2024届天津市蓟州等部分区数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届天津市蓟州等部分区数学高二第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．2．的展开式中的系数为（）A．1 B．9 C．10 D．113．在正方体中，过对角线的一个平面交于，交于得四边形，则下列结论正确的是（）A．四边形一定为菱形B．四边形在底面内的投影不一定是正方形C．四边形所在平面不可能垂直于平面D．四边形不可能为梯形4．函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点，则实数aA．(-3,-2)∪(-1,0) B．(-3,-2) C．(-5．在一组数据为，，…，（，不全相等）的散点图中，若这组样本数据的相关系数为，则所有的样本点满足的方程可以是（）A． B．C． D．6．给出下列三个命题：(1)如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；(2)一个平面内的任意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；(3)一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．37．使不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C．或 D．8．已知函数的图象如图所示，则函数的对称中心坐标为（）A． B．C． D．9．已知随机变量满足，，则下列说法正确的是（）A．， B．，C．， D．，10．函数f(x)=|x|-ln|x|，若[f(x)]2-mf(x)+3=0有A．(23,4) B．(2,4) C．(2,211．若函数在上单调递增，则的取值范围是()A． B． C． D．12．若双曲线的一条渐近线为，则实数（）A． B．2 C．4 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个竖直平面内的多边形，用斜二测画法得到的水平放置的直观图是一个边长为的正方形，该正方形有一组对边是水平的，则原多边形的面积是______．14．某等腰直角三角形的一条直角边长为4，若将该三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体的体积是，则_____．15．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为______．16．设，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.18．（12分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了111名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间不低于41分钟的观众称为“体育迷”．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为"体育迷"与性别有关．性别非体育迷体育迷总计男女1144总计下面的临界值表供参考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(参考公式：，其中)（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列､期望和方差．19．（12分）已知点在椭圆C:上，A，B是长轴的两个端点，且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线CD的斜率为2，以E(1，0)为圆心的圆与直线CD相切，且切点为线段CD的中点，求该圆的方程.20．（12分）已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.21．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.（1）若，求证：；（2）若，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）已知（1）求及的值；（2）求证：（），并求的值.（3）求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【题目详解】则故选：D【题目点拨】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.2、D【解题分析】

根据组合的知识可求展开式的含和的项，分别乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解.【题目详解】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.3、D【解题分析】对于A，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形为菱形，故A错误；对于B,四边形在底面内的投影一定是正方形,故B错误；对于C,当两条棱上的交点是中点时，四边形垂直于平面,故C错误；对于D，四边形一定为平行四边形，故D正确.故选：D4、A【解题分析】

求得f'(x)=x(2+x)ex，函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)【题目详解】f'(x)=2xe∵函数f(x)=x2ex在区间(a,a+1)上存在极值点令f'(x)=0，解得x=0或-2．∴a<0<a+1，或a<-2<a+1，解得：-1<a<0，或-3<a<-2，∴实数a的取值范围为(-3,-2)∪(-1,0)．故选【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了推理能力与计算能力，意在考查转化与划归思想的应用以及综合所学知识解答问题的能力，属于中档题．5、A【解题分析】

根据相关系数的概念即可作出判断.【题目详解】∵这组样本数据的相关系数为，∴这一组数据，，…线性相关，且是负相关，∴可排除D，B，C，故选A【题目点拨】本题考查了相关系数，考查了正相关和负相关，考查了一组数据的完全相关性，是基础的概念题．6、B【解题分析】

根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.【题目详解】（1）若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则（1）错误；（2）平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，（2）正确；（3）若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，（3）错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7、A【解题分析】

首先解出不等式，因为是不等式成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式的真子集即可．【题目详解】因为，所以或，需要是不等式成立的一个充分不必要条件，则需要满足是的真子集的只有A,所以选择A【题目点拨】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题．8、D【解题分析】

