四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第一轮复习：二次函数 练习题

四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学第一轮复习：二次函数专题练习题

21

1、如图，二次函数gx,图象过△/死三个顶点，其中/（-I,M,B

（〃，77）

求：①求4,8坐标；

②求△/如的面积.

2、如图，已知抛物线7i=ax2+8x+c（aWO）交x轴于点4（-1,0）,B（3,0）,

3

交y轴于点。（0,-3）,直线%=一*-1交抛物线必=aV+-+c（a#0）于

2

点、M,矛（"在/V的左侧），抛物线顶点为R

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△为外的面积8网v；

（3）若yV%W0,则此时横坐标x的取值范围是.（直接写出结果）

3、如图，二次函数夕=&^+6户c(a>0)图象的顶点为〃，其图象与x轴的交点

A8的横坐标分别为-1,3.与y轴负半轴交于点C.

(1)若△/而是等腰直角三角形，求a的值.

(2)探究：是否存在a,使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件

的a的值；不存在，说明理由.

4、如，图，抛物线y=a*+8x-3(aWO)的顶点为反该抛物线与x轴交于力(-

1,0)、6(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=-；户1与y轴交于点〃.

(1)求抛物线的解析式；

(2)证明：△颂s△团C；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△加C是等腰三角形？若存在，

请直接写出符合条件的尸点坐标；若不存在，请说明理由.

5^如图①，直线y=2x-3与抛物线y=x-bx-3交于不同的两点M、N(点M

在点A'的左侧).

(1)直接写出片的坐标—；(用力的代数式表示)

(2)设抛物线的顶点为D,对称轴1与直线y=2x-3的交点为C,连结DM、

DN,若5k,(/zr=1五,毗求抛物线的解析式；

(3)如图②，在(2)的条件下，设该抛物线与x轴交于/、6两点，点尸为

直线加下方抛物线上一动点，连接物1、脓,设直线为交线段版V于点0,△

S

掰%的面积为S,△物0的面积为耳，求芳的最大值.

6、如图，已知抛物线y=a/过点/(-3,2).

4

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知直线/过点4"(微，0)且与抛物线交于另一点3,与y轴交于点

C,求证：/必=物•物；

(3)若点R〃分别是抛物线与直线/上的动点，以"'为一边且顶点为0,C,

P,〃的四边形是平行四边形，求所有符合条件的夕点坐标.

7、已知抛物线y=a^+bx+c()与x轴交于A.8两点(点A在点8的左边),

与y轴交于点。(0,-3),顶点〃的坐标为(1,-4).

(1)求抛物线的解析式.

(2)在y轴上找一点E,使得△皮IC为等腰三角形，请直接写出点片的坐标.

(3)点尸是x轴上的动点，点0是抛物线上的动点，是否存在点只Q,使得

以点只。、B、〃为顶点，放为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出

点只0坐标；若不存在，请说明理由.

8、已知抛物线/=且系+8犬+6(aWO)交x轴于点/(6,0)和点8(-1,0),交

y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)如图(1),点尸是抛物线上位于直线力。上方的动点，过点尸分别作x

轴，y轴的平行线，交直线/C于点〃，E,当私也取最大值时，求点尸的坐

标；

(3)如图(2),点"为抛物线对称轴/上一点，点及为抛物线上一点，当直

线〃1垂直平分△4MV的边,肮时，求点网的坐标.

9、如图，已知抛物线尸aV+6户6经过两点4(-1,0),B(3,0),C是抛物

线与y轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸(加，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设4PBe

的面积为S,求S关于"的函数表达式(指出自变量〃的取值范围)和S的最

大值；

(.3)点."在抛物线上运动，点A'在y轴上运动，是否存在点K点N使得N

。邮=90°,且△CMV与相似，如果存在，请求出点"和点”的坐标.

10、如图，圆E是三角形的外接圆，/胡。=45°,4CLL比于且加=2,

CO=3,分别以优；40所在直线建立x轴.

