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文档简介
2024届北京市八十中数学高二下期末达标测试试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.2.某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关,随机调查了一些中年人的情况,具体数据如下表所示:有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得,由断定秃发与患有心脏病有关,那么这种判断出错的可能性为()附表:0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A.0.1 B.0.05C.0.01 D.0.0013.若点P在抛物线上,点Q(0,3),则|PQ|的最小值是()A. B. C. D.4.若集合,,则()A. B. C. D.5.已知向量,,且,则等于().A. B. C. D.6.下列命题错误的是A.若直线平行于平面,则平面内存在直线与平行B.若直线平行于平面,则平面内存在直线与异面C.若直线平行于平面,则平面内存在直线与垂直D.若直线平行于平面,则平面内存在直线与相交7.已知O是的两条对角线的交点.若,其中,则()A.-2 B.2 C. D.8.一个均匀的正方体,把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色,随机向上抛出,正方体落地时“向上面为红色”的概率是A. B. C. D.9.如图,设、两点在河的两岸,一测量者在的同侧河岸边选定一点,测出、的距离是,,,则、两点间的距离为()A. B. C. D.10.已知点在以点为焦点的抛物线(为参数)上,则等于()A. B. C. D.11.下列说法正确的是()A.若为真命题,则为真命题B.命题“若,则”的否命题是真命题C.命题“函数的值域是”的逆否命题是真命题D.命题“,关于的不等式有解”,则为“,关于的不等式无解”12.函数的图象关于点对称,是偶函数,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的焦点坐标为____________.14.若与的夹角为,,,则________.15.x2+1x3516.已数列,令为,,,中的最大值2,,,则称数列为“控制数列”,数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”例如:为1,3,5,4,2,则“控制数列”为1,3,5,5,5,其“阶数”为3,若数列由1,2,3,4,5,6构成,则能构成“控制数列”的“阶数”为2的所有数列的首项和是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)解关于x的不等式ax2+ax-1>x18.(12分)已知的展开式中,第项与第项的二项式系数之比是.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中的常数项;(3)求展开式中二项式系数最大的项.19.(12分)在极坐标系中,已知圆经过点,且圆心为,求圆的极坐标方程.20.(12分)已知函数在点处的切线方程为.(1)求a,b的值;(2)求证:.21.(12分)已知曲线的极坐标方程为,直线,直线.以极点为原点,极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程;(2)已知直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求的周长.22.(10分)已知函数.(1)当时,若在上恒成立,求的取值范围;(2)当时,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
先判断函数奇偶性,再根据对应区间函数值的正负确定选项.【题目详解】为偶函数,舍去A;当时,舍去C;当时,舍去D;故选:B【题目点拨】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象,考查基本分析求解判断能力,属基础题.2、D【解题分析】
根据观测值K2,对照临界值得出结论.【题目详解】由题意,,根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题,理解临界值表格是关键,是基础题.3、B【解题分析】试题分析:如图所示,设,其中,则,故选B.考点:抛物线.4、A【解题分析】
分别化简集合和,然后直接求解即可【题目详解】∵,,∴.【题目点拨】本题考查集合的运算,属于基础题5、B【解题分析】
由向量垂直可得,求得x,及向量的坐标表示,再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【题目详解】由,可得,代入坐标运算可得x-4=0,解得x=4,所以,得=5,选B.【题目点拨】求向量的模的方法:一是利用坐标,二是利用性质,结合向量数量积求解.6、D【解题分析】分析:利用空间中线线、线面间的位置关系求解.详解:A.若直线平行于平面,则平面内存在直线与平行,正确;B.若直线平行于平面,则平面内存在直线与异面,正确;C.若直线平行于平面,则平面内存在直线与垂直,正确,可能异面垂直;D.若直线平行于平面,则平面内存在直线与相交,错误,平行于平面,与平面没有公共点.故选D.点睛:本题主要考查命题的真假判断,涉及线面平行的判定和性质,属于基础题.7、A【解题分析】
由向量的线性运算,可得,即得解.【题目详解】由于,故所以故选:A【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算,考查了学生数形结合,数学运算的能力,属于基础题.8、B【解题分析】
∵随机抛正方体,有6种等可能的结果,其中正方体落地时“向上面为红色”有2种情况,
∴正方体落地时“向上面为红色”的概率是
.故选B.9、A【解题分析】
利用三角形的内角和定理求出,再利用正弦定理即可求解.【题目详解】由三角形的内角和可得,在中,由正弦定理可得,所以,故选:A【题目点拨】本题考查了正弦定理在生活中的应用,需熟记正弦定理,属于基础题.10、D【解题分析】分析:欲求,根据抛物线的定义,即求到准线的距离,从而求得即可.详解:抛物线,准线,为到准线的距离,即为4,故选:D.点睛:抛物线的离心率e=1,体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简化.11、C【解题分析】
