小学奥数题库《数论》因数和倍数-最大公因数-2星题（含解析）

数论-因数和倍数-最大公因数-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

最大公因数C1、了解公因数和最大公因数的定少考

义。

2、掌握求最大公因数的方法。

知识提要

最大公因数

•定义公因数就是几个数的公共因数。最大公因数就是其中最大的一个公因数。

・求最大公因数的方法（1）短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘（2）分解质因数法:

先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。（3）辗转相除法：每一次都用除数和余数

相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数.用辗转相除法求两个数的最大公因

数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一

个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个

余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个除数就是所求的最大公因

数.（如果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的）.

・最大公因数的性质（1）几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；（2）

几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数：（3）几个数都乘以一个自然数n,

所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以加

精选例题

最大公因数

1.幼儿园的老师给班里的小朋友送来55个苹果，114块饼干，83块巧克力.每样都平均分发完

毕后，还剩3个苹果，10块饼干，5块巧克力.这个班最多有位小朋友.

【答案】26

【分析】55-3=52;

114-10=104；

83-5=78；

(52,104,78)=26

2.两个自然数的最小公倍数是60,最大公约数是6,这两个数的和是42,那么这两个数的差是.

【答案】18

【分析】详解：由最大公约数是6,可设这两个数分别为6久和且互质)，那么xx

y=60+6=10,x+y=42+6=7,不难看出［二工所以两个自然数分别为30和12,差

为18.

3.把一块长90厘米、宽42厘米的长方形纸板恰无剩余地剪成边长都是整数厘米、面积都相等

的小正方形纸片，最少能剪出块，这种剪法剪成的所有正方形纸片的周长之和是厘米.

【答案】105：2520

【分析】小正方形的边长应为90和42的最大公因数，(90,42)=6,所以最少能剪出(90+6)x

(42+6)=15x7=105(块)；所有正方形的周长之和为6x4x105=2520(厘米).

4.两个不全为0的数的公共因数称为它们的公因数，求26019与354的全体公因数.

【答案】1,3,59,177

【玄析】而短福法条两个数的最大公因数，如以下图：

公因数是最大公因数的因数，所以为1,3,59,177。

5.两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135,那么这两个数的差最小是.

【答案】12

【分析】最大公约数和最小公倍数分别是3和135,

135+3=45,

45=3x3x5,

差最小是

3x(9-5)=12,

那么这两个数的差最小是12.

6.两个不全为0的数的公共因数称为它们的公因数。求出26019,826,2065的全体公因数.

【答案】1,7,59,413

【彳析】去因上一艮是最大公因数的因数，所以要求这三个数的全体公因数，只需要求得最大

公因数即可：26019,826,2065的最大公因数是413,所以26019,826,2065的全体公因数

有：1,7,59,413.

7.自然数a,b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a,b中较大的值是.

【答案】225

【分析】设(a,b)=d,那么有a=znd,b=nd,且(m,n)=l.

由题意，得7nd-nd=(m—n)d=120,mnd—105d,即(m—n)d=120,mn=105.

105=3x5x7,所有7i有下面四组不同组合；

105,1；35,3；21,5；15,7.

因为(m-n)是120的因数，120=23x3x5,上面四组只有15-7=8是120的因数，所以

m=15,n=7,d=1204-(m-n)=15.a,b中较大的数是a,它的值md=15x15=225.

8.两个自然数的最大公约数是100,最小公倍数是20100,这两个自然数的差是6400,那么这

两个自然数的和是.

【答案】7000

【分析】详解：设这两个自然数分别为100x和100y(x>y),那么(x,y)=1,[x,y]=xy=

201004-100=201,x-y=6400+100=64.只能是x=67,y=3,两个自然数分别是

6700和300,它们的和是7000.

9.a和b的最大公约数是4,a与b及b与c的最小公倍数都是100,而且a小于等于6,那么满足条

件的有序自然数对(a,b,c)共有组.

