新教材2020-2021学年高二数学上学期期末复习模拟测试题四

2020-2021学年高二期模数学四

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)直线x=2021的倾斜角为()

A.90°B.0°C.180°D.45°

2.(5分)已知向量a=(l,2"),6=。，1,2),且则实数r=()

22

A.1B.-1C.--D.-

33

3.(5分)若直线4+y+1=0与直线4：x+ay+2a-l=0平行，则实数a=()

A.1B.-1C.0D.±1

4.（5分）已知三棱柱ABC-A线G,点尸为线段4G的中点，则AP=（）

A.-AB+AC+-AAB.AB+-AC+-AA.

22221

C.-AB+-AC-AAD.—ABH—A(J+AA

22'22"

5.(5分）已知二面角a-/-尸的大小为60。，A,3为棱/上不同两点，C,。分别在半

平面a,尸内，AC,比»均垂直于棱/,AC=BD=2AB=2,则异面直线与AB所成

角的余弦值为（)

11

A.-B.C.D.

5532

6.（5分）若过原点的直线/与圆f-4x+y2+3=0有两个交点，贝心的倾斜角的取值范围

为（）

A.B■（一辅

33

D.呜）仔㈤

c・。刍学㈤

OO

7.（5分）已知椭圆C:一+尸=1上两点A,B,若A5的中点为£>,直线OD的斜率等于

4

1,则直线钻的斜率等于（）

A.-1B.1C.一一D.--

24

8.（5分）已知圆。:犬+V=/（r>0）与直线委•+a=1交于A,B两点,且|AB|=2X/L

则圆O与函数例（％-1）的图象交点个数为（）个

A.2B.1C.0D.3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.（5分）已知直线+-1=0,则下述正确的是（）

A.直线/的斜率可以等于0

B,直线/的斜率有可能不存在

C.直线/可能过点（2,1）

D.若直线/的横纵截距相等，则加=±1

10.（5分）已知椭圆（7:16x2+25丁=400,关于椭圆c下述正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为10

B.椭圆C的两个焦点分别为（0,-3）和（0,3）

C.椭圆C的离心率等于3

5

D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线/与椭圆C交于尸，。，贝

11.（5分）己知点£（-1,0）,玛（1,0）,动点P到直线x=2的距离为d,31=也，则（

)

A.点P的轨迹是椭圆

B.点P的轨迹曲线的离心率等于工

2

C.点P的轨迹方程为5+9=1

D.6的周长为定值4夜

12.（5分）已知四面体A8CD的所有棱长均为2,则下列结论正确的是（）

A.异面直线AC与a）所成角为60。

B.点A到平面BCD的距离为亚

3

C.四面体A88的外接球体积为几万

D.动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60。，则点P的轨迹是椭圆

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）圆G：x2+y2+4x=o与圆G：（x-2）2+（y-l）2=9的位置关系为.

14.（5分）已知椭圆《+$=1的离心率等于1，则实数机=—.

m93

15.（5分）已知正方体A8CQ-A4G4的棱长为1,点P为线段AG上一点，|PA|=1,则

点P到平面ABCD的距离为.

16.（5分）在平面直角坐标系中，A（l,2）,。（2,1）,点B,C分别在x轴、y轴上，则：

（1）|45|+|8£>|的最小值是；

（2）|AC|+|CB|+|3£>|的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知O为坐标原点，直线/:or+y-a-l=0meR）,圆。:/+产=1.

(1)若/的倾斜角为120。，求。;

(2)若/与直线4:2x-y=0的倾斜角互补，求直线/上的点到圆O上的点的最小距离；

(3)求点。到/的最大距离及此时。的值.

18.(12分)在平面直角坐标系中，圆C过点E(l,0)和点尸(0,1),圆心C到直线x+y=0的

距离等于血.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点M做圆C的两条切线，切点分别为A,

B,四边形的面积为G，求点M的轨迹方程.

19.(12分)在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是边长为4的正方形，平面A8CZ),

M为PC中点.