(1)求三角形力a1的外接圆直径；

(2)求过/a'三点的抛物线的解析式；

(3)设尸是(2)中抛物线上的一个动点，且三角形40。为直角三,角形，则

这样的点尸有几个？(只需写出个数，无需解答过程)

11、如图，抛物线尸aV+Sx+c经过点力(-1,0)和点。(0,3)与x轴的另

4

一交点为点员点〃是直线回上一动点，过点"作物沙夕轴，交抛物线于点

p.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△如。是等边三角形？若存在，求出

点0的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以"为圆心，1上为半径作当。"与坐标轴相切时，求出。〃的半径.

参考答案

21

1、如图，二次函数图象过△48〃三个顶点，其中4（-1,加，B

（〃，A）

求：①求48坐标；

②求△/如的面积.

2191

［解答］解：(1)把4(-1,m)代入y=——x得m=—+-=1,则4(-

3333

1,1),

2„121

把6(〃，加代入得孑万-]〃=〃，解得乃=0(舍去)，ih=2,

则B(2,2)；

(2)设直线的解析式为夕=江力，

rL=1

_k+b-

把力(-1,1),6(2,2)分别代入得~1，解得2「

2k+b=2,4

'b=—

14

所以直线AB的解析式为y=

144_4

当x=0时，y=-x+-=-,则。点坐标为(0,-),

3333

14

所以△4后的面积=△4”的面积+4S+的面积=±X士X(1+2)=2.

23

2、如图，已知抛物线y^ax+bx+c(aWO)交x轴于点4(-1,0),8(3,0),

3

交y轴于点C(0,-3),直线加=1交抛物线弘=aV+6x+c(aWO)于

点、M,N(〃在/V的左侧)，抛物线顶点为尸.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求眦的面积8刖；

(3)若必V%WO,则此时横坐标x的取值范围是—.(直接写出结果)

a-b+c=O

【解答】解：(1)根据题意得，9a+3Hc=0

c=-3

a=\

解得，,A=・2,

c=-3

・•・抛物线的解析式为：y=f-2x-3；

y=X2-2X-3

%=2W=4

.(2)解方程组3，得＜

y=-x-\7』2=5

I2--,

%4

]7

.*.#(--,--),N(4,5),

24

,.•y=1-2x-3=(xT)2-4,

：.P(1,-4),

过〃作也垂直x轴于反与助”交于点E

2

9

：.PF=

2

==

S^PUI^SAPI\F=~*PF*(Xx~Xu)~X—X(4+—)—；

3

（3）当必=0时，0=—x-1,

2

解得，x=；2，

32

直线必=§x-1与x轴的交点为（1,0）,

由图象可知，当yV%W0时，

23

1?

故答案为：

23

3、如图，二次函数片=且/+打+。（a>0）图象的顶点为〃，其图象与x轴的交点

A.8的横坐标分别为-1,3.与y轴负半轴交于点C.

（1）若△/劭是等腰直角三角形，求a的值.

（2）探究：是否存在a,使得是等腰三角形？若存在，求出符合条件

的a的值；不存在，说明理由.

【解答】解：（1）如图，作"'于点反

48=3-（-1）=4,

•••△48〃是等腰直角三角形，

：.DE=-AB=2,

2

则〃的坐标是（1,-2）.

设二次函数的解析式是y=a（x-1）2-2,

把（-1,0）代入得4a-2=0,

解得：a=:.

2

（2）存在，分三种情况：

①当48=8。时，

:.CB=AB=4,

在Rt△仍。中，OAOG=BC,

：.OC=BC-萌=16-9=7,

/.oc=V7,

."(0,-S),

设二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x-3),

将C(0,-V7)代入，

②当48=47时，

：.AC=AB=\,

在口△4%中，AG+OC=AC,

.*.^=16-1=15,

/.OC=V15,则C(0,-厉),

y=a(矛+l)(x-3),

3

③当47=8。时，

•；COLAB,

二。是46的中点,

而AO=\,BO=3,

：.AO^BO,

不成立,

.耳个屈

..a=——或---.

