苏科版 数学九年级下册第七章《锐角三角函数》（难题）单元测试（一）（有答案）

2021九下第七章《锐角三角函数》（难题）单元测试（一）

班级：姓名：得分：

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1.如图，四边形ABC。是边长为1的正方形，E,F为

加所在直线上的两点，若票㈤F=135。,

则下列结论正确的是（）

A.DE=1

B.tanzTlFO=1

C.AF-V5

D.四边形AFCE的面积足

2.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点。为坐标原

点，边80在x轴的负半轴上，COSZ.BOC=|,顶点C的坐

标为（a,4）,反比例函数y=三业丰0）的图象与菱形对角线

AO交于点。，连接8C,当BDlx轴时，k的值是（）

50

A.-B.-fC.-12D.-v

34

3.如图，正五边形ABCQE内接于00,过点A作。。的切线交对角线DB的延长线

于点F,则下列结论不成立的是（）

A.AE//BDB.AB=BFC.AF//CDD.DF=V3AF

4.如图，PA,PB切。。于A,B两点,C£＞切。。于点

E,交PA,P8于C,D.若。。的半径为r,APCD的

周长等于3r,贝!]tan乙4PB的值是（）.

A-—12

B-T

Q3g

・5

D.2

3

5.如图，在△ABC中，/.BAC=45°,AC=8,动点E从点4出发沿射线A8运动,

连接CE,将CE绕点C顺时针旋转45。得到CF,连接AF,则AAFC的面积变化情

况是（）

A.先变大再变小D.不变

6.如图，在菱形ABCQ中，4840=120。，AB=4cm,

点尸从点。出发，以bcm/s的速度沿O-8方向匀速

运动至点8停止；同时，点。从点。出发，以2c?n/s的

速度沿DtC-8方向匀速运动至点B停止，连接PQ,

0Q.设运动时间为x（s）,△。「＜?的面积为3/（0712）,则y关于x的函数图象大致

为()

7.如图，在四边形A08C中，若乙1

180°,则下列结论正确的有()

(1)4、。、B、。四点共圆

(2)4C=BC

Q+b(a+b)・csinz.1

(3)cosz.l=2c④S四边形AOBC=2

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

B.20

C.15

D.13

9.如图，己知A3是G)。的直径，点尸为BA延长线上一点，

PC切。。于点C,点E为⑪的中点，CE交AB于点、F,

连PE,若tan/BPE=&则"=()

5EF

C.也

2

D.U

3

10.如图，在平面直角坐标系xO.y中，菱形ABC。的顶点A与原点。重合，顶点8落

在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点、M,点D、M恰好都在反比例函数y=

/>0）的图象上，则券的值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11.把一张44纸嗡=&）沿MN对折，如图①，展开后再沿切对折，使点M落在点

C处，如图②，则tan乙4'FE=.

12.如图，A、8是反比例函数y=>0,x>0）图象上的两点,

过点A、3分别作x轴的平行线交），轴于点C、D,直线AB

交y轴正半轴于点E.若点8的横坐标是4,CD=3AC,

cos乙BED=I，则k的值为

13.点E是矩形A3CZ）边OC上一动点，AB=—，BC=2,连接BE,点F是点C于

3

关于直线BE的对称点，射线AF交CD边于点G,则乙4GD正切值的最大值为.

14.如图，在△ABC中，NB=45。，AB=4如,D、E分别是A3、AC的中点，连接

DE,在直线OE和直线3c上分别取点F、G,连接BF、DG.若BF=20G,且直线

与直线。G互相垂直，则BG的长为.

15.如图，等边AABC中，4。18。，且4。=4,E是A

线段A0上的一个动点，连接8E,线段BF与线段

BE关于直线BA对称，连接OF,在点E运动的过

程中，当。尸的长取得最小值时，AE的长为

16.如图，在直角梯形ABCQ中，AD//BC,4B=90°,40=6cm,AB=8cm,BC=

14cm.动点P、。都从点C同时出发,点P沿C-8方向做匀速运动，点Q沿CtDt

4方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.若点

「以Icm/s速度运动，点。以2鱼cm/s的速度运动，连接BQ、PQ.当时间f为

秒时，△BQP的面积为24cm2.

