经典控制第三章-2

好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。

——《中庸》2/4/20241《自动控制原理》第三章时域分析时域分析法的含义时域方法通过拉氏反变换求出系统输出量的表达式，提供系统时间响应的全部信息。时域分析法的特点定量分析方法：直观、精确，但比较烦琐。在时域中研究问题，重点讨论过渡过程的响应形式。线性定常系统的性能稳定性、动态性能、稳态性能2/4/20242《自动控制原理》第三章时域分析为什么要研究典型输入（试验）信号？控制系统的输入信号是随机和无法预知的，很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床自动控制的例子。为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的基础，对各种控制系统性能进行有效的评判和比较。系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在一定的对应关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。而且，许多设计准则就建立在这些信号的基础上。可采用很接近实际系统经常遇到的输入信号，并在数学描述上加以理想化后能用较为典型且简单的函数形式表达出来的信号。2/4/20243《自动控制原理》第三章时域分析线性系统响应的分解系统响应（全响应）

=动态响应（暂态分量）+稳态响应（稳态分量）=零输入响应+零状态响应

=自由响应+强迫响应2/4/20244《自动控制原理》第三章时域分析拉氏反变换求解微分方程（零初始条件）

用部分分式展开式中，si

为传递函数的极点;

sk为输入项函数R(s)的极点2/4/20245《自动控制原理》第三章时域分析

如果si

和sk

都是互异极点，则系统的零状态响应（初始条件为零的响应）为式中，Ai、Bk为待定常量，其值与系统的结构、参量及输入有关。如果r(t)=1(t)，系统的输出即为单位阶跃响应2/4/20246《自动控制原理》第三章时域分析在典型输入信号的作用下，任何一个控制系统的时间响应都由动态过程和稳态过程两部分组成。动态过程：系统在输入信号作用下，系统输出量从开始状态到最终状态的响应过程。稳态过程：时间趋近于无穷大时，系统输出状态的表现形式。它表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供有关稳态误差的信息。动态过程和稳态过程2/4/20247《自动控制原理》第三章时域分析控制系统在典型输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。值得注意的是，只有对稳定控制系统进行时域分析才有意义！！动态性能和稳态性能2/4/20248《自动控制原理》第三章时域分析h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%h(t)t调节时间tsh(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts动态性能

一般由单位阶跃响应表征系统动态性能。2/4/20249《自动控制原理》第三章时域分析一阶系统对典型输入信号的响应2/4/202410《自动控制原理》第三章时域分析3.3二阶系统的时域分析一、

二阶系统数学模型及其标准形式RLC电路、电动机转速控制系统2/4/202411《自动控制原理》第三章时域分析典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反馈系统。令则二阶系统传递函数的标准形式为

其中ζ

称为系统的阻尼比，τ为时间常数，ωn为自然振荡角频率（无阻尼自振角频率）。2/4/202412《自动控制原理》第三章时域分析注意：在控制工程中，二阶系统的典型应用极为普遍；众多高阶系统在一定条件下可近似为二阶系统。控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼ζ、快速的响应速度和较短的调节时间。2/4/202413《自动控制原理》第三章时域分析随动系统（AServoSystem，位置控制系统）如下图所示。二阶系统示例2/4/202414《自动控制原理》第三章时域分析该系统的任务：控制机械负载的位置，使其与参考位置相协调。工作原理：用一对（输入、输出）电位计作系统的误差测量装置，它们可以将输入和输出位置信号转换为与位置成正比的电信号。输入电位计电刷臂的角位置θr

由控制输入信号确定。角位置θr

就是系统的参考输入量，而电刷臂上的电位与电刷臂的角位置成正比。输出电位计电刷臂的角位置θc

由输出轴的位置确定。

2/4/202415《自动控制原理》第三章时域分析电位差e=Ks(er-ec)就是误差信号。Ks为桥式电位器的传递函数，该信号被增益常数为KA的放大器放大（KA应具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗）。放大器的输出电压作用到直流电动机的电枢电路上。电动机激磁绕组上加有固定电压。如果出现误差信号，电动机就产生力矩以转动输出负载，并使误差信号减少到零。2/4/202416《自动控制原理》第三章时域分析当激磁电流固定时，电动机产生的力矩（电磁转距）为：Cm电动机的转矩系数，ia为电枢电流对于电枢电路：La和Ra分别为电动机电枢绕组的电感和电阻，Kb为电动机的反电势常数，θ为电动机的轴的角位移。电动机的力矩平衡方程为：J为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的组合转动惯量；f

为电动机负载和齿轮传动装置，折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。**********2/4/202417《自动控制原理》第三章时域分析因为反馈回路传递函数为1，开环传递函数（即前向通路传递函数）如果略去电枢电感LaK1=KsKaCm/(iRa)为增益，F=f+CmKb/Ra

为阻尼系数，K=K1/F为开环增益，Tm=J/F为机电时间常数。电动机反电势Kb

的存在，增大了系统粘性摩擦。若不考虑负载力矩，随动系统的开环传函简化为：2/4/202418《自动控制原理》第三章时域分析

若不考虑负载力矩，随动系统的开环传函简化为：（相当于积分环节和惯性环节的串联）相应的闭环传递函数为：2/4/202419《自动控制原理》第三章时域分析二、二阶系统的特征根（极点）分布

求解二阶系统的特征方程，可得或两个负实根两个共轭虚根2/4/202420《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202421《自动控制原理》第三章时域分析

(1).