33

4、如图，抛物线/=加+"一3(aHO)的顶点为反该抛物线与x轴交于4(-

1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,直线y=-；户1与y轴交于点〃

(1)求抛物线的解析式；

(2)证明：△质s△必以

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使是等腰三角形？若存在,

请直接写出符合条件的夕点坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】(1)解:抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),

即y=ax-2ax-3a,

-3a=-3,解得a=l,

.•.抛物线解析式为-2x-3；

(2)证明：•.•尸f-2x-3=(x-1)2-4,

(1,-4),

当x=0时，y=-g户1=1,则〃(0,1),

,:B(3,0),A(-1,0),C(0,-3),

/.BC=V32+32=372,BE=V22+42=275,CE=jF+f=&,BD=V32+l2

=Vio，

..jEC_r-BE_2^_r-BC_3五―6

DOBDVioBO3

.ECBE_BC

"~DO~~BD~~BO'

：.4BCES4BD0；

（3）存在，

理由：抛物线的对称轴为直线x=l,设0（1,加，则上=18,Pff=（1-3）

?+历=/+4,PC=（研3）2+1,

当阳=0C时，△阳C是等腰三角形，则源4=（研3）2+1,解得力=-1,此

时产（1,-1）,

当PB=BC时,是等腰三角形，则/44=18,解得加=±E,此时尸（1,

后）或（1,-V14）

当PC=BC^,△皈是等腰三角形，则（研3）2+1=18,解得m=-3土而，

此时P（l,-3+如）或（-3-VT7）,

综上所述，当符尸点坐标为（1,-1）或尸（1,四）或（1,-足）或（1,

-3+V17）或（1,-3-VI7）时，△阳。是等腰三角形.

5、如图①，直线y=2x-3与抛物线y=x-bx-3交于不同的两点M、N（点M

在点"的左侧）.

（1）直接写出N的坐标—；（用力的代数式表示）

（2）设抛物线的顶点为D,对称轴1与直线尸2x-3的交点为C,连结DM、

DN,若8,眦=|以毗求抛物线的解析式；

（3）如图②，在（2）的条件下，设该抛物线与x轴交于A6两点，点尸为

直线助V下方抛物线上一动点，连接物、,腮设直线用交线段/MV于点。，△

s

加0的面积为s,△例。的面积为孙求苦的最大值.

鹏,解引%=0_1、.x=h+2

【解答】解：（1）由V或《

U=-3y=2Z?+1

点〃（0,-3）,

:・NQ队2,2M1）.

故答案为（力*2,2^1）.

（2）如图①中，作,监1对称轴/于eNFL1千F.

：.ME=-FN,

3

b

——X(b^2,--),

232

解得8=2,

，抛物线的解析式为y=f-2x-3.

(3)如图②中，作川L眈于〃，PKLMN于K,设直线腑交x轴于G,连接

PG、0P,设P(in,iH-2m-3)

..S」MQ.PKPK

S?^MQ.AHAH

•••/〃为定值,

・•・掰最大时，甘的值最大，此时△/?GV的面积最大,

$2

'：M(0,-3),N(4,5),

3

直线版的解析式为尸2x-3,(—,0),

2

Ij3i3

***S&PG产Sdp(^S2poG~S△加=—X3X/Z7+--X—X(/+2/3)-X3X—=

22222

3

(zzz-2)?+3,

4

...勿=2时，△尸GIZ的面积最大，此时尸（2,-3）,

■:AHIMN,4(-1,0)

11

直线4〃的解析式为y=-—x----

22

11

X=1q

由,y=2X-2^得,可得〃(1,-1),

y=-l

y=2x-3

'.AH=yj22+\2=#),

,：PKLMN,

...直线掰的解析式为尸-—Ax-2乙,

2

2

y=3-2解得.x=—

5

由«，可得《(2

115

y=2x-3

.=j(2-|)2+(-3+y)2=患,

•・•、的最大值=篇=左-=[

6、如图，已知抛物线过点/（-3,

（1）求抛物线的解析式;

（2）已知直线/过点4"（慨’°）且与抛物线交于另一点'与y轴交于点

C,求证：Me=MA*MB,

（3）若点R〃分别是抛物线与直线/上的动点，以。。为一边且顶点为0,C,

P,〃的四边形是平行四边形，求所有符合条件的。点坐标.