17.如图，48是。。的直径，点C是。。上一点，AO与过点C的切线垂直，垂足为D,

直线OC与4B的延长线交于点P,弦CE平分”CB,交4B于点F,连接BE,BE=

7V2JIIJ下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）

①AC平分/04B；②PF2=PB•PA；③若PC=24,则tan/PCB=*④若BC=

；0P,则阴影部分的面积为：兀-

244

18.如图，矩形ABC。中，48=4,BC=8,P是边

OC上的动点，G是A尸的中点，以P为中心，将

PG绕点P顺时针旋转90。，G的对应点为G',当B、

。、G'在一条直线上时，PD=.

三、解答题（本大题共7小题，共96分）

19.如图，矩形ABCD中，BOAB,E是AO上一点，△力BE

沿8E折叠，点4恰好落在线段CE的点尸处，连结BF.

（1）求证：BC=CE；

⑵设*k.

①若A=2，求sinzJ5CE的值；

②设甯:血，试求机与人满足的关系式.

20.如图，在某笔直路段MN内小车行驶的最高限速60千米/小时.交通部门为了检测

车辆是否在此路段超速行驶，在公路MN旁设立了观测点C,已知4CAN=45。，

乙CBN=60°,BC=120米.

(1)求测速点C到该公路的距离；

(2)若测得一小车从A点到达点B行驶了3秒，请通过计算判断此车是否超速.(参

考数据：V2«1.41，V3«1.73)

21.如图，。。是△ABC的外接圆，4。18。于点。，直径

于点E,AD,R7的延长线交于点M.

(1)求证：EF=FM：

(2)若器=三，AC=8,求sin4lME的值.

、'CD4

B

22.如图，在△ABC中，NC=90。，AC=6cm,BC=8cm,点。从点C出发，以2cm/s

的速度沿折线CTATB向点B运动，同时，点E从点B出发，以lcm/s的速度沿

BC边向点C运动,E到C时两点同时停止运动.设点E运动的时间为ts(0<t<8).

(1)AB=cm,CE=C7M；

(2)当ABDE是直角三角形时，求f的值；

(3)若四边形CDEF是以CD、OE为一组邻边的平行四边形，

①设平行四边形CDEF的面积为Scm2,求$与■的关系式；

②是否存在某个时刻h使。CCEF为菱形？若存在，求出f的值；若不存在，请说

明理由.

23.以A。为直径作。。，P是半圆弧而上中点，E是

半圆弧而上一点，EA=8,ED=6,连接E尸交

AZ)于点G,求tanZJlGF的值.

24.(1)如图1,在半径为2的。。中，乙408=45。.

①求”的度数；②求sin2c的值(提示：sin2C=(sinC)2)；

(2)利用(1)的解题思路，在图2中构造出图形，并求出tanl5。的值.

25.如图1,在四边形4BCD中，AD//BC,AB=CD=13,AD=11,BC=21,E是

BC的中点,P是A8上的任意一点,连接PE,将PE绕点P逆时针旋转90。得到PQ.

(1)如图2,过A点，。点作的垂线，垂足分别为M,N,求sinB的值；

(2)若P是AB的中点，求点E所经过的路径弧EQ的长(结果保留兀)；

(3)若点。落在A8或边所在直线上，请直接写出BP的长.

答案和解析

1.C

解：•••四边形A8CD是正方形，

AB=CB=CD=AD=1,AC1BD,/.ADO=/.ABO=45°,

OD=OB=0A=—»4ABF=Z.ADE=135°,

2

在RtZk/EO中，EO=y/AE2-OA2==V2,

DE=y[2——=W,故A错误.