(1)如果P£>=4,求证：PC_L平面M4D；

(2)当3P与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥。-用8c的体积V.

20.(12分)在平面直角坐标系中，C,(0,-72),圆Cz：x2+(y-&)2=12,动圆P过R且

与圆G相切.

(1)求动点尸的轨迹C的标准方程；

(2)若直线/过点(0,1),且与曲线C交于A,B,已知A,8中点在直线x=-1上，求直

4

线/的方程.

21.(12分)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABC£)为菱形，MC尸为等边三角形,

ZABC=60°,AB=2,EF//CD,平面8c尸_L平面A8C£).

(1)证明：在线段BC上存在点O,使得平面.平面AOF；

(2)求二面角8—A尸-C的余弦值；

(3)若E£＞//平面AOF,求线段跖的长度.

22

22.(12分)已知O为坐标原点，椭圆(7:=+马=1(。＞匕＞0)的左、右焦点分别为"，F,,

aa

|百6|=2,P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过E，K的圆与直线x=-&相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知直线/交椭圆C于M，N两点；

(i)若直线/的斜率等于1,求△OMN面积的最大值；

(ii)若OMON=-1,点。在/上，ODLI.证明：存在定点W,使得|。卬|为定值.

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（5分）直线％=2021的倾斜角为（）

A.90°B.0°C.180°D.45°

【解答】解：直线x=2021为垂直x轴的直线，其倾斜角为90。.

故选：A.

2.(5分)已知向量。=(1,2")乃=«,1,2),且则实数/=()

22

A.1B.-1C.--D.-

33

【解答】解：向量。=(12)6=。，1,2),且aJ_b,

?.a力=1+2+2f=0,

解得实数,=-2.

3

故选：C.

3.（5分）若直线（：奴+y+l=0与直线+冲+2〃一1=0平行，则实数〃=（）

A.1B.-1C.0D.±1

【解答】解：根据题意，若直线4:or+y+l=0与直线4：x+ay+2。-1=0平行，

则axa=l,即〃2=1,解可得a=±l,

当。=1时，直线4为x+y+l=0,直线4为x+y+l=。，两直线重合，不符合题意;

当a=—1时，直线《为-x+y+l=O,直线4为x-y-3=0,两直线平行，符合题意;

故a=—1,

故选：B.

4.（5分）已知三棱柱A8C—AAG,点P为线段BC的中点，则AP=（）

A.-AB+AC+-AAB.AB1AC1M

22"++

C.-AB+-AC-AAD.g叫…

22”

【解答】解：如图示：

?4

三棱柱A8C—AgG，点P为线段81G的中点，

则AB=AlBi,BC=B©,B[P=PC[=g4G,

=M+AP=M+A4+-BlCi=AAt+AB+^BA+AC）=^AB+^AC+AAl,

故选：D.

5.（5分）已知二面角△的大小为60。，A,3为棱/上不同两点，C,。分别在半

平面口,尸内，AC,均垂直于棱/,AC=BD=2AB=2,则异面直线与45所成

角的余弦值为（）

【解答】解：根据题意，作出如下所示的图形,

二面角a-/一万的大小为60。，且ACJLAfi,BD上AB,

CA与8。的夹角为120。，

CD=CA+AB+BD,

2

CDAB=（CA+AB^-BD）AB=AB=1,

222

\CD\1=4CA+AB+BD\i=CA+AB'+BD+2CAAB+2CABD+2ABBD

=4+l+4+0+2x2x2xcosl20°+0=5,

CD\=45,

ADCDAB14

cos<CD,AB>=---------------=—7=—=—,

\CD\-\AB\V5xl5

异面直线夹角的取值范围为（0,90°],

.•.异面直线CD与AB所成角的余弦值为—.

5

故选：B.

