云南省玉溪市江川县2024届数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

云南省玉溪市江川县2024届数学高二第二学期期末达标测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．定积分（）A．1 B．2 C．3 D．42．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于的是（）A． B． C． D．3．函数的图像大致为()A． B．C． D．4．已知函数的图像是一条连续不断的曲线，若，，那么下列四个命题中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命题的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个5．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．6．函数的最小正周期为（）A． B． C． D．7．已知离散型随机变量的概率分布列如下：01230.20.30.4则实数等于()A．0.5 B．0.24 C．0.1 D．0.768．设是可导函数,且满足,则曲线在点处的切线斜率为()A．4 B．-1 C．1 D．-49．设集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，则A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}10．如图，已知直线与曲线相切于两点，函数，则函数（）A．有极小值，没有极大值 B．有极大值，没有极小值C．至少有两个极小值和一个极大值 D．至少有一个极小值和两个极大值11．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C． D．12．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．14．已知，若（），则______．15．若幂函数的图像经过点，则__________．16．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）宁德市某汽车销售中心为了了解市民购买中档轿车的意向，在市内随机抽取了100名市民为样本进行调查，他们月收入(单位：千元)的频数分布及有意向购买中档轿车人数如下表：月收入[3，4)[4，5)[5，6)[6，7)[7，8)[8，9)频数6243020155有意向购买中档轿车人数212261172将月收入不低于6千元的人群称为“中等收入族”，月收入低于6千元的人群称为“非中等收入族”．（Ⅰ）在样本中从月收入在[3，4)的市民中随机抽取3名，求至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率.（Ⅱ）根据已知条件完善下面的2×2列联表，并判断有多大的把握认为有意向购买中档轿车与收入高低有关？非中等收入族中等收入族总计有意向购买中档轿车人数40无意向购买中档轿车人数20总计1000.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：18．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．19．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.20．（12分）已知函数，.（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.21．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，求的面积.22．（10分）高二年级数学课外小组人:（1）从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法?（2）从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法?

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

直接利用定积分公式计算得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了定积分，意在考查学生的计算能力.2、D【解题分析】

利用古典概型、组合的性质直接求解.【题目详解】在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则，故A错误；，故B错误；，故C错误；，故D正确；故选：D【题目点拨】本题考查了古典概型的概率计算公式，组合的性质，属于基础题.3、B【解题分析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．4、A【解题分析】分析：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，根据不等式的性质可得①正确；利用特值法可得②③④错误，从而可得结果.详解：函数是连续的，故在闭区间上，的值域也是连续的，令，对于①，，故①正确.对于②，若，则，无意义，故②错误.对于③，时，不存在，使得，故③错误.对于④，可能为，则无意义，故④错误，故选A.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函不等式的性质及连续函数的性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，利用定理、公理、结论以及特值判断，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.5、D【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【题目详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【题目点拨】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。6、B【解题分析】

先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，然后利用周期公式可求答案．【题目详解】函数的最小正周期为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，属基础题．7、C【解题分析】

根据随机变量概率的性质可得，从而解出。【题目详解】解：据题意得，所以，故选C.【题目点拨】本题考查了概率性质的运用，解题的关键是正确运用概率的性质。8、D【解题分析】

由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处切线的斜率．【题目详解】由，得，∴曲线在点处的切线斜率为-4，故选：D.【题目点拨】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.9、D【解题分析】

根据交集定义求解．【题目详解】由题意A∩B={1,5}．故选D．【题目点拨】本题考查集合的交集运算，属于基础题．10、C【解题分析】

根据导数的几何意义，讨论直线与曲线在切点两侧的导数与的大小关系，从而得出的单调区间，结合极值的定义，即可得出结论．【题目详解】如图，由图像可知，直线与曲线切于a，b，将直线向下平移到与曲线相切，设切点为c，当时，单调递增，所以有且．对于=，有，所以在时单调递减；当时，单调递减，所以有且．有，所以在时单调递增；所以是的极小值点．同样的方法可以得到是的极小值点，是的极大值点．故选C．【题目点拨】本题主要考查函数导数的几何意义，函数导数与单调性，与函数极值之间的关系，属于中档题．11、D【解题分析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为12、A【解题分析】

根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.【题目详解】由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直线方程为，即.故选A【题目点拨】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[25，57]【解题分析】

先把不等式变形为﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x最值，找到的限制条件，结合线性规划的知识可得.【题目详解】对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得时取得最小值4，或时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝5时zmax＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝4时zmax＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题及利用线性规划知识求解范围问题，恒成立问题一般是转化为最值问题，线性规划问题通常借助图形求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.14、63【解题分析】由归纳，得，即，即.15、【解题分析】

设出幂函数，代入点计算函数表达式，将代入得到答案.【题目详解】设：，图像经过点，即故答案为【题目点拨】本题考查了幂函数的计算，属于简单题.16、[1，＋∞)【解题分析】函数在区间上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ)90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关【解题分析】

（Ⅰ）解法1：利用古典概型概率公式计算出“至少有名市民有意向购买者中档轿车”的对立事件“没有市民愿意购买中档轿车”的概率，然后利用对立事件的概率公式计算出所求事件的概率；解法2：将事件“至少有名市民购买中档轿车”分为两个基本事件，分别利用古典概型概率公式计算出这两个基本事件的概率，再将两个概率相加可得出答案；（Ⅱ）列出列联表，并计算出的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，即可下结论．【题目详解】（Ⅰ）记“至少有1名市民有意向购买中档轿车”为事件A.解法1：；解法2：，所以至少有1名市民“有意向购买中档轿车”的概率；（Ⅱ）完善下面的2×2列联表如下：非中等收入族中等收入族总计有意向购买中档轿车402060无愿向购买中档轿车202040总计6040100，故有90%的把握认为有意向购买中高档轿车与收入高低有关．如果学生答案如下也可得分：没有充分的证据表明有意向购买中高档轿车与收入高低有关．【题目点拨】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验，在求解含有“至少”的事件的概率中，可以采用对立事件的概率来简化计算，同时也考查了独立性检验思想的应用，考查计算能力，属于中等题．18、（1）3600（2）576（3）1440【解题分析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19、（1）；（2）.【解题分析】（Ⅰ）由已知，有所以事件发生的概率为.（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.20、（1）（2）或【解题分析】

(1)由得，即与的图象在上有唯一交点.