22

・••Z.EAF=135°,乙BAD=90°,

・•・乙BAF+乙DAE=45°,

vZ.ADO=Z.DAE+Z.AED=45°,

・•・Z.BAF=Z.AED,

・••△ABF〜AEDA,

DADE

BF1

・••~7=亘,

2

・•・BF=V2，

・•・OF=BF+OB=—，

2

在RtZk/OF中，AF=VOi424-OF2=V5，故C正确，

返

tanZ.AFO=器=泰=],故8错误，

2

•••S四边形AECF=》AC-EF源乂号=三故。错误,

2.B

解：如图:

延长AC交)，轴于七，

・・・菱形A30C的顶点。在坐标原点，边5。在x轴的负半轴上,

.--AC//OB,

・•・AE1y轴,

3

vcosZ-BOC=Z.BOC=Z-OCE,

•••cos/OCE=第=2

0C5

设CE=3k,贝iJOC=5k,

又•.•0E=4,AOCE是直角三角形，

由勾股定理得：CE=3,。。=5,

•••C的坐标为(-3,4),

•••四边形4BOC为菱形，

・•・OB=0C=AC=5,

・••AE=8,

-AC//OB,

・•・△OBDf

:.-B-D-=--O-E-=",1

OBAE2

•••D点坐标为(-5,|),

反比例函数y=£的图象经过点£>,

3.D

解：A项，•.・五边形48CDE是正五边形，

4BAE=/.ABC=ZC=6-2)x180。=也。，BC=CD,

5

Z.CBD=乙CDB=1(180°-ZC)=36°,

二N4BD=108°-36°=72°,

A/.EAB+/.ABD=180",

：.AE//BD,故A成立.

8项，如图1,连接。4,OB,

。4=OB,•••WAB=AOBA=|x(180°-72°)=54°.

vF力切O。于A,•••/.OAF=90°,•••/.FAB=90°-54°=36°.

•：乙ABD=72°,•••乙F=72°-36°=36°,•••乙F=AFAB,

AAB=BF,故B成立.

C项，•••4F=zTDB=36°,4尸〃CD,故C成立.

。项，如图2,连接AD,过点A作？1H1DF于点儿

则乙4HF=^AHD=90°,

•••乙EDC=108",乙CDB=LEDA=36°,

乙40尸=108°-36°-36°=36°,

•••/.ADF=ZF,AD=AF,•••FH=DH.

当NF=30°时，AF=2AH,

FH=DH=MAH,此时DF=显AF.

■:乙F=36。，DF*V3AF,故D不成立.

4.B

解：连接OA、OB、OP,延长20交PA的延长线于点F.

vPA,尸8切。。于A、B两点,CO切。。于点E

二NOWPBF=90°,CA=CE,DB=DE,PA=PB,

•••△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,

3

・•・PA=PB=-r.

2

在Rt△PBF^]Rt△。力尸中，

ZFAO=乙FBP

Z.OFA=2PFB

・•・Rt△PBFsRt△OAF.

.AF_AO_r_2

二而=而=5=•，

2

AF=-FB,

3

在Rt△FBP中，

...pp2_pB2=FB2t

•••(PA+AF)2-PB2=FB2,

(|r+|BF)2-(|r)2=BF2,

解得BF=£r,

18

/.tanZ.APB=—=-j-^-=—.

PB-r5

5.D

解：作FH1射线AC,垂足为“点，作CGJ.AB,垂足为G点，则“GE=4FHC90°,

・・・乙BAC=乙ECF=45°,乙ECF+Z-FCH=乙BAC+"EC,

・・.乙FCH=AAEC,

由旋转可知：CE=CF,

FCH=△CEGf

・・・FH=CG,

在RtAACG中，sin^BAC=—,

AC

•••CG=8sin450=4a

FH=CG=42，

•••S“AFC=\AC-FH=x8x4夜=16a

由于在动点E从点A出发沿射线AB运动的过程中，CG（即FH）和AC的长度始终保持不

变，

因此△AFC的面积也保持不变.

6.A

解：连接AC与BO交于。点，

•:四边形ABCD是菱形，

:.AC1BD,AD=BC=CD=AB=4cm,OA=OC,OB=OD,

•・•乙BAD=120°,

:.Z-CBD=乙CDB=乙ABD=30°,

•••CO=^BC=2cm,BO=DO=V3OC=273cm.