【答案】9

【分析】

(a,b)=4,

[a,c]=100=22x52,

[/>,c]=100=22x52,

a《b,a可以是4或20或100,b可以是4或20或100,c可以是25或50或100：

枚举如下：

当a=4,b=4,c=25或50或100都成成立，有3种情况：

当a=4,b=20,c=25或50或100都成成立，有3种情况；

当a=4,b=100,c=25或50或100都成成立，有3种情况；

故共有9种情况.

10.甲、乙两数的最小公倍数是170,甲、丙两数的最小公倍数是204,乙、丙两数的最小公倍

数是60,那么甲、乙、丙三个数的和最小是.

【答案】39

【分析】详解：从约数方面考虑，甲既要是170的约数，又要是204的约数，所以甲是

(170,204)=34的约数；类以的，乙是10的约数，丙是12的约数.另一方面，甲、乙的最小公

倍数是170,要求甲有约数17,乙有约数5,且甲、乙至少一个是2的倍数；甲、丙的最小公倍

数是204,说明丙一定是12的倍数，只能是12,于是甲、乙、丙三个数的和最小是17+5x

2+12=39.

11.两个自然数的乘积是288,它们的最大公约数是6,求这两个数.

【答案】6和48

【分析】简答：设这两个数分别是6a和6b,且a、b互质,然后列方程即可.

12.将一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板，剪成面积相等的小正方形而无剩余，问至少可

以剪出多少块小正方形？

【答案】105块

【分析】简答：(90,42)=6(厘米)，当x?=105(块).

OO

13.求112和77的最大公约数。

【答案】7

【分析】把112和77并列，用77去除112,商1余35,如以下图

因为余数不是0,所以继续用35去除77,商2余7,如以下图

因为余数不是0,继续用7去除35,商5余0,如以下图：

14.两个数的最大公因数与最小公倍数的和是33,求所有满足条件的两个数.

【答案】1,32或3,30或11,22或6,15

【分析】由于最小公倍数是最大公约数的倍数，那么它们的和33一定也是最大公约数的倍数，

那么这两个数的最大公约数只能是1,3,11,33,逐一验证找到所有解：这两个数是1,32或

3,30或11,22或6,15.

15.两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,试求这两个数的差

【答案】40或20

(分析]设两数分别为5a,5b,那么(a,b)=1,且a+b=50+5=10,10=1+9=3+7,

两数可以为5、45或者15、35.所以差为40或20.

16.两个数不成倍数关系，它们的最大公约数是8,和是80.那么这两个数分别是多少？

【答案】24和56

【分析】简答：设两个数分别为8a和8b,且a、b互质，那么有8a+8b=80,a+b=10.又

因为这两个数不成倍数关系，只能是24和56

17.有4个不同的自然数，它们的和是1111.它们的最大公约数最大是多少？

【答案】101

【分析】详解：这四个数的和一定是它们最大公约数的倍数.那么它们的最大公约数一定是

1111的约数，可能是1、11、101和1111,又因为这四个数两两不同，它们的和至少是最大公

约数的1+2+3+4=10倍，最大公约数最大是101,这四个数可以是101、202、303、505.

18.用辗转相除法求4811和1981的最大因数.

【答案】283

【分析】

4811+1981=2……849

1981+849=2……283

849+283=3

所以，(4811,1981)=283.

19.两个自然数的和是125,它们的最大公约数是25,试求这两个数的差.

【答案】75或25

【分析】设两数分别为25a,25b,那么(a,b)=1,且a+b=125+25=5,5=1+4=2+3,

两数可以为25、100或者50、75.所以差为75或25.

20.两个自然数的差为16,它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？

【答案】5；16

【分析】最大公因数一定是16的因数，16共有5个因数，所以最大是16.

21.把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问:

能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

【答案]63张

【分析】边长是长方形的长和宽的公因数，由于要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块

的边长是长方形的长和宽的最大公因数.1米3分米5厘米=135厘米，1米5厘米=105厘米，

(135,105)=15,所以最大的正方形纸块边长为15厘米；长方形纸块的面积为

135x105=14175(平方厘米)；

正方形纸块的面积为

15x15=225(平方厘米)，

共可裁成正方形纸块14175+225=63(张).

