2024届西宁市第四中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

2024届西宁市第四中学数学高二第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是（）A．2 B．1 C． D．-12．某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）181310-1用电量（度）24343864由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为（）A．68 B．67 C．65 D．643．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．1或2 B．或2 C． D．24．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数（）A． B． C． D．5．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(x)+fA．(-∞,0) B．(0,+∞) C．(-∞,1) D．(1,+∞)6．若角为三角形的一个内角，并且，则（）A． B． C． D．7．下列四个命题中，其中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；③球的面积是它大圆面积的四倍；④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．A．0 B．1 C．2 D．38．已知曲线的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为()A．1 B．ln2 C．2 D．e9．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（）A． B． C． D．10．函数的单调递增区间是（）A． B． C．(1,4) D．(0,3)11．设函数满足下列条件：（1）是定义在上的奇函数；（2）对任意的，其中，常数，当时，有.则下列不等式不一定成立的是（）.A．B．C．D．12．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（）A．12 B．15 C．18 D．21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数满足条件，对于，存在唯一的，使得，当成立时，则实数__________．14．若，则的定义域为____________.15．已知函数,,,且，则不等式的解集为__________.16．已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；（2）若，讨论的单调性；（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．18．（12分）如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）已知函数，为的导函数.证明：（1）在区间存在唯一极小值点；（2）有且仅有个零点.20．（12分）已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值，并求取最大值时的取值集合；（Ⅱ）若且，求．22．（10分）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是。(1)若,求；(2)若，求实数的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【题目详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环：，满足判断条件，；第二次循环：，满足判断条件，；第三次循环：，满足判断条件，；第四次循环：，满足判断条件，；第五次循环：，满足判断条件，；第六次循环：，不满足判断条件，输出结果，故选A．【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2、A【解题分析】

根据回归直线方程过样本中心点，计算出并代入回归直线方程，求得的值，然后将代入回归直线方程，求得预测的用电量度数.【题目详解】解：，，，线性回归方程为：，当时，，当气温为时，用电量度数为68，故选A．【题目点拨】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题.3、C【解题分析】

根据纯虚数的定义可得2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0然后求解．【题目详解】∵复数z＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数∴2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0∴m故选C．【题目点拨】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键是要注意m2﹣3m+2≠0，属于基础题.4、D【解题分析】

通过复数是纯虚数得到，得到，化简得到答案.【题目详解】复数（为虚数单位）是纯虚数故答案选D【题目点拨】本题考查了复数的计算，属于基础题型.5、B【解题分析】

不等式的exfx<1的解集等价于函数g(x)=exf(x)图像在y=1下方的部分对应的x的取值集合，那就需要对函数g(x)=exf(x)的性质进行研究，将fx+f'x【题目详解】解：令g(x)=因为f所以，(故g故gx在R又因为f所以，g所以当x>0，gx<1，即e故选B.【题目点拨】不等式问题往往可以转化为函数图像问题求解，函数图像问题有时借助函数的性质（奇偶性、单调性等）进行研究，有时还需要构造新的函数.6、A【解题分析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角为三角形的一个内角，且，∴∴故选：A点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面距离等的含义的理解,是解决此题的关键.【题目详解】对于①,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故①错;

对于②三部分的面积都是，故②正确对于③,球面积=,是它大圆面积的四倍,故③正确;

对于④,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故④错.

所以①④错误.

所以C选项是正确的.【题目点拨】本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离.8、D【解题分析】

对函数进行求导，然后让导函数等于2，最后求出切点的横坐标.【题目详解】，由题意可知，因此切点的横坐标为e，故选D.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.9、C【解题分析】

先根据条件求出，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案.【题目详解】由已知可得：，所以，则展开式的中间项为，即展开式的中间项的系数为1120.故选：C．【题目点拨】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．10、B【解题分析】

求出函数的导数，在解出不等式可得出所求函数的单调递增区间.【题目详解】，，解不等式，解得，因此，函数的单调递增区间是，故选B.【题目点拨】本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题.11、C【解题分析】

因为是定义在上的奇函数，所以，由条件（2）得;因为，所以;因为，所以，即即;当时，与大小不定，所以选C.12、B【解题分析】

一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可【题目详解】由题可知，一等奖为男生，故；二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故故获奖可能种数为，即选B【题目点拨】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据条件得到在和上单调，得到的关系式，进而即可求解.详解：若对于，存在唯一的，使得，所以函数在和上单调，则且，由，得，即，解得，所以.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，以及函数的单调性的应用，其中根据题得出函数为单调函数，求得的关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，属于中档试题.14、【解题分析】

根据幂函数和对数函数的性质即可求得．【题目详解】由题解得【题目点拨】本题考查函数定义域，属于基础题．15、【解题分析】分析：根据条件，构造函数，求函数的导数，利用导数即可求出不等式的解集.详解：由则，构造函数，则，当时，，即函数在上单调递减，则不等式等价于，即，则，故不等式的解集为.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.16、【解题分析】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析（3）见解析【解题分析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。详解：（1）因为，所以；又。由题意得，解得（2），其定义域为，又，令或。①当即时，函数与随的变化情况如下：当时，，当时，。所以函数在单调递增，在和单调递减②当即时，，所以，函数在上单调递减③当即时，函数与随的变化情况如下：当时，，当时，。所以函数在单调递增在和上单调递减（3）证明：当时，由①知，的极小值为，极大值为.因为且又由函数在是减函数，可得至多有一个零点又因为，所以函数只有一个零点，且.点睛：利用导数求在某点切线方程利用，即可，方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用。18、(Ⅰ)见证明；(Ⅱ)．【解题分析】

（Ⅰ）先证得，再证得，于是可得平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．【题目详解】（Ⅰ）在中，是斜边的中点，所以.因为是的中点，所以，且，所以，所以.又因为，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，因为，所以.又因为，，所以平面，所以平面．因此是直线与平面所成的角．故，所以.过点作于，则平面，且．过点作于，连接，则为二面角的平面角．因为，所以，所以，因此二面角的余弦值为．方法二：如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为(同方法一,过程略)则，,．所以,,，设平面的法向量，则，即，取,得．设平面的法向量则，即，取,得．所以，由图形得二面角为锐角，因此二面角的余弦值为．【题目点拨】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．19、（1）证明见解析；（2）证明见解析【解题分析】

（1）令，然后得到，得到的单调性和极值，从而证明在区间存在唯一极小值点；（2）根据的正负，得到的单调性，结合，，的值，得到的图像，从而得到的单调性，结合和的值，从而判断出有且仅有个零点.【题目详解】（1）令，，当时，恒成立，当时，.∴在递增，，.故存在使得，时，时，.综上，在区间存在唯一极小值点.（2）由（1）可得时，，单调递减，时，，单调递增.且，.故的大致图象如下：当时，，∴此时，单调递增，而.故存在，使得故在上，的图象如下：综上，时，，时，，时，.∴在递增，在递减，在递增，而，，又当时，，恒成立.故在上的图象如下：∴有且仅有个零点.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数研究函数零点个数，属于中档题.20、（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2)的取值范围是.【解题分析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数在上的值域为．结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个．通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围．试题解析：（1）