•••BD=2BO—4V3cm»

•・•点P运动的速度为百cm/s，。点运动的速度为2czn/s,

•・•点尸从。点运动到8需尔，。点运动到B需4s,点P从0点运动到。需2s,。点运

动到C需2s,

当0WXW2时，作PHJ.CD于4,如图所示：

则DQ=2xcm,DP=痘xcm,

在RtaDPH中，PH=-PD=-xcm，

22

•0,S^DPQ=2DQPH，

1nV3V32z

Ay=--2%—x=——x»

/222

当2<xW4时，作4M_LBC于M,PN工BC于N,如图所示:

AM=ABsin600=2陋cm,

CQ=(2%-4)cm,BP=(473—V3x)cm,BQ=(8-2%)cm,

在RMBPN中，PN=*P=氢46-相x)cm,

•*,S^DPQ=S&BCD~S〉DCQ~S&BPQ

Ay=Ix2x4V3-1(8-2%)•|(4A/3-V3x)-|(2x-4)-2国,

=-yX2+2V3x=-y(X-2)2+26,

f^x2(0<x<2)

综上所述,y=〈6

1―三/+2V3X(2<x<4)

7.D

解：•••z3+z4=180°,

.••4、0、B、C四点共圆，(1)正确；

作于O,CE上0B于E,如图所示:

则NCD4=4CEB=90°,

vzl=Z.2,

・•・CD=CE,

v43+44=180°,Z3+eCAD=180°,

:.Z-CAD=44,

Z.CAD=Z4

在△ACD和aBCE中，\z.CDA=Z-CEB,

CD=CE

•••△4G)wzkBCE(44S),

:.AD=BE,AC=BC.(2)正确；

yODa+AD-OEb-BE

,•coszl=—=----,cosz2=—=----,

OCcOCc

a-^-AD+b-BEa+b

•・•zl=42,

・•・COSZl=COSZ2,

:.2coszA=

：•coszl=(3)正确；

CD

•・・CD=CE,sinzl=?,

・••CD=cxsinzl,

iiii

四边形S

:.SAOBC=^OAC+S&Boc=­axCD+-bxCE=/a+b)C£>=-(a+ft)xcx

而/1=嘿*,(4)正确；

正确的结论有4个，

8.A

解：如图所示，过点A作4E10B交OB于点E,过点尸作GH,AC

交AC于点G,交x轴于点“，设AE=m(m>0),因为tan乙4OB=g,

所以OE=??n,在RtAZE。中，^AEO=90°,

4

因此点A的坐标为弓叫他)，

又因为点A在反比例函数的图象上，所以将点4号犯小)代入反比例函数得巾=受，解

44

得？n=±4.因为m>0,所以m=4,

则点A的坐标为(3,4),所以。4=5.又因为四边形OACB是菱形，

所以。A=OB=BC=AC=5,

所以S—OF=S菱形OACB一S^OBF一S^AFC=AE-OB--FW-OB--PG-AC=4x5-

*X5=1O,

9.B

解：连接OE,OC,过C作CD1AB交AB于点D,

•••点E为⑪的中点，•••OE1AB,

在RtZkOPE中，设OE=3a,

3

vtanzBPF=・•.OP—5a,

•••2。切。0于点。，・・・。。_1「。，

:.PC=y/OP2—OC2=J(5a)2—(3a)2=4a，

■：-OPxCD=-PCxOC,

22

iii?