【解答】解：（1）把点4（-3,W）代入y=ax,

4

得到9=9a,

4

二抛物线的解析式为y=上之

9

y=-3k+b

（2）设直线1的解析式为y=kx^b,则有,

O^yk+b

/.直线1的解析式为y=-工广旦,

24

令x=0,得到尸旦,

4

AC（0,旦），

4

y=yxx=lrx=-3

由，，c，解得1或

13—

y=rxr4

：.B(1,-1),

4

如图1中，过点/作轴于4,过8作做_Lx轴于5,贝I防〃。%44,

3-1旦

.=呵MO_2=」

-

,•而-MO33'MAMA72_（_3）1

•BM=MC

,.而HA，

即MG=MA・MB.

•••%为一边且顶点为。C,P,〃的四边形是平行四边形,

C.PD//OC,PD=OC,

/.D(t,-At+J.),

24

『(啜吟)|=|,

整理得：/+2—6=0或内"21=0,

解得t=-1-近或-1=b或-2或0(舍弃),

：.P(-1-"2+且)或(-1+布,2-且)或(-2,1).

7、已知抛物线+c(aW0)与x轴交于4、8两点(点力在点8的左边)，

与y轴交于点。(0，-3),顶点〃的坐标为(1,-.4).

(.1)求抛物线的解析式.

(2)在y轴上找一点后使得△夕IC为等腰三角形，请直接写出点6的坐标.

(3)点尸是x轴上的动点，点0是抛物线上的动点，是否存在点只Q,使得

以点八Q、B、〃为顶点，8〃为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出

点只。坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)•••抛物线的顶点为(1,-4),

设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-4,

将点C(0,-3)代入抛物线y=a(x-1)?-4中，得a-4=-3,

・•ct~-1，

，抛物线的解析式为尸a(x-1)2-4=x-2x-3；

(2)由(1)知，抛物线的解析式为2x-3,

令y=0,则/-2x-3=0,

x=-1或x=3,

：.B(3,0),A(-1,0),

令x=0,则y=-3,

"(O,-3),

•,•AC=y/]X),

设点6(0,加，则/6={.2+]，CE=|zz^31,

•••△4万是等腰三角形，

，①当月0=4后时，Vw=i/m2+p

.,.勿=3或/=-3(点。的纵坐标，舍去)，

：.E(3,0),

②当47="时，V10=II»

：.m=-3±5/10，

：.E(0,-3+折)或(0,-3-V10),

③当月£=方时，477=1研3|,

m=-—,

3

：.E(0,-A),

3

即满足条件的点片的坐标为（0,3）、（0,-3+6）、（0,-3-J而）、（0,

-A）；

3

（3）如图，存在，♦:D（1,-4）,

二将线段劭向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点6

的对应点落在抛物线上，这样便存在点。，此时点〃的对应点就是点尸，

...点0的纵坐标为4,

设0（34）,

将点0的坐标代入抛物线2x-3中得，t2-2f-3=4,

.,"=1+2&或t=l-2近,

：.Q（1+2加，4）或（1-2加，4）,

分别过点〃，0作x轴的垂线，垂足分别为凡G,

•.•抛物线尸y-2x-3与x轴的右边的交点6的坐标为（3,0）,且〃（1,

-4）,

：.FB=PG=?,-1=2,

.•.点尸的横坐标为（1+2&）-2=-1+2如或（1-2我）-2=-1-2我，

即尸（-1+272-0）、0（1+2我，4）或。（-1-2加，0）、0（1-2&,4）.