22.利用分解质因数法找出以下各组数的最大公约数和最小公倍数.

(1)1024和72：(2)60、84、90和700

【答案】⑴(1024,72)=8,[1024,72]=9216；(2)(60,84,90,700)=2,

[60,84,90,700]=6300

23.30和60的最大公约数是多少？30和75的最大公约数是多少？60和75的最大公约数是多少？

30、60、75的最大公约数是多少？

【答案】30；15；15；15

【分析】依次为30,15,15和15.

最后一问：因为要求的数去除30、60、75都能整除，所以要求的数是30、60、75的公约数.

又因为要求符合条件的最大的数，所以就是求30、60、75的最大公约数.

因为

(30,60,75)=5x3=15.

这个数最大是15.

24.计算下组数的最大公因数和最小公倍数.

2427

55,40

【答案】(《给=粉子用=等♦

【分析】短除法；分别算出分子和分母的最大公因数和最小公倍数，然后得出两个分数的最大

公因数和最小公倍数.

25.幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干

多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有多少人？

【答案】36

【分析】大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的公因数而

(108,144,72)=36.所以，这个大班的小朋友最多有36人.

26.(1)两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216.这两个数是

多少？

(2)假设两个数的最大公约数是18,最小公倍数是1080.这两个数有哪几组？

【答案】(1)54和72；(2)18和1080,72和270,54和360,90和216

【分析】详解：(1)设两个自然数分别是18a和18b,那么a和b互质，这两个自然数的最小公

倍数是18ab,那么有18ab=216,ab=12,考虑到这两个数不成倍数关系，a和b应该是3和

4,两个自然数分别是54和72；

(2)设这两个自然数分别是18a和1助，，然后按照第(1)问中的方法来做即可.

27.老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果，97个梨，平均分给班上的学生.最后剩下5

个苹果，7个梨.请问班里一共有多少名学生？

【答案】9名或18名

【分析】详解：分出去了59-5=54个苹果，97-7=90个梨，班里的学生数是54和90的公

约数，也就是54和90的最大公约数的约数，但要注意人数一定要大于7,否那么就不会剩下7

个梨(还能再分).(54,90)=18,18的约数中比7大的有9和18,所以班里有9名或18名学生.

28.利用辗转相除法求出3009和2537的最大公约数.

【答案】(3009,2537)=59

29.甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？

【答案】30

【分析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数

与最小公倍数的乘积为6x90=540,那么乙数为540+18=30.

30.有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每

份礼物中，三样水果各多少？

【答案】42；每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个.

【分析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有(336,252,210)=42,即可以分

42份，每份中有苹果8个，桔子6个，梨5个.

31.利用辗转相除法求以下各组数的最大公约数.

(1)377和221(2)511和1314

【答案】(1)(377,221)=13；(2)(511,1314)=73.

32.计算：(1085,1178),［1085,1178］；(3553,3910,1411).

【答案】31,41230：17

33.用短除法计算30和60的最大公约数是多少？30和75的最大公约数是多少？60和75的最大

公约数是多少？

【答案】30；15；15

【分析】依次为30,15,和15.

34.用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克.现将这三种

茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

［答案］5

【3析】因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格

相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的

袋数应是144,180,240的公约数.题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，

应是144,180,240的最大公约数.

所以

(144,180,240)=2x2x3=12,

即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是

604-12=5(元).

35.用辗转相除法求120和84的最大公因数

【答案】12

【分析】

120+84=1…36

84+36=2……12

36+12=3

所以，120和84的最大公因数是12

36.两个数的最大公约数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少？

【答案】36

【分析】运用公式，可知

4x252+28=36.

37.有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，

每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？此时一共可以截成多少段？

【答案】60；10

【分析】因为要截成相等的小段，且无剩余，所以每段长度必是120、180和300的公约数.

又因为每段要尽可能长，所以要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.

（120,180,300）=30x2=60.