即-x5axCD=-x4ax3a,・••CD=-a,

225

在RtZkCD尸和RtAEOF中，

・・•Z.CFD=4EFO,乙CDF=乙EOF=90°,

・•・Rt△CDF~Rt△EOF,

10.A

解：设

y

0(A\Bx

•••M点为菱形对角线的交点，

•••BDLAC,AM=CM,BM=DM,

・•・M(等潟),

把M(等，/)代入y=绸等=k，

：•t=3m,

・・•四边形ABC。为菱形，

0D=AB=3

•1•m2+(')2=(3m)2,解得k=2V2m2，

・•・M(2m,V2m),

在小△•/中,匕1"48=翳=誓=方

••滥=叵

11.2V2

解：连接ME,MC交EF于点儿

由折叠可知：ME=CE,BE=B'E,NB=4夕=90。，EH1MC,

；.BC=MB',B'C=MB,

v乙EMH="MB',

.­•AEMHs^CMB',

：.MH：MB'=EH：B'C,

即MH：EH=MB'：B'C,

点为的中点，

ABMABAD=BC,

••­BC：MB=2V2：1.

即M”：EH=MB'：B'C=2V2：1,

・•・tanNMEH=—=2伉

EH

,:A'F//B'E,

:.匕MEH=^ArFE,

AtanZ.ArFE=tan乙MEH=2A/2,

故答案为2夜.

解：•・・点B的横坐标是4,

・•・BD=4.

又•：cos乙BED=77=7，

设ED=3%,则EB=5x,其中x>0

依题意在RtABDE中，

BD=yjEB2-ED2=V(5%)2-(3x)2=4x=4,

X=]•

：•ED=3，

cl八ACBD4

tanZ-BED=—=—=-

ECED3

设AC=4m,则EC=3m,其中m>0

又CD=3AC=12m,

・•・ED=EC+CD=3m+12m=15m=3,

•••m=-,

4

一

一-

・•・AC=4m5

•••点A,点B都在反比例函数图象上,

k5k.

・,•点的纵坐标为：下，点的纵坐标为：

4g=447B

...CD=4---4=k=-5,

13.V3

解：•••点尸是点C于关于直线BE的对称DE©C

点，

•••BC=BF,

点F在以B为圆心，2C为半径的圆上,

当A尸和圆8相切时，力G最小，此时NAGD

最大.

•••BF14G于F,

AAFB=90°,

…誓，BC=2,

./L4DBF2V3

・•・smZ.FAB=—=4~T==—

AB^/32

乙FAB=60°,

,・•四边形A8CD是矩形,

:.AB"CD,

・•・^AGD=乙FAB=60°,

・•・tan乙4G。=y/3-

14.3

解：如图，过点8作BTLBF交的延长线于T,过点8作BH1DT于H.

•••DC1BF,BT1BF,

:,DG//BT,

-AD=DB,AE=FC,

・・・DE//BC,

・•・四边形OG87是平行四边形，

BG=DT,DG=BT,Z-BDH=^ABC=45°,

vAD=DB=2&，

:.BH=DH=2,

•・•乙TBF=乙BHF=90°,

・•・乙TBH+乙FBH=90°,乙FBH+乙尸=90°,

:.乙TBH=",

RTr\Qi

・・乙

•tanzF=tanTBH=BF—=BF—=2

——TH=1

BH2

・・・TH=1,

・・・DT=TH+DH=l+2=3,

：,BG=3.

15.2

解：过点。作OHJ■力产于〃，连接OF.

•••△48C是等边三角形，AO1BC,

ABAO=ACAO=-/.BAC=30°,

2

•••线段BF与线段8E关于直线BA对称,

4BAF=Z.BAE=30°,/.OAF=60°,

二点F的在射线AF上运动，

根据垂线段最短可知，当点尸与H重合时，OF的值最小,

在Rt/MHO中，•••N4O//=30。，

二AH=-OA=2,

2

OH=V042-AH2=V42-22=28，

。尸的最小值为2V5,

此时，AE=AH=2,

16.2

解：如图1,过。点作DH_LBC,垂足为点H,

图1

则有=AB=8cm,BH=AD=6cm.

CH=BC-BH=14-6=Qcm.

在Rt△£)(?”中，Z.DHC=90°,

•••CD=y/DH2+CH2=8位cm-

当点P、。运动的时间为t(s),则PC=t.

①如图1,当点。在CO上时，过。点作QG1BC,垂足为点G,贝i」QC=2或t.