8、已知抛物线y=a*+8x+6(aWO)交x轴于点/(6,0)和点5(-1,0),交

y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)如图(1),点尸是抛物线上位于直线上方的动点，过点尸分别作才

轴，y轴的平行线，交直线/C于点〃，E,当9必取最大值时，求点尸的坐

标；

(3)如图(2),点"为抛物线对称轴/上一点，点N为抛物线上一点，当直

线4。垂直平分△/初V的边.肱V时，求点A，的坐标.

图⑴图⑵

【解答】解：(1)•••抛物线尸a/+8x+6经过点4(6,0),3(-1,0),

・[a-b+6=0

I36a+6b+6=0

.fa=-l

Ib=5

••・抛物线的解析式为尸-系+5户6=-(A-A)?+整，

24

抛物线的解析式为y=-V+5户6,顶点坐标为也，堂)；

24

(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=-*+5矛+6,

."(0,6),

：.OC=6,

\'A(6,0),

：.0/1=6,

：.OA=OC,

：.ZOAC=^°,

•依平行于x轴，比平行于y轴，

:./DPE=90°,2PDE=/DAO=45°,

:./PED=45°,

PDE=/PED,

:.PgPE,

：.PD^PE=2PE,

当阳的长度最大时，,侬勿取最大值，

'：A(6,0),C(0,6),

...直线/C的解析式为y=-^-6,

设6(3-Z+6)(0＜方＜6),则尸(匕，-t2+5Z+6),

：.PE=-&51+6-(-t+6)=-t2+61=-(i-3)2+9,

当匕=3时，PE最大,此时，一打5加6=12,

：.P(3,12)；

（3）如图（2）,设直线与抛物线的对称轴/的交点为E连接渺;

•.•点厂在线段助V的垂直平分线AC1.,

:.FM=FN,4NFC=/MFC,

轴，

：.ZMFC=ZOCA=45°,

：.4MFN=4NF04MFC=9Q°,

尸〃x轴，

由（2）知，直线力。的解析式为y=-x+6,

当时，尸工，

22

.•.点N的纵坐标为工，

2

设小的坐标为（加，-序+5研6）,

-/zf+5zz^6=—,解得，面=J■或期=3H

222

.•.点川的坐标为（包运，工）或（亘返，Z）.

2222

图⑵

9、如图，已知抛物线尸af+6x+6经过两点/(-1,0),B(3,0),C是抛物

线与y轴的交点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸(加，n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，QPBC

的面积为S,求S关于加的函数表达式(指出自变量〃的取值范围)和S的最

大值；

(3)点，"在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点以点N使得/

C奸=90°,且△CMV与△仍。相似，如果存在，请求出点，"和点"的坐标.

【解答】解：(1)将4(-1,0)、B(3,0)代入y=ax+bx^-6,

得:a-b+6=0,解得:a=-2

9a+3b+6=0b=4

二抛物线的解析式为y=-2V+4x+6.

（2）过点尸作如〃y轴，交a1于点片如图1所示.

当x=O时，y=-2/+4^+6=6,

.•.点C的坐标为（0,6）.

设直线a'的解析式为y=kx+c,

将6（3,0）、C（0,6）代入y=A户c,得：

俨+c=0,解得：（k=-2,

Ic=6Ic=6

I.直线a'的解析式为y=-2x+6.

设点尸的坐标为（而，-2卅+4研6）,则点尸的坐标为（加，-2帆6）,

PF=-2石+4研6-（-2研6）=-2序+6加，

2

：.S^HC=-PF*OB=-3序+9勿=-3（加-旦）+^~,

224

...当勿=3时，△皈面积取最大值，最大值为2L

24

•.•点尸（加，加在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

...0V/V3.

（3）存在点K点N使得NC及-90°,且△CMV与一相似.

