徐汇新王牌-秋季同步提高补习班-初中数学唐L老师第四节-勾股定理

第四节勾股定理知识点归纳1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数〔注意：假设a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。〕常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,133.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。〔经典直角三角形：勾三、股四、弦五〕其他方法：〔1〕有一个角为90°的三角形是直角三角形。〔2〕有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：〔1〕确定最大边〔不妨设为c〕；〔2〕假设c2＝a2＋b2，那么△ABC是以∠C为直角的三角形；假设a2＋b2＜c2，那么此三角形为钝角三角形〔其中c为最大边〕；假设a2＋b2＞c2，那么此三角形为锐角三角形〔其中c为最大边〕注意：〔1〕直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〔2〕在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。〔3〕在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。5.勾股定理的作用：〔1〕直角三角形的两边求第三边。〔2〕直角三角形的一边，求另两边的关系。〔3〕用于证明线段平方关系的问题。〔4〕利用勾股定理，作出长为的线☆Round1☆小试牛刀〔一〕结合三角形：1.ABC的三边、、满足，那么ABC为三角形2.在ABC中，假设=〔+〕〔-〕，那么ABC是三角形，且3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，那么BC的长为4.那么以、、为边的三角形是5.在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，那么△ABC的面积为_____________．6.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，那么正方形D的面积是_______cm2.7.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，假设a，c的面积分别为5和11，那么b的面积为___________.8.如下图，在边长为2的正三角形ABC中，点P是三角形内任意一点，那么点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于〔〕A、3B、23C、43D、无法确定9.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，那么△BDE周长的最小值为〔〕A、2B、2C、2+2D、2+210.直角三角形的三边为a-b，a，a+b且a、b都为正整数，那么三角形其中一边长可能为〔〕A、61B、71 C、81 D、9111.与互为相反数，试判断以、、为三边的三角形的形状。12.：在ABC中，三条边长分别为、、，=，=2，=〔>1〕试说明：C=。☆Round2☆考试必备〔二〕、实际应用：1.梯子滑动问题：〔1〕一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7〔如图〕，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动米〔2〕如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，〔填“大于〞，“等于〞，或“小于〞〕〔3〕如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，那么x与y的大小关系是〔〕A.B.C.D.不能确定〔4〕小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米2.直角边与斜边和斜边上的高的关系：〔1〕直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，那么以下式子总能成立的是〔〕A.B.C.D.变：〔2〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：〔1〕〔2〕〔3〕以为三边的三角形是直角三角形3.爬行距离最短问题：1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙〔盒壁的忽略不计〕〔1〕假设昆虫甲在顶点处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱的中点E，再连结AE、，昆虫乙如果沿途径爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。〔2〕如图b，假设昆虫甲从点以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？试一试：对于〔2〕，当昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比拟得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，那么昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是分米？4.如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体外表从点A爬到点B，那么它走过的路程最短为〔〕A.B.C.D.4.折叠问题：1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么CD等于〔〕A.B.C.D.2.小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。3.如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是4米，那么这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是米。4.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。5.如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，那么江面的宽度为。〔三〕求边长：1.在R中，、、分别是A、B、C的对边，C=①：=6，=10，求；②：=40，=9，求；2.如下图，在四边形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。3.为了美化环境，方案在某小区用草地铺设一个等腰三角形，使它的面积为30平方米且有一边长为10米，求另外两条边。4.如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，那么PD=_________.5．等边三角形ABC内一点P，AP＝3，BP＝4，CP＝5，求∠APB的度数．6.：在Rt△ABC中，BC＝AC，P为△ABC内一点，且PA＝3，PB＝1，PC＝2。求∠BPC的度数。〔五〕方向问题：1.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．(1)此时轮船离开出发点多少km?(2)假设轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?3.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ABABCD第4题图〔六〕旋转问题：1.如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，假设将△PAC绕点A旋转后，得到△，那么点P与点P’之间的距离为，∠APB=2.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=，将ABH绕点A逆时针旋转到AC处，假设AH=3㎝，试求出H、两点之间的距离。3.如下图，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转到CBE的位置，假设BP=，求：以PE为边长的正方形的面积4.直角三角形ABC中，ACB=，CA=CB，圆心角为，半径长为CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N，当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，试说明MN的理由。5.如下图，在ABC中，AB=AC，BAC=，D是BC上任一点，求证：BD。6.在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF。〔1〕说明：〔2〕假设BE=12,CF=5，试求的面积。7.如图，P是等边三角形内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作，且BQ=BP，连结CQ、PQ，假设PA:PB:PC=3:4:5,试判断的形状。8.如图，和都是等边三角形，，试说明：9．如图1，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由．图1②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请你说明理由．图1〔七〕折叠问题：1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。〔1〕试说明：AF=FC；〔2〕如果AB=3，BC=4，求AF的长3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，假设△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积4.如下图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？5.如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6(1)△ACD是什么三角形？为什么？(2)把△ACD沿直线AC向下翻折，CD交AB于点E，假设重叠局部面积为4，求D'E的长。6.如图，EF为正方形ABCD的对角线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，那么∠DKG=_______