又rDH=HC,DH1BC,

ZC=45".

.♦.在Rt△QCG中，QG=QC-sin4c=2atxsin450=2t.

又•：BP=BC-PC=14-t,

11c

•••SNPQ=；BPx<?G=i(14-t)x2t=14t-t2.

当Q运动到。点时所需要的时间t=黑=翳=4.

:.S=14t—t2(0<t<4),

当S=24时，14t-t2=24,

解得：t1=2,t2=12（舍）.

②如图2,当点。在D4上时，过。点作QG1BC,垂足为点G,

图2

则：QG=AB=8cm,BP=BC-PC=14-t,

•••SGBPQ=涉xQG="14-t)x8=56-4t.

当Q运动到A点时所需要的时间t=丝争=5等=4+这.

2V22V22

••・S=56-4t(4<tW4+¥)，

当S=24时，56-4t=24,

解得：t=8>4+这，舍去，

2

综上，当t=2时，S=24,

17.①②③

解：①连接0C.

•••0A=0C,

:.Z-OAC=Z-OCA.

•••PC是。。的切线，AD1CD,

:.乙OCP=4。=90°,

・•・OC//AD.

・•・Z.CAD=Z-OCA=Z.OAC.

即AC平分故正确；

②・・・/B是直径，

:.乙ACB=90°,

:.乙PCB+乙ACD=90°,

又•・•Z.CAD+Z.ACD=90°,

Z.CAB=Z.CAD=Z.PCB.

又•：乙ACE=CBCE,Z.PFC=ACAB4-^ACE,乙PCF=^PCB+乙BCE.

:.Z.PFC=Z.PCF.

・・.PC=PF,

・・・/P是公共角，

PCB〜二PAC»

APC：PA=PB：PC,

/.PC2=PB•PA,

BPPf2=PB.PA.故正确；

③♦也PCBfPAC,

PB_BC

J.正=就'

・•・tan乙PCB=tanZ.PAC=^=署，

设PB=x,则P4=x+14,

vPC2=PB,PA,

.•・242=x(x+14),

解得：=18,x2=-32,

・・・PB=18,

tanZ.PCB=^=^=|；故正确.

PC244

④连接AE.

D

•・,Z-ACE=乙BCE,

-AE=BE,

・••AE=BE.

又・•・AB是直径，

:.Z-AEB=90°.

AB=\[2BE=V2x7V2=14,

・•・OB=OC=7,

VPD是切线,

•••ZOCP=90°,

vBC=-2OP,

•••BC是RtZkOCP的中线，

BC=OB=OC,

即AOBC是等边三角形，

:.Z.BOC=60°,

・••S&BOC=千遍,S^BOC=360X71X72

・•・阴影部分的面积为?兀-?旧；故错误.

64

18.T

解：当B、D、G'在一条直线上时，如图所示,

过G'作G'ELCD,交CD的延长线于E,

设PD=X,

由勾股定理得：AP=V82+X2>

由旋转得：PG'=PG,/.APG1=90°,

4APD+Z.DPG'=90°,

•••G是AP的中点，

PG=-AP,

2

PG'=-AP=->Jx2+82,

22

•・,四边形ABC。为矩形，

:./-ADC=90。，

Z-DAP+/-APD=90°,

・・・乙DPG'=Z.DAP,

FCnp

•・,sin乙DPG'=—,sinZ-DAP=—,

PGiAP

.EG，_DP

PGrAP

•••EG'=-DP=-x,

22

•・•EG)/BC,

.EG>_ED

,•记—DC?

VBC=8,DC=4,

・•・BC=2DC,

11

AED=-EG,=-x,

24

Sr

・•・PE=PD+DE=三，

4

由勾股定理得：GrP2=G,E2+PE2,

即弓值不国)2=GX)2+《X)2,

解得：X=±y，

VX>0,

_16

：•%=g，

・・.DP=y.