6.（5分）若过原点的直线/与圆/-4》+产+3=0有两个交点，则/的倾斜角的取值范围

为（）

A/乃兀、rj717C

A，二EB.[z%）

C.10,J）学㈤D.[0,刍（？,〃

■)

oo33

【解答】解：由一-4尤+/+3=0,得(X-2)2+V=I,圆心为(2,0),半径为1,

由题意可得，直线/的斜率存在，设直线方程为y=履，

由直线与圆(x-2)2+/=1有公共点,

得舄「，解得与T

由直线倾斜角的范围为［0,万),

则直线/倾斜角的取值范围是［0,石)(至/).

66

故选：C.

7.(5分)已知椭圆C:—+V=1上两点A,B,若AB的中点为£>,直线8的斜率等于

4

1,则直线■的斜率等于()

A.-1B.1C.--D.」

24

【解答】解：由题意，设A(X1,y),B(X2,y2),D(m,n)

A、8代入椭圆可得:亨+城=1,立+9=1,

两式相减并整理可得，二匹=」型三=」'=」，

xx-x24y+%4n4

即

直线他的斜率等于：-4.

4

故选：D.

8.(5分)已知圆O：%2+y2=，(r>0)与直线:y交于8两点，且|AB|=2石,

双耳=1A,

则圆O与函数/(x)=/〃(x-1)的图象交点个数为()个

A.2B.1C.0D.3

【解答】解：由我+我=匕得x+y-&=。，

圆心。到该直线的距离为4=匕组=1,

V2

又直线被圆所截弦长为IAB|=26，.•./=(退了+1=4.

作出圆及函数f(x)=/〃(x-l)的图象如图,

当x=3时，=圆在x轴下方点的纵坐标为-且＜-1.

222

由图可知，圆O与函数/(x)=/〃(x-l)的图象交点个数为2.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.(5分)已知直线/:》-噂，+加—1=0,则下述正确的是()

A.直线/的斜率可以等于0

B.直线/的斜率有可能不存在

C.直线/可能过点(2,1)

D.若直线/的横纵截距相等,则加=±1

【解答】解：直线/:犬-加），+加-1=0,直线斜率斜率不可能为0,故A错误，

当帆=0时，直线的斜率不存在，故5正确；

x-my+m-1-O,即x-I=/n（y-l）,直线恒过点（1,1）,故C错误；

若直线/的横纵截距相等，则1-机=竺」，解得m=1或〃?=-1,故。正确.

m

故选：BD.

10.（5分）已知椭圆（7:16/+25/=400,关于椭圆C下述正确的是（）

A.椭圆C的长轴长为10

B.椭圆C的两个焦点分别为（0,-3）和（0,3）

C.椭圆C的离心率等于士

5

D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线/与椭圆。交于P,Q,则|尸。|=三

【解答】解：椭圆C:16X2+25V=400,所以标准方程为：土+汇=1,

2516

所以。=5,6=4,c=3,

所以椭圆。的长轴长为10,A正确；

椭圆。的两个焦点分别为（-3,0）和（3,0）,所以8不正确；

椭圆c的离心率等于3,所以c正确；

5

若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线/与椭圆C交于P,Q,则|尸。|=更=2,所以。

a5

正确；

故选：ACD.

II.（5分）已知点耳（一1,0）,凡（1,0）,动点P到直线x=2的距离为d,"1=立，则（

d2

)

A.点尸的轨迹是椭圆

B.点P的轨迹曲线的离心率等于工

2

C.点尸的轨迹方程为5+丁=1

D.名的周长为定值4夜

【解答】解：点月(-1,0),月(1,0),动点P到直线x=2的距离为d,匹Li

a2

设动点尸的坐标为(x,y),可得：水…-+丫-=也,

|2-x|2

化简得点P的轨迹方程为1+丁=1,

所以P的轨迹是椭圆，所以A,C正确；

离心率为：也，所以3不正确；

2

△尸/工的周长为定值：2a+2c=2+2及，所以。不正确；

故选：AC.

