P(ξ＝3)＝P(A1∩A2∩A3)+P(A＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(＝2×0.4×0.