19.(1)证明：由折叠的性质可知，乙BEA=^BEF,

•••AD//BC,

・♦・乙BEA=Z.EBC,

・•・Z.BEF=乙EBC,

:.BC=CE；

⑵解：①喷/

:.AD=5AE,

・•・DE=44E,

・・•BC=CE,

・•・CE=54E,

・‘•s\xiZ-DCE==—；

CE5

@v-=k,—=m,

JADAD

：•AE=kAD,AB=mADf

••・DE=AD-AE=AD(1-k),

222

在RtaCED中，CE=CD+DE,即=（7nAz））2十〔入。。一彷猿,

整理得，m2=2k-k2.

20.解：（1）如图所示，过作CE垂直于,

在ABEC中，由三角函数得：EC=BC-sin60°=200xy=10073®173.2(X)

（2）在Rt^BCE中，BE=：BC=100（米）

在Rt△ACE中，由三角函数得：AE=EC=10075（米）.

AB=AE-BE=100（73-1）

故此车的速度为：v==20（b-1）«14.6千米/小时,

又因为，14.6<60,

所以此车没有超速.

【解析】（1）作CE_L4B于E.在RtZiBCE中，求出CE即可；

（2）求出BE、4E即可解决问题；

此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，解题的关键是学会添加常用辅

助线面构造直角三角形解决问题.

21.【答案】解：如图，连接AF,

vZ.AEM=Z.CDM=90°,Z.AME=Z.CMD,

・，・Z.BAD=(BCF,

vZ-BCF=乙BAF,

・・.乙BAD=tBAF,即4F4E=匕MAE,

Z.FAE=/.MAE

在△AE/7和中，4E=/E

AAEF=/.AEM

・••△/EF三△AEMQ4SA),

:.EF=EM；

(2),・•直径CF1AB于点E,

・•・Z,ACD=2乙BCF,

・・•乙BOF=2乙BCF,

・•・乙BOE=Z-CAD,

・・•Z.ADC=乙BEO=90°,

・••△BEOADC,

BOOE

••—=—,

ACCD

OE3“仆

v—=AC=8,

CD4

OB3

・•・一二-，

84

.・・BO=6,

・•・FC=2BO=12,

二在RT△C\4F中，AF=yjFC2—AC2=4追，

•・•△CEA~匕CAF,

CEACCE8

・•・一=—,Rn即一=——,

ACFC812

z16

•*,CE——f

AE=VAC2-CE2=—)

3

CLA1-8遮

vBE=AE=—，

3

:.AF=y/CF2-AC2=4后

・••AM=4V5>

AF7

・•・sin乙4ME=—=

AM3

22.解:(1)10；(8-t)；

(2)如图1,当心BED=90。时，△BDE是直角三角形,

则BE=t,AC+AD=2t,

・・.BD=6+10-2t=16—23

・・•乙BED=ZC=90°,

・・・DE"AC,

BE_DE

BC-AC

t_DE

8~6

・♦.DCEL=一3t

4

.DE3

vsinBn=—=-

BD5

3t

z3

16-2t5

64

13；

图2

如图2,当乙£08=90。时，ABDE是直角三角形,

则BE=t,BD=16—23

cBDBC8

COSB=—=—=——

BEAB10

16-2t8

40

7

答：当△BOE是直角三角形时，r的值为寝潦;

(3)①如图3,当0<tW3时，BE=t,CD=2t,

=-2

S图COEF=2sMDE2x-x2tx(8—t)=2t+16t,

如图4,当3VCV8时，BE=t,CE=8-t,

过。作。HL8C,垂足为〃,

・•・DH//AC,

DH_BD

AC-AB

DH16-2t

610

图4

•••S眦DEF=2SACDE=2XiXCEXDH=CFx£>H=(8-t)•=|t2-ft+^;

.•.s与，的函数关系式为：当0cts3时，S=-2t2+16t,

当3<t<8时，S=|t2一言+争；

②存在，如图5,当QCDEF为菱形时，DH1CE,

由CO=OE得：CH=HE,

BH=4(16-2t),BE=t,EH=—,

52

・・・BH=BE+EH,

4(16-2t),.8-t

-------------=tH---------

52

88

2