2024届天津市大良中学 数学高二下期末教学质量检测试题含解析

2024届天津市大良中学数学高二下期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．函数的最小值为0，则m的取值范围是()A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)3．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两颗骰子向上点数不同”，事件B为“至少有一颗骰上点数为3点”则（）A． B． C． D．4．已知点，则它的极坐标是（）A． B．C． D．5．用数学归纳法证明，从到，不等式左边需添加的项是（）A． B．C． D．6．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（）A．60 B．70 C．80 D．1008．已知，是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．39．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）．A． B．C． D．10．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书；④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（）A．玩游戏B．写信C．听音乐D．看书11．如图，在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的条数为（）．A． B． C． D．12．已知函数，若，均在［1，4］内，且，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某班有名学生,其中人选修课程,另外人选修课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.14．已知复数满足（是虚数单位），则______．15．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为____．16．若，则整数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，．（1）求；（2）若集合，求的取值范围；18．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）求;（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（12分）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：评分12345678910频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求观众评分的平均数？（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？（3）视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为10分的人数，求的分布列及数学期望.20．（12分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.21．（12分）平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根据条件作出函数f（x）与h（x）的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．【题目详解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【题目点拨】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．2、B【解题分析】

化简函数为，根据函数的单调性以及在时取得最小值0，求出的范围.【题目详解】函数在区间(－1，＋∞)上是减函数．当x＝2时，y＝0.根据题意x∈(m，n]时，.所以m的取值范围是－1＜m＜2，故选B.【题目点拨】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目.3、D【解题分析】

用组合数公式计算事件A和事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算．【题目详解】解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．事件A包含的基本事件个数有，则．事件AB包含的基本事件个数为10，则．所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：，故选：D．【题目点拨】本题考查条件概率，属于基础题．4、C【解题分析】

由计算即可。【题目详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.故选C.【题目点拨】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。5、B【解题分析】分析：分析，时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：时，左边为,时，左边为,所以左边需添加的项是，选B.点睛：研究到项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.6、B【解题分析】

先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【题目详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．7、A【解题分析】

假设分数为时，可知，可知分数不可能为，得到结果.【题目详解】当为该班某学生的成绩时，则，则与方差为矛盾不可能是该班成绩故选：【题目点拨】本题考查平均数、方差的相关运算，属于基础题.8、C【解题分析】

设点关于渐近线的对称点为点，该渐近线与交点为，由平面几何的性质可得为等边三角形，设，则有；又，可得，代入离心率即可得出结果.【题目详解】设点关于渐近线的对称点为点，该渐近线与交点为，所以为线段的中垂线，故，所以为等边三角形，设，则有；又，可得，所以离心率.故选:C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的几何性质以及渐近线和离心率，考查了学生逻辑推理与运算求解能力.9、C【解题分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为：，侧面积为：；圆柱的底面半径是，高是，其底面积为：，侧面积为：；∴组合体的表面积是，本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10、D【解题分析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D.11、B【解题分析】

结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与A1B成60°角的异面直线一一列出，即得答案．【题目详解】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．故选B．【题目点拨】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题．12、D【解题分析】

先求导，利用函数的单调性，结合，确定;再利用，即，可得，，设，，确定在上递增，在有零点，即可求实数的取值范围．【题目详解】解：，当时，恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故；由题设，则＝考虑到，即，设，，则在上恒成立，在上递增，在有零点，则，，故实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件，以及，变形为，，然后构造函数转化为函数零点问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先计算出总的方法数，然后在每类选科人中各选一人，利用分步计算原理计算得方法数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【题目详解】∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵15人选修课程,另外35人选修课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.【题目点拨】本小题主要考查古典概型的计算，考查分步乘法计数原理，属于基础题.14、【解题分析】

利用复数的除法运算化简，进而求得.【题目详解】依题意，故故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.15、16；【解题分析】

程序语言表示“当型循环结构”，由值控制循环是否终止，当时，输出的值.【题目详解】输出.【题目点拨】阅读程序语言时，要注意循环体执行的次数，何时终止循环是解题的难点.16、2【解题分析】

由题得，再解方程即得解.【题目详解】由题得，所以,所以，所以.故答案为：2【题目点拨】本题主要考查组合数的性质，考查组合方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）分别求解出集合和集合，根据交集的定义求得结果；（2）将问题转化为，由（1）可知，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.【题目详解】；（1）（2），即又时，或或即的取值范围为：【题目点拨】本题考查集合运算中的交集运算、求解集合中参数取值范围的问题；关键是能够准确求解出两个集合；易错点是忽略两个集合均为数集的特点，误认为两集合元素不一致，导致求解错误.18、（1），，；（2），证明见解析【解题分析】

（1）先求得的值，利用求得的表达式，由此求得的值.（2）根据（1）猜想，用数学归纳法证明数列的体积公式为.【题目详解】（1）且于是从而可以得到，猜想通项公式（2）下面用数学归纳法证明.①当时，满足通项公式；②假设当时，命题成立，即由（1）知即证当时命题成立；由①②可证成立.【题目点拨】本小题主要考查已知求，考查数学归纳法证明与数列的通项公式.19、（1）8；（2）；（3）分布列见解析，2.【解题分析】

（1）利用平均数的公式求解即可；（2）所求概率为评分恰好是10分的概率与评分大于等于8分的概率的比,即可求解；（3）由题知服从,进而去利用公式求解分布列及期望即可.【题目详解】（1）设观众评分的平均数为,则（2）设A表示事件“1位观众评分不小于8分”,B表示事件“1位观众评分是10分”（3）由题知服从,（,1,2,3,4）则的分布列为：01234P【题目点拨】本题考查平均数,考查二项分布的分布列与期望,考查数据处理能力.20、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）在内过点作，根据题意得到，进而可得出结论；（2）过点作于点，连接，得到即是直线与平面所成角，根据题中条件，求出，，由余弦定理得到，进而可求出结果.【题目详解】（1）在内过点作，因为，，且，所以，因为，所以；（2）过点作于点，连接，因为平面平面，所以平面，所以即是直线与平面所成角；又在长方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直线与平面所成角的大小为.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直的判定定理，以及几何法求线面角即可，属于常考题型.21、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，问题得一解决，（2）利用点差法和中点坐标公式和点斜式方程即可求出，（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根据根系数的关系和两角和的正切公式，化简整理即可求出．【题目详解】解：（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p，∴Γ的方程为y2＝x，（2）抛物线Γ：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l为y﹣y0（x﹣x0），又l过点F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝2（x﹣1）（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），