所以每小段最长60厘米.

120+60+180+60+300+60=2+3+5=10（段）.

答：每段最长60厘米，一共可以截成10段.

38.两个数的最小公倍数是420,这两个数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是9,

这两个整数是多少？

【答案】60和210

【分析】设这两个数分别为ma，mb为a,b的最大公约数），那么a,b互质，所以有mab=

420,a+b=9.420=2x2x3x5x7,因为2+7=9,所以它们的最大公约数是：2x

3x5=30；所以一个整数是：2x3x5x2=60,另一个整数是：2x3x5x7=210.

39.教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工,

问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物（同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、

鸭梨的个数彼此相等）？在每份礼物中，革果、桔子、鸭梨各多少个？

【答案】40；每份中有8个苹果，6个桔子，5个鸭梨.

【分析】因为（320,240,200）=40,320+40=8,240+40=6,200+40=5,所以最多可

分40份，每份中有8个苹果，6个桔子，5个鸭梨.

40.两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

【答案】147或105

【分析】假设这两个数是21a和21。，易得21xaxb=126,所以axb=6,由a和b互质，

那么就有6=1x6=2x3两种情况.所以甲、乙是：21x1=21,21x6=126或21x2=

42,21x3=63两种情况.它们的和是147或105.

41.用辗转相除法求6731和2809的最大公因数

【答案】53

【分析】

6731—2809=2….-1113

2809+1113=2---583

1113+583=1・・・・••530

583+530=1….••53

530+53=10

所以6731和2809的最大公因数是53

42.两个整数的最小公倍数是1925,这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到2个商的和

是16,这两个整数分别是多少？

【答案】175和385

【分析】设这两个数分别为ma,mb（m为a,b的最大公约数），那么a,b互质，所以有mab=

1925,a+b=16.因为1925=5x5x7x11,由于商的和是16,看约数情况，这里只能是

11+5=16；所以2个商应该是11和5,所以这两个数应该是5x7x5和5x7x11；这样除以

最大公约数5x7就剩下5和11；所以这两个数就是5x7x5=175和5x7x11=385.

43.两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18,最小公倍数是216.这两个数分别是

多少？

【答案】54,72

【分析】设这两个数是A,B根据，$\begin{gathered}

m\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

A&B

\end{array)}\,}}\right.\hfill\\

\begin{array}{*{20}{c}}

{\begin{array}{*{20}{c}}

(}&a

\end{array}}&b

\end{array}\hfill\\

\end{gathered)$,A=ma,B-mb.这两个数不成倍数关系：axb=216+18=

12=3x4,这两个薪只能是3x18=54,4x18=72.

44.a与b的最大公因数是4,a与c、b与c的最小公倍数都是100,而且满足条件的自然

数a、b、c共有多少组？

【答案】9

【分析】设a=4m,b=4n,[a,c]—100,[b,c]=100,100=22X52,

100+4=25,m|25,巾为1、5或25,同理n为1、5或25；

因为a<b,所以?n<n.

当m=l时，n=5,a=4,6=20,c可能为52、5?x2、52x4；

当m=5时，n=25,a=20,b=100,c可能为5?、52x2,52x4；

当血=几=1时，a=b=4,c可能为52、5?x2、52x4,一共有3+3+3=9(组).

45.甲乙两数的乘积是120,甲、乙两数最大公因数是2,那么甲乙两数的最小公倍数是多少？

【答案】60

【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数x两数的最小公倍数，有最小公倍数=

1204-2=60；

46.有3个不同的自然数，它们的和是105,它们的最大公约数最大是多少？

[答案]15

【分析】简答：要使3个数都不一样，那么它们的和至少是最大公约数的1+2+3=6倍，而

105=7x15,最大公约数最大只能是15,这3个数可以是15、30、60.

47.用辗转相除法求840与1764的最大公约数.

【答案】84

【分析】

1764+840=2……84

840+84=10

所以(840,1764)=84

48.两个小于150的自然数的乘积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数.

