贵州省遵义市绥阳中学2024届高二数学第二学期期末统考试题含解析

贵州省遵义市绥阳中学2024届高二数学第二学期期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在区间上的图象如图所示，则的值（）A． B．C． D．2．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A． B．C． D．3．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法中正确的是.A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有4．设，则“”是“”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件5．一个算法的程序框图如图所示，则该程序框图的功能是A．求a，b，c三数中的最大数 B．求a，b，c三数中的最小数C．将a，b，c按从小到大排列 D．将a，b，c按从大到小排列6．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（）A． B．C． D．7．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为（）A．性别与是否喜欢理科有关B．女生中喜欢理科的比为C．男生不喜欢理科的比为D．男生比女生喜欢理科的可能性大些8．已知函数的最大值为，周期为，给出以下结论：①的图象过点；②在上单调递减；③的一个对称中心是；④的一条对称轴是．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知复数z满足，则复数等于()A． B． C． D．i10．直线为参数被曲线所截的弦长为A． B． C． D．11．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（）A．B．C．D．12．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为()A．8 B．6 C．4 D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．当时，有，则__________.14．若展开式的二项式系数之和为，则________15．已知函数f(x)=ex+x3，若f(16．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式：K2＝P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518．（12分）如图，等高的正三棱锥P-ABC与圆锥SO的底面都在平面M上，且圆O过点A，又圆O的直径AD⊥BC，垂足为E，设圆锥SO的底面半径为1，圆锥体积为．(1)求圆锥的侧面积；(2)求异面直线AB与SD所成角的大小；(3)若平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为，求三棱锥的侧棱PA与底面ABC所成角的大小．19．（12分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.求的表达式；若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？20．（12分）如图，三棱柱中，，分别为棱和的中点.(1)求证:平面;(2)若平面平面，且，求证:平面平面.21．（12分）已知圆．（Ⅰ）若，求圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若直线与圆交于，两点，且，求实数的值．22．（10分）在平面直角坐标系中，椭圆，右焦点为．（1）若其长半轴长为，焦距为，求其标准方程．（2）证明该椭圆上一动点到点的距离的最大值是．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据周期求，根据最值点坐标求【题目详解】因为,因为时，所以因为，所以，选A.【题目点拨】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.2、B【解题分析】

先对已知函数f(x)求导，由可得a的值，由此确定函数和其导函数的解析式，进而可得x=0处的切线方程。【题目详解】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.【题目点拨】本题考查求函数某点处的切线方程，解题关键是先由条件求出函数f(x)中的未知量a。3、D【解题分析】独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D4、A【解题分析】

利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；【题目详解】∵可得或，

∴由“”能推出“”，但由“”推不出“”，

∴“”是“”的充分非必要条件，

故选A.【题目点拨】本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.5、B【解题分析】

根据框图可知，当a>b时，把b的值赋给a，此时a表示a、b中的小数；当a>c时，将c的值赋给a，a表示a、c中的小数，所以输出a表示的是a，b，c中的最小数.【题目详解】由程序框图，可知若a>b，则将b的值赋给a，a表示a，b中的小数；再判断a与c的大小，若a>c，则将c的值赋给a，则a表示a，c中的小数，结果输出a，即a是a，b，c中的最小数．【题目点拨】本题考查程序框图的应用，解题的关键是在解题的过程中模拟程序框图的运行过程，属于基础题.6、B【解题分析】

假定ABCD和BCEF均为正方形，过D作，可证平面BCEF，进而可得直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，即直线与所成角的正弦值的最小值，当直线与异面垂直时，所成角的正弦值最大.【题目详解】过D作，垂足为G，假定ABCD和BCEF均为正方形，且边长为1则平面CDG，故又，平面BCEF故直线BD在平面BCEF内的射影为BG，由已知可得，则以直线BD与平面BCEF所成的角正弦值，所以直线BD与平面BCEF内直线所成的角正弦值最小为，而直线与所成角最大为（异面垂直），即最大正弦值为1.故选：B【题目点拨】本题考查了立体几何中线面角，面面角找法，考查了转化思想，属于难题.7、C【解题分析】