欠阻尼0<ζ<1

是一对共轭复数根。

(2).

临界阻尼ζ

=1

是两个相同的负实根。

(3).

过阻尼ζ

>1

是两个不同的负实根。

(4).

无阻尼ζ

=0

是一对共轭纯虚数根。2/4/202422《自动控制原理》第三章时域分析三、二阶系统的单位阶跃响应

对于单位阶跃输入于是由拉氏反变换可得二阶系统的单位阶跃响应下面按阻尼比分别讨论。2/4/202423《自动控制原理》第三章时域分析过阻尼(ζ>1)

这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则（留数）2/4/202424《自动控制原理》第三章时域分析

由拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：稳态分量：1暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数的极点确定。2/4/202425《自动控制原理》第三章时域分析讨论：过阻尼系统是两个惯性环节的串联。

分析表明，当ζ»1时，两个极点s1和s2与虚轴的距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有2/4/202426《自动控制原理》第三章时域分析近似原则：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法！2/4/202427《自动控制原理》第三章时域分析

过阻尼系统稳态值和最终误差过渡过程时间（按近似后的一阶系统求出）2/4/202428《自动控制原理》第三章时域分析

过阻尼系统单位阶跃响应的变化率所以，在整个暂态过程中，阶跃响应都是单调增长的。

2/4/202429《自动控制原理》第三章时域分析2.

临界阻尼(ζ＝1)

此时，系统具有二重负实极点，则（留数）2/4/202430《自动控制原理》第三章时域分析

单位阶跃响应为表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。单位阶跃响应的变化率为：

临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值2/4/202431《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202432《自动控制原理》第三章时域分析解得。整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调增长的没有超调。如以达到稳态值的95%所经历的时间做为调整时间，则临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。

单位阶跃响应变化率最大的时刻：2/4/202433《自动控制原理》第三章时域分析3.

欠阻尼(0<

ζ

<1)

此时，系统具有一对共轭复数极点，则2/4/202434《自动控制原理》第三章时域分析二阶欠阻尼系统极点的表示：

（1）直角坐标法（2）极坐标法2/4/202435《自动控制原理》第三章时域分析拉氏反变换，得欠阻尼系统单位阶跃响应为或写为2/4/202436《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202437《自动控制原理》第三章时域分析讨论:(1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn

的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率ωd

，(2)振荡周期为

(3)ζ越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。2/4/202438《自动控制原理》第三章时域分析(4)上升时间tr的计算：

或即因而2/4/202439《自动控制原理》第三章时域分析(5)峰值时间tp的计算：

出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即

则故到达峰值时到达第一个峰值时应有2/4/202440《自动控制原理》第三章时域分析(6)最大超调量的计算：

2/4/202441《自动控制原理》第三章时域分析(7)调整时间ts

的计算：

欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线

以内，这对曲线称为响应曲线的包络线。可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。2/4/202442《自动控制原理》第三章时域分析解得当Δ＝5％时，当Δ＝2％时，当0<ζ

<0.8时，设计二阶系统时，常取ζ=0.707为最佳阻尼比。若允许误差带是±Δ（如±2％），可以认为调整时间就是包络线衰减到±Δ区域所需的时间，则有

2/4/202443《自动控制原理》第三章时域分析在较大的ζ

值范围内，近似有

0<ζ

<1时，亦可用*(8)

滞后时间td

的计算：考虑到可知2/4/202444《自动控制原理》第三章时域分析设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比ζ

，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率wn。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式2/4/202445《自动控制原理》第三章时域分析例3-2：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为σp=20%,tp=1s。试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts

和N。

图3-102/4/202446《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202447《自动控制原理》第三章时域分析得2/4/202448《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202449《自动控制原理》第三章时域分析例：系统的结构图和r(t)=1(t)时的响应h(t)如下图所示，求K1、K2和a。

2/4/202450《自动控制原理》第三章时域分析解：由题意可知

2/4/202451《自动控制原理》第三章时域分析由(1)(2)和(3)可得由(4)(5)和(2)得2/4/202452《自动控制原理》第三章时域分析系统极点分布2/4/202453《自动控制原理》第三章时域分析例：系统结构图如下，试求

1）当时K=10系统的动态性能；

2）使系统阻尼比ζ=0.707时的值。2/4/202454《自动控制原理》第三章时域分析解：1)K=10时，

2/4/202455《自动控制原理》第三章时域分析(2)2/4/202456《自动控制原理》第三章时域分析4.无阻尼（ζ＝0）

无阻尼情况下系统的阶跃响应是等幅正（余）弦振荡曲线，振荡角频率是

2/4/202457《自动控制原理》第三章时域分析

不同ζ

下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112

ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0

=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.02/4/202458《自动控制原理》第三章时域分析几点结论:1）二阶系统的阻尼比ζ

决定了其振荡特性：ζ<0（负阻尼）时，阶跃响应发散，系统不稳定ζ=0时，出现等幅振荡0<ζ<1时，有振荡，ζ

愈小振荡愈严重，但响应愈快ζ≥1时，无振荡、无超调，但过渡过程长2/4/202459《自动控制原理》第三章时域分析2/4/202460《自动控制原理》第三章时域分析2）ζ一定时，ωn越大，瞬态响应分量衰减越迅速，

系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。