试题分析：由图象可知又，又，.，又，所以，由，得，则的对称中心坐标为.考点：1.三角函数的性质；2.三角函数图像的性质.【方法点睛】根据，的图象求解析式的步骤：1．首先确定振幅和周期，从而得到与；2．求的值时最好选用最值点求，峰点：，；谷点：，，也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点，升零点(图象上升时与轴的交点)：，；降零点(图象下降时与轴的交点)：，．9、D【解题分析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可.详解：随机变量满足，所以，解得，故选D.点睛：已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解.若随机变量的均值、方差、标准差，则数的均值、方差、标准差.10、A【解题分析】

方程有8个不相等的实数根指存在8个不同x的值；根据函数f(x)的图象，可知方程[f(x)]2-mf(x)+3=0必存在2个大于1【题目详解】∵f(x)=∵f(-x)=f(x)，∴函数f(x)为偶函数，利用导数可画出其函数图象（如图所示），若[f(x)]2-mf(x)+3=0有8个不相等的实数根⇔关于∴Δ=【题目点拨】与复合函数有关的函数或方程问题，要会运用整体思想看问题；本题就是把所求方程看成是关于f(x)的一元二次方程，再利用二次函数根的分布求m的范围.11、C【解题分析】试题分析：对恒成立，故，即恒成立，即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．【考点】三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.12、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，根据双曲线的一条渐近线求得m的值．【题目详解】双曲线中，，令，得，所以；又双曲线的一条渐近线为，则，解得，所以实数．故选：C．【题目点拨】本题考查了利用双曲线的标准方程求渐近线方程的应用问题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据斜二测画法可知，原图形中的高在直观图中变为原来的，直观图中的高变为原高的，原来的平面图形与直观图的面积比是：1，计算即可．【题目详解】该多边形的直观图是一个边长为的正方形，正方形的面积为，原多边形的面积是．故答案为．【题目点拨】本题主要考查了斜二测画法，原图形与直观图面积的关系，属于中档题．14、【解题分析】分析：几何体为圆锥，根据圆锥的体积公式求解详解：由题意可知三角形绕着直角边旋转一周所得的几何体为圆锥，体积是点睛：三角形旋转为圆锥，体积公式为。15、【解题分析】

设椭圆的方程为，由面积公式以及离心率公式，求出，，即可得到答案。【题目详解】设椭圆C的方程为，椭圆C的面积为，则,又，解得，.则C的方程为【题目点拨】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和，，的关系，考查学生基本的运算能力，属于基础题。16、1.【解题分析】分析：首先求得复数z，然后求解其模即可.详解：由复数的运算法则有：，则：.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解题分析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，，，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，，，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.18、（1）2×2列联表答案见解析，在犯错误的概率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）分布列见解析，，．【解题分析】

（1）先根据频率分布直方图计算出“体育迷”的人数，结合2×2列联表中的数据可得表中其他数据，最后根据公式计算出的观测值，再依据临界值表给出判断.（2）利用二项分布可得分布列，再利用公式可求期望和方差.【题目详解】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的111人中“体育迷”有(人)．由独立性检验的知识得2×2列联表如下：性别非体育迷体育迷总计男311444女441144总计6424111将2×2列联表中的数据代入公式计算，得的观测值．所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“体育迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为．由题意知，∴，从而X的分布列为：1123由二项分布的期望与方差公式得，.【题目点拨】本题考查频率分布直方图的应用、独立性检验，还考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差，在计算离散型随机变量的分布列时，要借助于常见分布如二项分布、超几何分布等来简化计算，本题属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）联立方程解出ab（2）根据题意设出直线CD,联立方程得到两根之和与两根之积，再利用中点加垂直，解出参数．【题目详解】（1）依题意有：∴，∴（2）设CD：由得设，，CD中点则，∴，∴Q（，）又EQ⊥CD∴∴∴∴∴该圆的方程为.【题目点拨】本题综合考查椭圆、圆、直线的位置关系，属于中档题．20、【解题分析】

设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出【题目详解】设，则，∴又，.∴，联立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案为【题目点拨】本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。21、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

(1)根据三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中点，连接DM,通过线面垂直证明平面，可推出，又，可证(2)通过作图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，先通过几何法求出长度，分别表示出线