本题为对等高条形图，题目较简单，逐一排除选项，注意阴影部分位于上半部分即可．【题目详解】解：由图可知，女生喜欢理科的占，故B正确；男生喜欢理科的占，所以男生不軎欢理科的比为，故C不正确；同时男生比女生喜欢理科的可能性大些，故D正确；由此得到性别与喜欢理科有关，故A正确．故选：．【题目点拨】本题考查等高条形图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8、C【解题分析】

运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a，，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．【题目详解】函数的最大值为，周期为，

可得，可得，可得，

则，

则，正确；

当，可得，

可得在上单调递减，正确；

由，则错误；

由，

可得正确．

其中正确结论的个数为1．

故选：C．

【题目点拨】本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．9、D【解题分析】

把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【题目详解】,,.故选:D.【题目点拨】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.10、C【解题分析】

分析：先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离，再利用关系：即可求出弦长．详解：直线为参数化为普通方程：直线．

∵曲线，展开为化为普通方程为，即，

∴圆心圆心C到直线距离，

∴直线被圆所截的弦长．

故选C．点睛：本题考查直线被圆截得弦长的求法，正确运用弦长l、圆心到直线的距离、半径r三者的关系：是解题的关键．11、B【解题分析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是，所以，故选B.12、C【解题分析】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，复数相等的条件列式求解a值．【题目详解】∵（1﹣i）（a+i）＝（a+1）+（1﹣a）i，∴1﹣a=0，即a＝1．故答案为1．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的分类，是基础题．14、【解题分析】

根据二项展开式二项式系数和为可构造方程求得结果.【题目详解】展开式的二项式系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项展开式的二项式系数和的应用，属于基础题.15、(1,2)【解题分析】因为f'(x)=ex+3x2>0，所以函数f(x)为增函数，所以不等式16、m≤1【解题分析】，使为真命题则解得则实数的取值范围为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）有【解题分析】分析：（1）由全部人抽到随机抽取1人为优秀的概率为，可以计算出优秀人数为30，从而可得到表中各项数据的值；（2）根据列联表中的数据，代入公式，计算出的值，与临界值比较即可得到结论.详解：(1)优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105(2)根据列联表中的数据，得到K2＝≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.18、(1)；(2)；(3)【解题分析】

（1）利用圆锥体积可求得圆锥的高，进而得到母线长，根据圆锥侧面积公式可求得结果；（2）作交圆锥底面圆于点，则即为异面直线与所成角，在中，求解出三边长，利用余弦定理可求得，从而得到结果；（3）根据截面面积之比可得底面积之比，求得，进而求得等边三角形的边长，利用正棱锥的特点可知若为的中心，则即为侧棱与底面所成角，在中利用正切值求得结果.【题目详解】（1）设圆锥高为，母线长为由圆锥体积得：圆锥的侧面积：（2）作交圆锥底面圆于点，连接，则即为异面直线与所成角由题意知：，，又即异面直线与所成角为：（3）平行于平面M的一个平面N截得三棱锥与圆锥的截面面积之比为又，即为边长为的等边三角形设为的中心，连接，则三棱锥为正三棱锥平面即为侧棱与底面所成角即侧棱与底面所成角为：【题目点拨】本题考查圆锥侧面积的求解、异面直线所成角的求解、直线与平面所成角的求解.解决立体几何中的角度问题的关键是能够通过平移找到异面直线所成角、通过找到直线在平面内的投影，得到线面角.19、（1）（2）发车时间间隔为分钟时，最大【解题分析】

（1）分和两段求函数的解析式，当时，，当时，，求；（2）根据（1）的结果，分段求函数，利用导数求函数的最大值.【题目详解】解：（1）当时，不妨设，因为，所以解得.因此.（2）①当时，因此，.因为，当时，，单增；当时，，单减.所以.②当时，因此，.因为，此时单减.所以，综上，发车时间间隔为分钟时，最大.【题目点拨】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达和.20、（1）见解析（2）见解析【解题分析】分析：（1）先设的中点为，利用平几知识证得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得面，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：解：（1）如图1，设的中点为，连结，.在中，因为为的中点，所以，且，在三棱柱中，因为，且,为的中点，所以,且，所以，且,所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如图2，在侧面中，连结并延长交直线于点，连结.在三棱柱中，所以,因为为的中点，所以为中点.又因为为中点，所以,又面，面所以平面(法三)如图3，取的中点,连结、.在中，因为、分别为、的中点，所以.