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文档简介

无穷级数7.1常数项级数的概念与性质7.2正项级数的审敛法7.3任意项级数的审敛法7.4幂级数7.5函数展开成幂级数

7.1常数项级数的概念与性质

一、常数项级数的概念定义7.1.1设有一个数列

例7.1.2证明:级数1+2+3+…+n+…是发散的.

证明级数的部分和为

二、收敛级数的基本性质

7.2正项级数的审敛法

一、正项级数及其收敛的充要条件如果un≥0(n=1,2,…),则称级数

为正项级数.其部分和数列{sn}为

显然,数列{sn}是一个单调增加数列,即

定理7.2.1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有界.

二、比较审敛法及其极限形式

例7.2.1讨论p-级数

的敛散性,其中常数p>0.

定理7.2.3(极限形式的比较审敛法)

例7.2.3判定下列级数的敛散性:

三、比值审敛法(达朗贝尔判别法)

定理7.2.4(比值审敛法或达朗贝尔判别法)

例7.2.4判定下列级数的敛散性:

四、根值审敛法(柯西判别法)

定理7.2.5(根值审敛法或柯西判别法)

7.3任意项级数的审敛法

一、交错级数及其审敛法

二、任意项级数的收敛性———绝对收敛与条件收敛

例7.3.2判定下列级数的敛散性,如果收敛,则指出是绝对收敛还是条件收敛:

7.4幂级数

一、函数项级数的概念给定一个定义在区间I上的函数列{un(x)},由此函数列构成的表达式称为定义在区间I上的函数项级数,记为

二、幂级数及其收敛性

求幂级数收敛域的基本步骤如下:

(1)求出收敛半径R;

(2)判别常数项级数的收敛性;

(3)写出幂级数的收敛域.

三、幂级数的运算

幂级数的和函数具有下列重要性质:

几何级数的和函数

是幂级数求和中的两个基本的结果.我们所讨论的许多级数求和问题都可以利用幂级数的运算性质转化为几何级数的求和问题来解决.

例7.4.2求下列幂级数的收敛域及幂级数和函数:

7.5函数展开成幂级数

一、初等函数的展开定理设幂级数的收敛半径为R,和函数为s(x),即

上式表明:

(1)s(x)是幂级数的和函数;

(2)函数s(x)可以写成幂级数这样一种形式的表达式,从而可以利用这一表达式来研究函数s(x);

(3)n次多项式

是该幂级数的前n+1项部分和,由级数收敛的概念,应有

从而当x<R时,有

反之,设f(x)在x=0的邻域内有任意阶导数,则总可以作出f(x)的麦克劳林级数.那么麦克劳林级数的和函数和f(x)有什么关系呢?我们不加证明地给出下面的定理.

定理7.5.1(初等函数的展开定理)

设f(x)是一个初等函数,且在x=0的邻域内有任意阶导数,则f(x)在x=0处可展开幂级数,且有展开式

在端点x=±R处,如果级数收敛且f(x)也有定义,则展开式(753)在该端点处也成立.

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