高考数学二轮复习 专题能力训练20 坐标系与参数方程（选修4-4） 文-人教版高三选修4-4数学试题

专题能力训练20坐标系与参数方程(选修4—4)一、能力突破训练1.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=1+3cost,y=-2+3sint(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为2ρsin(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.2.(2019全国Ⅲ,文22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,π2,(1,π),曲线M(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.3.(2019甘肃白银联考,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为3x+y+a=0,曲线C的参数方程为x=3cosθ,y=1+3sinθ(θ为参数).(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;(2)若直线θ=π6(ρ∈R)与直线l的交点为M,与曲线C的交点为A,B,且点M恰好为线段AB的中点,求a4.(2018全国Ⅰ,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.5.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-cosθ=0,点M1,π2.以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.斜率为-1的直线l过点M,且与曲线C交于A,(1)求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)求点M到A,B两点的距离之积.二、思维提升训练6.(2019湖南常德检测,22)在平面直角坐标系xOy中,已知直线C:x=-22t,y=1+22t(t为参数),圆M:x2+y2(1)写出直线C与圆M的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知射线l:θ=α(ρ>0)分别与直线C及圆M相交于A,B两点,当α∈0,π2时,求7.已知直线l的参数方程为x=1+2t,y=2t(t为参数),以坐标原点为极点,(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出点P的坐标.8.(2019山东青岛检测,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(0,3),且倾斜角为α,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-π3-1(1)求直线l的参数方程和圆C的直角坐标方程;(2)设直线l与圆C交于M,N两点,若||PM|-|PN||=2,求直线l的倾斜角的α值.

专题能力训练20坐标系与参数方程(选修4—4)一、能力突破训练1.解(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π得ρsinθ-ρcosθ-m=0.所以直线l的直角坐标方程为x-y+m=0.(2)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即|1-(-2)+m|22.解(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0≤θ≤π4,M2的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤θ≤3π4,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知若0≤θ≤π4,则2cosθ=3,解得θ=π若π4≤θ≤3π4,则2sinθ=3,解得θ=π3或若3π4≤θ≤π,则-2cosθ=3,解得θ=综上,P的极坐标为3,3.解(1)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入3x+y+a=0中,得直线l的极坐标方程3ρcosθ+ρsinθ+a=0.在曲线C的参数方程中,消去θ,可得x2+(y-1)2=9,即x2+y2-2y-8=0.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2-2y-8=0中,得曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ-8=0.(2)在极坐标系中,由已知可设Mρ1,π6,Aρ联立θ=π6,ρ2-2ρsinθ-8=0,可得ρ2因为点M恰好为AB的中点,所以ρ1=12,即M1把M12,π6代入3ρcosθ+ρsinθ+a=0,得344.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43综上,所求C1的方程为y=-43|x|+25.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ.所以y2=x即为曲线C的直角坐标方程.点M的直角坐标为(0,1),直线l的倾斜角为3π故直线l的参数方程为x=tcos3π4,y(2)把直线l的参数方程x=-22t,y=1+22即t2+32t+2=0,Δ=(32)2-4×2=10>0.设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t又直线l经过点M,故由t的几何意义得点M到A,B两点的距离之积|MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2.二、思维提升训练6.解(1)直线C的普通方程为x+y=1,由普通方程与极坐标方程的互化公式可得C的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=1,即ρsinθ+圆M的极坐标方程为ρ=4cosθ.(2)因为△OBM与△OAM都是以点M为顶点,所以底边OB与OA上的高相同,即S△由(1)知,|OA|=ρA=1sinα+cosα,|OB|=ρB所以|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2sin2α+4cos2α=2(1+sin2=2+22sin2α由0<α<π2,得π4<2α+所以当2α+π4=π2,即α=π8时,|因此S△OMBS△OMA7.解(1)由x=1+2t故直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=1,即2ρcos即2ρcosθ+π4∵ρ=sinθ∴ρ=sinθ∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)设P(x0,y0),y0=x02,则P到直线l的距离d=∴当x0=12时,dmin=328,此时∴当点P的坐标为12,14时,P到直线8.解(1)因为直线l经过点P(0,3),且倾斜角为α,所以直线l的参数方程为x=tcosα因为圆C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-π3-1=0,所以ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ-所以x2+y2-2x-23y-1=0,所以圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=5.(2)把直线l的参数方程x=tco