【答案】39和52

【分析】详解：设这两个自然数分别是13a和13b,且a和b互质,那么有13axi3b=2028,

可解出a和b应该是3和4,两个自然数分别是39和52.

49.求下面各组数的最大公约数和最小公倍数.

48和36；35和65；120和80.

【答案】48和36最大公约数12,最小公倍数144.

35和65最大公约数5,最小公倍数455.

120和80最大公约数40,最小公倍数240.

【分析】48和36最大公约数12,最小公倍数144.

35和65最大公约数5,最小公倍数455.

120和80最大公约数40,最小公倍数240.

50.用2、3、4、5、6、7六个数字组成的两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数

尽可能的大，请问：这两个三位数应该分别是多少？

【答案】324,756或432,756

【分析】先将540分解质因数540=22x33x5.

很明显这两数的个位数字最多只有一个为5,所以这两个三位数不可能同时是5的倍数.那么这

两个三位数的最大公约数最大可能是22x33=4x27或2x33=2x27或2?x32=4x9

等.可以看出为使得最大公约数尽可能大，肯定要让这两个数有公约数9.

因为2+3+4+5+6+7=27,所以要想有公约数9,这两个三位数的数字和只能分别是9和

18,那么只能是一个数由2、3、4组成，一个数由5、6、7组成.

接着考虑到肯定要有公约数2,那么2、3、4的组合只能是234=2x32x13,324=22x34,

342=2x32x19,432=24x33,5、6、7的组合只能是576=26x3?和756=22x33x7,

比拟后发现有两组的最大公约数最大，一组是324和756,另一组是432和756.

51.今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成假设干堆，每堆中这3种课

本的数量分别相等.那么最多可分多少堆？

【答案】14

【分析】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数.即为42,112,70的公约数，有

(42,112,70)=14.所以，最多可以分成14堆.

52.用短除法计算：⑴(36,48),[36,48]；⑵(28,42,70).

【答案】(1)(36,48)=12,[36,48]=144；(2)(28,42,70)=14

53.(1)两个互质的自然数的最小公倍数是432.求这两个数.

(2)假设两个不成倍数关系的自然数，最大公约数是45,最小公倍数是900.求这两个数.

【答案】(1)16和27(2)180和225

【分析】简答：互质的两数的乘积是432,只能是16和27；(2)设两个自然数分别是45a和

45b,且a、b互质，然后列方程即可.

54.计算:(28,72),[28,72]；(28,44,260),[28,44,260].

【答案】4,504；4,20020

55.计算以下各组数的最大公因数.

(28,35),(108,360),(24,36,90).

【答案】7,36,6

【分析】28=2x2x7,35=5x7,(28,35)=7；

(2)108=2x2x3x3x3,360=2x2x2x3x3x5>

(108,360)=2x2x3x3=36；

(3)

$\begin{gathered)

3\left|\!{\underline(\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{24}&{36}&{90}

\end{array}}\,j}\right.\hfill\\

{2}\left|\!{'underline!\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{8}&{12}&{30}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{}\begin{array}{"{20}{c}}

\quad4&\;6&\;{15}

\end{array)\hfill\\

\end(gathered!?,

(24,36,90)=3x2=6.

56.求4453和5767的最大公约数是多少？

【答案】73

【分析】运用辗转相除法：

5767-T-4453=1・・•••・1314

4453+1314=3…511

1314+511=2……292

511+292=1…219

292+219=1・・・・•・73

219+73=3

于是得知，5767和4453的最大公约数是73

57.计算下组数的最大公因数和最小公倍数.

159

38,14

【答案】鲁,白=短，墙马

【分析】短除法；略.

58.计算下组数的最大公因数.

(111,1001)

【答案】1

【分析】短除法；两数互质，那么它们的最大公因数为1.

59.a与b的最大公约数是14,a与c的最小公倍数是350,b与c的最小公倍数也是350.满足上

述条件的正整数a、b、c共有多少组？

【答案】20

【分析】a,b均为14的倍数.350=14x25,所以a,b只能是14的1,5或25倍.

