5第2章直线-平面相对位置

第2章线面的相对位置

线面平行•面面平行线面交点•面面交线线面垂直•面面垂直举例基本要求(一)平行问题

1.熟悉线、面平行,面、面平行的几何条件;

2.掌握线,面平行,面,面平行的投影特性及作图方法;(二)相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交(其中直线或平面的投影有积聚性)交点的求法和作两个面的交线(其中一平面的投影有积聚性);

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法;掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法;

3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

线面平行•面面平行一.线面平行几何条件平面外线与平面内线平行,线面平行;有关问:判别已知线面是否平行;作线与已知面平行;包含已知线作平面与另已知线平行;二.面面平行几何条件平面内相交二直线与另一平面内相交二直线对应平行,面面平行;面面平行问题:判别两已知面是否平行;过一点作一面与已知面平行;已知两面平行,完成其中一面所缺投影;一.线面平行

若一线平行于属于面的一线,线面平行[例题1]试判断直线AB是否平行于定平面fg

f

g直线AB不平行于定平面[例题2]过K作水平线AB平行于ΔCDE面b

a

af

fb二.两平面平行属于一面的相交两线对应平行于属于另一面相交两线,两平面平行EFDACB[例题3]判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

两平面平行(/*利用一个面的两条边方便*/)[例题5]判断两面是否平行PH平行SH,所以两平面平行(两条相交直线对应平行)线面交点,两面交线一、直线与平面相交只有一个交点二、两平面的交线是直线三、特殊位置线面相交四、一般位置平面与特殊位置平面相交五、直线与一般位置平面相交六、两一般位置平面相交一.线面相交线面相交只有一个交点,是直线与平面共有点BKAM二.面面相交两面交线是一条直线,线为两面共有FKNL三.特殊位置线面相交线与特殊位置面相交判断直线可见性特殊位置线与一般位置面相交b

ba

acc

m

mnn

线与特殊位置面相交由于特殊位置面某个投影积聚性,交点可求出.kk

判断线可见性b

ba

a

cc

m

mn

kk

n

特殊位置线面相交,根据面积聚性投影(a’c’与m’n’相交的点),直接判别线可见性.()??求铅垂线EF与一般位置面△ABC交点,判别可见性k21k'2'1'四.一般位置面与特殊位置面相交求两面交线看作求两个共有点,由于特殊位置面某个投影积聚性,交线直接求出.一般位置面与特殊位置面相交判断面可见性一般位置面与特殊位置面相交nlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

MmnlPBCacbPHAFKNLkf判断面可见性五.线与一般位置面相交

以正垂面为辅助平面求线面交点以铅垂面为辅助平面求线面交点判别可见性1

2

以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk

步骤:1.过EF作正垂平面Q2.求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3.求交线ⅠⅡ与EF的交点K*两条直线确定一点ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点12以铅垂面为辅助平面求线面交点PH1

步骤：1.过EF作铅垂平面P2.求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3.求交线ⅠⅡ与EF的交点K*本质和前面一题一样k

k2

CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点f

e

e线EF与

ABC相交,判别可见性利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

34(

)2

1

线EF与面ΔABC相交,判别可见性ⅠⅡⅢ1’

(2

)(4)3利用重影点判别可见性Ⅳ六.两一般位置面相交看作求2共有点问题,利用求一般位置线面交点找出交线上2个点,连线即为两平面交线.两一般位置平面相交求交线判别可见性两一般位置平面相交,求交线:1.用求直线与平面交点方法,作两面的两个共有点K、E求两一般面交线ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2.连接两共有点,画交线KE两一般位置面相交求交线求一般位置线面交点法找出交线上两个点,连线即为两平面的交线.MBCAFKNL重影点判别可见性两面相交,判别可见性3

4

()3421()1

2’####[例题6]过K作一线平行于已知面ΔABC,与线EF相交分析过已知点K作面P平行于

ABC;线EF与面P交于H;连接KH.KH即为所求.FPEKH过K作一线平行于已知面ΔABC,与线EF相交作图m

n

h

hnmPV1

12

21.过K作面KMN//ABC面;2.求线EF与面KMN交H;3.连接KH;KH即为所求;§4-3线与面垂直,两面垂直一.线面垂直

几何条件

定理1

定理2二.两面垂直

几何条件线面垂直几何:一线垂直于一面,必垂直于该面上一切线.定理1线垂直于面,则线水平投影垂直于属于面水平线的水平投影;

线正面投影垂直于属于该面的正平线的正面投影.knk

n

定理2（逆）线的水平投影垂直于属于面的水平线的水平投影;线的正面投影垂直于属于面的正平线的正面投影,线必垂直于面.例题7]面由

BDF给定,求过定点K作面的垂线a

cac

n

nkk

h

例题8]过点K作特殊位置面垂线.hhhh

h

（a）（c）（b）例题9]面由两平行线AB,CD给定,判断直线MN是否垂直于该平面e

f

ef两面垂直

若线垂直于面,则包含这条线所有面都垂直于面AD两面相互垂直,由属于第一个面的任意一点向第二个面作的垂线必属于第一个面.两平面垂直两平面不垂直g

例题12]面由

BDF给定,求过定点K作已知面的垂面ha

cac

h

g例题13]判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直f

fd

d结论：因为AD直线