广西南宁市马山县金伦中学“4+ N”高中联合体2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

广西南宁市马山县金伦中学“4+N”高中联合体2024届高二数学第二学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A． B．C． D．3．展开式中的常数项为A．B．C．D．4．“，”是“双曲线的离心率为”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件5．已知定义在上的函数的图象关于对称，且当时，单调递增，若，则的大小关系是A． B． C． D．6．在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（）A． B． C． D．7．当时，总有成立，则下列判断正确的是（）A． B． C． D．8．如图所示，阴影部分的面积为（）A． B．1 C． D．9．若,则等于()A．9 B．8 C．7 D．610．已知，用数学归纳法证明时，从假设推证成立时，需在左边的表达式上多加的项数为（）A． B． C． D．111．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420 B．210 C．70 D．3512．已知离散型随机变量的分布列如下，则（）024A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知全集，集合，，则_______．14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______．15．已知在平面内，点关于轴的对称点的坐标为.根据类比推理，在空间中，点关于轴的对称点的坐标为__________．16．若，则的值是_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，，，以AC的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离.18．（12分）某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研:项目:通信设备.根据调研,投资到该项目上，所有可能结果为:获利、损失、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为；项目:新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为:获利、亏损，且这两种情况发生的概率分别为.经测算，当投入两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即数学期望)也相等.(1)求的值;(2)若将万元全部投到其中的一个项目，请你从投资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.19．（12分）已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．20．（12分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（Ⅰ）求证：平面BCD；（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.21．（12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球，（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（2）若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功．某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22．（10分）已知函数，.（1）若，求的极值；（2）若恰有三个零点，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

若方程表示双曲线，则有，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.【题目详解】因为方程表示双曲线等价于，所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.【题目点拨】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.2、D【解题分析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.3、B【解题分析】解：因为则可知展开式中常数项为,选B4、D【解题分析】

当时，计算可得离心率为，但是离心率为时，我们只能得到，故可得两者之间的条件关系.【题目详解】当时，双曲线化为标准方程是，其离心率是；但当双曲线的离心率为时，即的离心率为，则，得，所以不一定非要.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.【题目点拨】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.5、D【解题分析】分析：由题意可得函数为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果详解：定义在上的函数的图象关于对称，函数的图象关于轴对称即函数为偶函数，，当时，单调递增故选点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。6、B【解题分析】

由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果.【题目详解】因为的二项展开式的通项为：，因此二项式系数的最大值为：，令得，所以，含项的系数为，因此.故选：B.【题目点拨】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.7、C【解题分析】

构造函数，然后判断的单调性，然后即可判断的大小.【题目详解】令，则所以在上单调递增因为当时，总有成立所以当时，所以故选：C【题目点拨】解答本题的关键是要善于观察条件中式子的特点，然后构造出函数.8、B【解题分析】如图所示轴与函数围成的面积为,因此故选B.9、B【解题分析】分析：根据组合数的计算公式，即可求解答案.详解：由题意且，，解得，故选B.点睛：本题主要考查了组合数的计算公式的应用，其中熟记组合数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.10、B【解题分析】

分别计算和时的项数，相减得到答案.【题目详解】时，，共有项.时，，共有项.需在左边的表达式上多加的项数为：故答案选B【题目点拨】本题考查了数学归纳法，意在考查学生的计算能力.11、A【解题分析】

将不同的染色方案分为：相同和不同两种情况，相加得到答案.【题目详解】按照的顺序：当相同时：染色方案为当不同时：染色方案为不同的染色方案为：种故答案为A【题目点拨】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为相同和不同两种情况是解题的关键.12、B【解题分析】

先计算，再根据公式计算得到【题目详解】故答案选B【题目点拨】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】由,得：，则，故答案为.14、【解题分析】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．15、【解题分析】

在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.【题目详解】在空间中，点关于轴的对称点：轴不变，轴取相反数.点关于轴的对称点的坐标为故答案为：【题目点拨】本题考查了空间的对称问题，意在考查学生的空间想象能力.16、2或7【解题分析】

由组合数的性质，可得或，求解即可.【题目详解】，或，解得或，故答案为2或7.【题目点拨】本题考查组合与组合数公式，属于基础题.组合数的基本性质有：①；②；③.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析.(2).(3).【解题分析】分析：（Ⅰ）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；（Ⅱ）先根据体积相等求出D到平面ACM的距离为h，即可求直线PC与平面ABM所成的角；（Ⅲ）先根据条件分析出所求距离等于点P到平面ACM距离的，设点P到平面ACM距离为h，再利用第二问的结论即可得到答案．详解：（1）AC是所作球面的直径，AM⊥MC，PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，∴AM⊥平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD；（2），，，设D到平面ACM的距离为h，由，求得，∴，；（3），，∴，∴，所求距离.点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可.18、(1)，，；(2)从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.【解题分析】

（1）根据概率和为1列方程求得的值，再利用分布列和数学期望列方程组求得、的值；（2）计算均值与方差，比较即可得出结论．【题目详解】（1）依题意，，，设投入到项目的资金都为万元，变量和分别表示投资项目和所获得的利润，则和的分布列分别为由分布列得，，因为所以，即，又，解得，；，，（2）当投入万元资金时，由（1）知，所以，，，因为，说明虽然项目和项目的平均收益相等，但项目更稳妥，所以，从风险控制角度，建议该投资公司选择项目.【题目点拨】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．19、（1）在上单调递增；（2）详见解析.【解题分析】

（1）对求导，根据的符号得出的单调性；（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可．【题目详解】解：（1）时，，故，在上单调递增．（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，即．∴实数的取值范围是．不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可．令，则，∴在上单调递增，，即在恒成立．．【题目点拨】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于的不等式是证明的难点，属于难题．20、（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）要证明平面BCD，需要证明，，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和斜线的方向向量，代入公式计算试题解析：（Ⅰ）证明：为的中点，，,，，，又，，，均在平面内，平面（Ⅱ）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，取，，则点到平面的距离为方法二：设点在上，且，连，为的中点，平面，平面，平面，平面平面，平面平面，且交线为过点作于点，则平面分别为的中点，则平面，平面，平面，点到平面的距离即，故点到平面的距离为考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离21、（1）；（1）分布列详见解析，．【解题分析】试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在总数中去掉左右手各取一球，所取颜色相同的情况，即所取颜色均为红色，均为黑色、均为白色的情况；第二问，先分别求出左右手所取的两球颜色相同的概率，再利用独立事件计算两次取球的获得成功的次数为0次、1次、1次的概率，列出分布列，利用计算数学期望．试题解析：（1）设事件为“两手所取的球不同色”，则依题意，的可能取值为0，1，1．左手所取的两球颜色相同的概率为右手所取的两球颜色相同的概率为所以Ｘ的分布列为：Ｘ

0

1

1

Ｐ

考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望．22、（1）极大值为，极小值为.（2）【解题分析】分析：（1）若，则，，根据利用导数函数的极值的方法即可，（2），分类讨论，若恰有三个零点，则的极大