(Da=25X14,b=14,c=25,50,25x7,25X14共4种；

②a=5x14,b=14,c=25,50,25x7,25x14共4种；

③a=14,b=14,c=25,50,25x7,25x14共4种；

④b=14x5,a=14同②共4种；

⑤b=14x25,a=14同①共4种，共20组.

60.计算(1573,1547,1859).

【答案】13

【分析】详解：(1573,1547)=13；(13,1859)=13.

61.两个数的最大公约数是6,最小公倍数是420,如果这两个数相差18,那么较小的数是多少？

【答案】42

【分析】详解：设这两个自然数分别是6a和6b,且a和b互质，那么有6ab=420,6a-6b=

18〔不妨设a比b大)，可解出alO,b=7,较小的数是42.

62.计算：(36,99),[36,99]；(24,28,42),[24,28,42].

【答案】9,396：2,168

63.一个房间长450厘米，宽330厘米.现方案用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方

砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？

【答案】30；165

【分析】要使方砖正好铺满地面，可知房间的长和宽都应是方破边长的倍数，也就是方砖边长

厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数.由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应

为房间长与宽的最大公约数.450和330的最大公约数是30.

450+30=15,

330+30=11,

所以共需

15x11=165(块).

64.找出三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1,但是两两均不互质.请写出所有可能

的情况.

【答案】6、10、15；12、10、15；18、10、15

【分析】显然不可能有数是1,否那么与两两不互质矛盾.不可能有数只含1种质因数，否那么

根据两两均不互质可知这三个数都有这种质因数，与最大公约数是1矛盾.不可能有数含大于

等于3种质因数，不然最小也是2x3x5=30,超过20.所以每个数恰好含2种质因数.因为

两两均不互质且最大公约数是1,所以每一种质因数都恰好在2个数中，不在另1个数中，那么

一共需要3x2+2=3种质因数.(其中3表示3个数，第一个2表示每个数恰好含2种质因数，

第二个2表示每种质因数恰好在2个数中)

如果有7,那么含7的2个数最小是2x7=14和3x7=21,21>20与题意不符，排除.同理,

其余比7大的质因数都不可能出现.

所以这3种质因数只能为2、3、5.先考虑5,只能是2x5=10和3x5=15,那么第三个数可

以是2x3=6或22x3=12或2x32=18.所以共3种情况：6、10、15；12、10、15；18、

10、15.

65.：6+B=60,(A,B)+[4B]=84,求4、6的值.

【答案】A=36,B=24或A=24,B=36

【分析】设这两个自然数分别是ma、mb(a大于b),其中m为它们的最大公因数，a与b互质,

根据题意有：

(mb+ma=m(a+b)=60

Imab+m=m(ab+1)=84

所以可以得到m是60和84的公因数，所以是(60,84)=12的因数.m=1,2,3,4,6或12；逐一枚

举可得？n=12,a=3,b=2；所以A=3x12=36,B=2x12=24或A=24,B=36.

66.n为正整数，求几+6和n+12的最大公因数的最大值、最小公倍数的最小值.

【答案】6；36

【分析】M大公因数一定是两数之差，即6的因数，所以最大是6,最大公因数一定时，两数越

小最小公倍数越小，经试验：[7,13]=91,[8,14]=56,[9,15]=45,[12,18]=36.

67.用1、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B,那么A、B、540这三个数的最大公

约数最大可能是多少？

【答案】12

【分析】先将540分解质因数540=22X33X5.很明显这两数的个位数字最多只有一个为5,

所以这两个三位数不可能同时是5的倍数.A与B各位数字之和为等=21,所以4和B不可能同

时为9的倍数.综合上述两个结论得到公约数最大为3x4=12,相应的例子有好几组，如132

和456.

68.计算以下各组数的最大公因数和最小公倍数.