如图2,Zmr=90°,当点"位于点C上方，过点"作,加Uy轴于点〃

•：4CDM=4CMN=9G°，4DCM=4NCM,

:.XMC"XNCM,

若△CMN与△咏相似，则AJO与△般¥相似，

设"(a,-2a?+4K6),C(0,6),

DC=-2a2+4a,DM=a,

当迦M•卫」时，4C0BsMD吐丛CMN,

CDOC62

・a1

,*-2a2+4a-2'

解得，a=l,

A#(1,8),

此时M>=工〃力=工,

22

：.N(0,0,

2

当型时，4COBSXMDCs4NMC,

DMOC2

•-2a?+4a1

••------------=—

a2

解得a=—,

4

(工，55),

48

此时“（0,强）.

8

如图3,当点"位于点。的下方,

过点"作MELy轴于点E,

设,"(a,-2才+4a+6),C(0,6),

'.EC=2a-4a,EM=a,

22

同理可得：2亘二/生=1■或2y曳=2,△。网与△咏相似,

a2a

解得a=9或a=3,

4

.•."（2,39）或"（3,0）,

48

此时N点坐标为（0,旦）或（0,-2）.

82

综合以上得，，"（1,8）,及（0,H）或"（工，星），川（0,毁）或〃（2,

24884

至），/V（0,2）或"（3,0）,N（0,-2）,使得N。恻=90。，且△。网与

882

△次相似.

10、如图，圆£是三角形力比的外接圆，/胡。=45°,4CLL8C于0,且加=2,

CO=3,分别以80、所在直线建立x轴.

（1）求三角形/a'的外接圆直径;

(2)求过力比'三点的抛物线的解析式；

(3)设尸是(2)中抛物线上的一个动点，且三角形4。为直角三角形，则

这样的点尸有几个？(只需写出个数，无需解答过程)

【解答】解：(1)如图1中，连接龙、EC.

•:BC=0B+0C=3,/庞。=2N8C=90°,

：.EB=EC=^-

2

二。6的直径为5夜.

(3)如图2中，作于忆EN10A千N,连接四，则四边形⑶侦V,是矩

形.

在口△£/£中，EM=0N=y/EC2+CM2=J(­)2+(-)2=-,OM=NE=OC

V222

-CM=

2

在RtaEV中,AN=^AE2-EN2

：.OA=AI^ON=^,

：.A(0,6),B(-2,0),C(3,0),

设抛物线的解析式为y=a(广2)(x-3),把(0,6)的坐标代入得a=-l,

，抛物线的解析式为y=-x+x+6.

(4)如图3中,

S3

①以以为直径画圆与抛物线有4个交点，根据直径所对的圆周角是直角，可

知这样有3个点P满足条件.

②当为，力时，有一个点尸满足条件.

③当即，勿时，有两个点P满足条件.

所以满足条件的点尸有6个.

11、如图，抛物线y=a*+a广c经过点力（-1,0）和点。（0,3）与x轴的另

4

一交点为点6,点,"是直线比'上一动点，过点"作/娘〃人轴，交抛物线于点

P.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q,使得△QCO是等边三角形？若存在，求出

点0的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以"为圆心，明0为半径作。M当。"与坐标轴相切时，求出。〃的半径.

【解答】解：（1）把点水-1,0）和点C（0,把代入尸广c得:，

43=c

解得：＜a-瓦，

c=3

.♦•抛物线的解析式为：户3；

44

（2）不存在，理由如下:

①当点0在y轴右边时，如图1所示:

假设△QCO为等边三角形，

过点0作QHLOC千H,

,点。(0,3),

：.OC=3,

则OH=1OC=1,tan60°=更，

22OH

:.QH—0%tan6G°=3乂8迥,

22

.•.0(述，旦)，

22

把x=代入y=-3*+2X+3,

244

得：尸型1-33^2,

8162

•••假设不成立，

当点0在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形;

②当点0在y轴的左边时，如图2所示：

假设△QS为等边三角形，

过点0作