新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.1条件概率学生用书新人教B版选择性必修第二册

4．1.1条件概率[课标解读]结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率．【教材要点】知识点一条件概率的概念名称定义符号表示计算公式条件概率一般地，当事件A发生的概率大于0时(即P(A)>0)，对于任何两个事件A和B，在已知事件A________的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率．________P(B|A)＝__________，__________状元随笔P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？[提示]P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同．知识点二条件概率的性质(1)0≤P(A|B)≤1；(2)P(A|A)＝________；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝________________．(4)设事件B与B互为对立事件，则P(B|A)＝________．知识点三计算条件概率的方法(1)若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝nABnA(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝PA∩BPA计算求得P【基础自测】1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝13，P(A)＝23，则P(B|A)＝(A．12 B．29 C．19 2．已知P(B|A)＝13，P(A)＝25，则P(A∩B)等于(A．56 B．910 C．215 3．从生物学中我们知道，生男、生女的概率基本是相等的，都可以近似地认为是12，如果某个家庭中先后生了两个小孩，当已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩的概率是________4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．题型1利用定义求条件概率例1一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A).状元随笔首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．方法归纳1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝PA2．在本例中，首先结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．跟踪训练1甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．题型2利用古典概型公式(缩小样本空间的方法)求条件概率例2现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．状元随笔第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．方法归纳1．本题第(3)问有两种求条件概率的方法，方法一为定义法，方法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝nA(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝PA∩BPA计算求得P(3)条件概率的算法：已知事件A发生，在此条件下事件B发生，即事件A∩B发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算事件A∩B发生的概率，即P(B|A)＝nA∩BnA跟踪训练2(1)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．(2)一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表：等级厂别数量甲厂乙厂合计合格品4756441119次品255681合计5007001200先求基本事件的概率，再依据条件概率的计算公式计算．①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是________；②已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是________．题型3条件概率性质的应用(逻辑推理、数学运算、数学建模)例3先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，求第二枚出现“大于4点”的概率？【思考探究】1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？[提示]掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？[提示]“第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．方法归纳1．分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．2．利用条件概率的性质求概率若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．跟踪训练3在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．【教材反思】4．1条件概率与事件的独立性4．1.1条件概率新知初探·自主学习[教材要点]知识点一发生P(B|A)PA∩BPA知识点二1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)[基础自测]1．解析：由P(B|A)＝PA∩BPA＝答案：A2．解析：由P(B|A)＝PA∩BPA，得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A答案：C3．解析：如果用(F，M)表示较大的小孩是女孩，较小的小孩是男孩，则样本空间可以表示为Ω＝{(F，M)，(F，F)，(M，F)，(M，M)}．“较大的小孩是女孩”对应的是A＝{(F，M)，(F，F)}，“较小的小孩是男孩”对应的是B＝{(F，M)，(M，M)}，从而“已知较大的小孩是女孩的条件下，较小的小孩是男孩”的概率为：P(B|A)＝PB∩A答案：14．解析：根据条件概率公式知P＝0.40.8＝答案：0.5课堂探究·素养提升例1解析：(1)由古典概型的概率公式可知P(A)＝25P(B)＝2×1+3×25P(A∩B)＝2×15(2)根据条件概率的计算公式可知P(B|A)＝PA∩BPA跟踪训练1解析：由公式可得P(A|B)＝PA∩BPB＝23，P(B|A答案：2例2解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A62＝根据分步计数原理n(A)＝A41A51＝20，于是P(A)＝n(2)因为n(A∩B)＝A42＝12，于是P(A∩B)＝nA∩B(3)方法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝PA∩BPA方法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nA∩BnA跟踪训练2解析：(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.n(A)＝A41×n(A∩C)＝A41×∴P(C|A)＝nA∩CnA(2)①从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是811200＝27②方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是25500＝1方法二：设A＝“取出的产品是甲厂生产的”，B＝“取出的产品为甲厂的次品”，则P(A)＝5001200，P(A∩B)＝251200，所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概率是P(B|A)＝PA答案：(1)见解析(2)①27400②例3解析：设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝16+1跟踪训练3解析：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为