⑴5_4_

6'15

⑵168

45’75

20

【答案】(1)B4]二—•

3，

Cr168、_8[1681_16

145/757-225'1^45'751-15,

【分析】子同母反：(连卜隅;acl_[a,c]

1吗]一(W)*

69.甲、乙是两个不同的自然数.它们都只含有质因数2和3,并且都有12个约数.它们的最大

公约数是12.请问：甲、乙两数之和是多少？

【答案】204

【分析】最大公约数是12,那么两数中质因数2和3的最低次方分别是2和1,又因为两数有12

个约数，利用约数个数反求法可得两数分解质因数形式为22x33=108,25x3=96,那么

两数之和为204.

70.63,105和165的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？

【答案】3；3465

【分析】63=7x9,105=3x5x7,165=3x5x11.

三者的最大公约数是3,最小公倍数是7x5x9x11=3465.

71.Q>b>c是3个整数.Q,b,c的最大公约数是15；Q,b的最大公约数是75；Q,b的最小

公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少？

【答案】105

【分析】由(a,b)=75=3x52,[a,b]=450=32x2x52=75x3x2,又a>b.

所以$\left\{\begin{gathered)

a=450\hfill\\

b=75\hfill\\

\end{gathered}\right.s!c$$\left\{\begin{gathered}

a=225\hfill\\

b=150\hfill\\

\end{gathered}\right.$

由[①c]=1050=2x3x52x7.

当$\left\{\begin{gathered}

a=450\hfill\\

b=75\hfill\\

\end{gathered}\right.$时有$\left\{\begin{gathered)

\left({450,75,c}\right)=\left({75,c}\right)=15\hfill\\

\left[{b,c}\right]=\left[{75,c}\right]=1050\hfill\\

\end{gathered)\right.$»由为两个数曲最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，

所以(75,c)x[75,c]=75xc=15xl050,得c=210,但是c>b,不满足；

当$\left\{\begin{gathered}

a=225\hfill\\

b=150\hfill\\

\end{gathered}Wight.时有$$\left\{\begin{gathered}

\left({225,150,c)\righl)=\left({75,c)\right)=15\hfill\\

\left[{b,c}\right]=\left[{150,c}\right]=1050\hfill\\

\end{gathered}\righl.$,那么c=105,c<b,满足，即$\left\{\begin{gathered)

a=225\hfill\\

h=150\hfill\\

c=105\hfill\\

\end{gathered}\righl.$为满足条件的为一解.

那么c是105.

72.甲数是36,甲、乙两数最大公因数是4,最小公倍数是288,那么乙数是多少？

【答案】32

【分析】根据两个自然数的积=两数的最大公因数x两数的最小公倍数，有：甲数x乙数=

4x288,所以，乙数=4x288+36=32.

73.利用分解质因数法找出以下各组数的最大公约数和最小公倍数.

(1)144和250；(2)240、80和96

【答案】(1)(144,250)=2,[144,250]=18000；(2)(240,80,96)=16,[240,80,96]=

480.

74.30、60、75的最大公约数是多少？

【答案】15

【分析】因为

(30,60,75)=5x3=15,

这个数最大是15.

75.两个自然数的和为54,其最小公倍数与最大公约数差为114,求这两个数.

【答案】24,30

【分析】根据$\begin{gathered}

m\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{2()}{c}}

A&B

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

\begin{array}{*{20}{c}}

{\begin{array}{*{20}{c}}

(}&a

\end{array}}&b

\end{array}\hfill\\

\end{gathered}$,得出：+b)=54,m(ab-1)=114,m为54与114公因数,即

m取值：6、3、2、1.

经验证：m=6,a=4,b=5符合条件，因此，两数分别是24与30.

76.两个不同自然数的和是60,它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60.问这样的自然数

共有多少组？

【答案】10

【分析】设这两数为a,b,记a=(a,b)qi，b={a,b')q2-

它们的和为：

a+b=(a,b)q[+(a,b)q2=(a,b)Q+q2)=60①

它们的最大公约数与最小公倍数的和为：

[a,b]+(a,b)=(a,+(a,b)=(a,h)(qiq2+D=60,且(q-q?)=1②

联立①、②有

(Q1+<72)=(<71<72+1)，

即

Qi+Q2_Q1Q2=1，

(qi—1)(1一q2)=0,

所以qi=1或q2=1.