采用命题的基本判断法进行判断,条件能推出结论为真,推不出为假【题目详解】A.若为真命题,则中有一个为真命题即可满足,但推不出为真命题,A错B.命题“若,则”的否命题是:“若,则”,当时,不满足,B错C.原命题与逆否命题真假性相同,的取值大于零,所以值域为,C为真命题D.命题“,关于的不等式有解”,则为“,关于的不等式无解”,D错答案选C【题目点拨】四种常见命题需要熟悉基本改写方式,原命题与逆否命题为真,逆命题与否命题为真,原命题与逆命题或否命题真假性无法判断,需改写之后再进行判断,命题的否定为只否定结论,全称改存在,存在改全称12、D【解题分析】
根据图像关于对称列方程,解方程求得的值.利用列方程,解方程求得的值,由此求得的值.【题目详解】由于图像关于对称,也即关于的对称点为,故,即,而,故,化简得,故.由于是偶函数,故,即,故.所以,故选D.【题目点拨】本小题主要考查已知函数的对称性、函数的奇偶性求解析式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
首先将双曲线方程整理为标准方程的形式,然后求解其焦点坐标即可.【题目详解】双曲线方程即:,其中,故,由双曲线的方程可知双曲线焦点在x轴上,故焦点坐标为.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查双曲线方程焦点的计算,属于基础题.14、【解题分析】
,由此求出结果.【题目详解】解:与的夹角为,,,.故答案为:.【题目点拨】本题考查向量的模的求法,考查向量的数量积公式,考查运算能力,属于基础题.15、10;32【解题分析】
x2T由10-5r=0得r=2,故展开式中常数项为C52=10;取x=116、1044【解题分析】
根据新定义,分别利用排列、组合,求出首项为1,2,3,4,5的所有数列,再求出和即可.【题目详解】依题意得,首项为1的数列有1,6,a,b,c,d,故有种,首项为2的数列有2,1,6,b,c,d,或2,6,a,b,c,d,故有种,首项为3的数列有3,6,a,b,c,d,或3,1,6,b,c,d,或3,2,6,b,c,d或3,1,6,c,d或,3,2,1,6,c,d,故有种,首项为4的数列有种,即4,6,a,b,c,d,有种,4,1,6,b,c,d,或4,2,6,b,c,d,或4,3,6,b,c,d,有种,4,a,b,6,c,d,其中a,2,,则有种,4,a,b,c,6,d,其中a,b,2,,则有6种,首项为5的数列有种,即5,6,a,b,c,d,有种,5,1,6,b,c,d,或5,2,6,b,c,d,或5,3,6,b,c,d,或5,4,6,b,c,d有种,5,a,b,6,c,d,其中a,2,3,,则有种,5,a,b,c,6,d,其中a,b,2,3,,则有24种,5,a,b,c,d,6,其中a,b,c,2,3,,则有24种,综上,所有首项的和为.故答案为1044【题目点拨】本题主要考查了排列组合,考查了新定义问题,属于难题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析.【解题分析】分析:对a分五种情况讨论,分别利用一元一次不等式与一元二次不等式的解法求解即可.详解:①当a=0时,x<-1;②当a≠0时:1∘a>0,ax2故等式左边因式分解得:ax-1x+12∘当-1<a<0时,-ax+13∘当a=-1时,x4∘当a<-1时,-ax+1点睛:本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用.属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.18、(1)1;(2)180;(3).【解题分析】
(1)利用条件、组合数公式,求得的值,可得展开式中各项系数的和.(2)利用二项展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.(3)由题意利用二项式系数的性质,求出二项式系数最大的项.【题目详解】解:(1)由题意知,,即,求得,故令,可得展开式中各项系数的和为.(2)由于二项式的通项公式为,令,求得,故展开式中的常数项为.(3)要使二项式系数最大,只要最大,故,故二项式系数最大的项为第6项.【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质.19、【解题分析】
首先把极坐标转换为直角坐标,进一步求出圆的方程,再转换为极坐标方程.【题目详解】点转换为直角坐标为,圆心为,故圆的半径为,圆的方程为.整理得,转换为极坐标方程为,即.【题目点拨】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.20、(1),;(2)见解析【解题分析】
(1)计算导函数,结合切线方程,建立等式,计算参数,即可.(2)得到,计算导函数,计算最值,建立不等关系,即可.【题目详解】(1)函数的导数为,函数在点处的切线斜率为,由切线方程,可得,,解得,;(2)证明:,导数为,,易知为增函数,且.所以存在,有,即,且时,,递增;时,,递减,可得处取得最小值,可得成立.【题目点拨】考查了函数导数计算方法,考查了利用导数计算最值问题,做第二问关键利用导数计算最值,难度偏难.21、(1),;;(2).【解题分析】
(1)直接利用转换关系式,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.(2)利用(1)的结论,建立方程组,进一步利用余弦定理求出结果.【题目详解】(1)解:直线,所以:直线的直角坐标方程为,直线.所以:直线的直角坐标方程为曲线的直角坐标方程为,所以:曲线的参数方程为(为参数);(2)解:联立,得到,同理,又,所以根据余弦定理可得,所以周长.【题目点拨】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,方程组的应用和余弦定理的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.22、(1)(2)见解析【解题分析】
(1)在上恒成立即在上恒成立,构造新函数求最值即可;(2)对x分类讨论,转证的最值与零的关系即可.【题目详解】解:(1)由,得在
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