即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a=kb(k为非零整数)，

有$$\left\{\begin{gathered)

a+b=kb+b=60\hfill\\

\left({a,b}\right)+\left[{a,b)\right]=b+a=b+kb=60\hfill\\

\end{gathered)\right.$$BP

(fc+l)b=60

确定，那么々确定，那么kb即a确定

60的约数有2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60这11个，b可以等于2,3,4,5,6,

10.12,15,20,30这10个数，除了60,因为如果b=60,那么(k+1)=1，而k为非零整

数.

对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组.

进一步,列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10),(48,12),(45,15),

(40,20),(30,30).

77.两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数.

【答案】4和60或12和20

【分析】由于两个自然数的积=两数的最大公因数x两数的最小公倍数，可以得到，最大公

约数是240+60=4,设这两个数分别为4a、4b,那么(a,b)=l,且axb=60+4=15,所

以a和b可以取1和15或3和5,所以这两个数是4和60或12和20.

78.两个自然数的最大公因数是13,最小公倍数是78,求这两个数

【答案】13,78或26,39

【分析】假设这两个数是13a和13b且(a,b)=1,易得13xaxb=78,所以ax匕=6,又a,b

互质，那么就有6=1x6=2x3两种情况，所以这两个数为13x1=13,13x6=78或

13x2=26,13x3=39.

79.现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？

【答案】101

【分析】三个数的和是1111,它们的公因数一定是1111的因数，因为1111=11x101,它的

因数只能是1,11,101和im；由于三个自然数的和是mi,所以三个自然数都小于mi,

1111不可能是三个自然数的公因数，而101是可能的，比方取三个数为101,101和909,所以

所求数是101.

80.用1到6这6个数码可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数.

【答案】3

【分析】数字和是3的倍数，123465-123456=9,存在不是9的倍数，所以最大公因数为3.

81.计算下组数的最大公因数.

(96,72)

【答案】24

【分析】短除法：

$\begin{gathered}

2\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20){c}}

{96}&{72}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{2}\Ieft|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{48}&{36}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{2}\left|\!{\underline{\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{24}&{18}

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{3}\left|\!{\underline(\,

{\begin{array}{*{20}{c}}

{12J&9

\end{array}}\,}}\right.\hfill\\

{}\begin{array}{*{20}{c}}

4&3

\end{array)\hfill\\

\end{gathered}$

(96,72)=2x2x2x3=24.

82.求15750与27216的最大公约数。

【答案】216

【分析】

27216+15750=1........11466

15750+11466=1……4284

11466+4284=2……2898

4284+2898=1…♦-1386

2898+1386=2……126

1386+126=11

所以(15750,27216)=216

83.a与b,Q与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c.

【答案】60,24,15或120,12,15.

【分析】因为12,15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15]=60的倍

数.再由[a,b,c]=120知，a只能是60或120.[Q,C]=15,说明c没有质亩数2,又因为

[a,b,c]=120=23x3x5,

所以c=15.

因为a是c的倍数，所以求a,匕的问题可以简化为：“a是60或120,(a/&)=12,[a,b]=120,

求a,b.〃

当a=60时,

b=(a,b)x[a,句+a

=12x120+60

=24;

当a=120时，

b=(a,b)x[a,b]a

=12x120+120

=12.

所以Q,b,c为60,24,15或120,12,15.

84.假设两个自然数的平方和是637,最大公约数与最小公倍数的和为49,那么这两个数是多

少？

【答案】14、21

【分析】根据短除模型，这两个数的最大公约数是49的约数，从而最大公约数为1或7.如果

最大公约数为1,那么最小公倍数为48,可能为1和48或3和16,这两种情况都不符合平方和为

637；如果最大公约数为7,那么最小公倍数为42,可能为7和42或14和21,此时142+2F=

637,满足题意，所以这两个数分别为14和21.

85.4,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是7