12.(5分)已知四面体他CD的所有棱长均为2,则下列结论正确的是()

A.异面直线AC与8D所成角为60。

B.点A到平面BCD的距离为巫

3

C.四面体"8的外接球体积为卡"

D.动点P在平面3CO上，且AP与AC所成角为60。，则点P的轨迹是椭圆

【解答】解:如图,

A

由题意，四面体A88为正四面体，取底面8C£）的中心为G,连接CG并延长，角BD于E,

则£为皿的中点，且CE_L3£）,连接AG,则AGJ"底面38,得AG_L8D,

又4GCE=G,二台。，平面ACG,则ACJ_3£>,故A错误；

由四面体的所有棱长为2,可得CG=|CE=¥，又AC=2,，AG=j22—（手）2=半,

叩点A到平面88的距离为坟，故8正确；

3

设四面体438的外接球的球心为O,半径为/?,连接OC,贝1」尸=（孚-/?）?+（竿门，

解得/?/,则四面体ABCD的外接球体积为料（争=»,故C正确；

AP与AC所成角为60。，/—可看作以AC为轴的圆锥的母线所在直线，P的轨迹为平面

3CZ）截圆锥所得曲线，

由AP与AC所成角为60。，且COSZACG=1^>L可知平面88仅与圆锥一侧面有交点,

32

尸的轨迹为双曲线，

故。错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)圆C:x2+y2+4x=0与圆C,:(x-2)2+(y-l)2=9的位置关系为相交.

【解答】解：根据题意，圆G：x2+y2+4x=0,即（x+2f+y2=4,其圆心G为（一2,0）,

半径R=2,

圆G：（A2）2+（y_l）2=9,其圆心C2为（2,1），半径r=3,

圆心距IGG1=V16+1=y/ii,

则有|R-r|=l<IGGI<R+r=5,

则两圆相交，

故答案为：相交.

14.（5分）己知椭圆三+二=1的离心率等于1,则实数m=8或处.

m938―

【解答】解：椭圆工+《=1的离心率等于1，

m93

解得〃7=肛或8；

8

故答案为：8或肛；

8

15.（5分）已知正方体ABCO—A4Gq的棱长为1,点P为线段AG上一点，1幺|=1,则

A

点P到平面ABCD的距离为—.

—3—

【解答】解：如图,

CC，底面MCD，C|Cu平面AC|C,

平面AC。J■平面ABCD,

又平面AC℃平面ABCD=AC,

在平面ACC内，过P作PG_LAC,则PGJ_平面ABC。,

/.PG为点P到平面ABCD的距离，

AC、=6,AP=\,C,C=1,

生="，得~=”生

C,CACtAC,

故答案为：4

16.(5分)在平面直角坐标系中，A(l,2),£>(2,1),点8,C分别在x轴、y轴上，则:

(1)IABI+IB0的最小值是

(2)|AC+|CB|+|B£>|的最小值是,

【解答】解：如图不:

(1)作A(l,2)点关于x轴的对称点A(L-2),

连接AQ和x轴交于B点，故此时|A3|+|8D|最小，

最小值是IA。1=7(1-2)2+(-2-1)2=厢；

(2)分别作A(l,2)点关于y轴的对称点4(-1,2),

O点关于x轴的对称点2(2,-1),

则|AC|+1C31+13。R42|=7(-1-2)2+(2+1)2=3夜,

故答案为：V10；3夜.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知O为坐标原点,直线。or+y-a-l=O(awR),圆0:犬+丁=1.

(1)若/的倾斜角为120。，求。：

(2)若/与直线/。：2丫-丫=0的倾斜角互补，求直线/上的点到圆O上的点的最小距离;

(3)求点。到/的最大距离及此时a的值.

【解答】解：(1)由直线/的倾斜角为120。，可得直线/的斜率等于tan120。=-6,

又直线/的斜率为-a,得-a=-石，即a=G；

(2)直线/与直线4:2x-y=0的倾斜角互补，，两者斜率互为相反数，

得一a=—2,即a=2,则/:2x+y—3=0.

则圆心o到直线/的距离1=±5>1,

5

直线/上的点到圆O上的点的最小距离为亭-1；

(3)由ar+y-a-1=0,得a{x-1)+y-1=0,

二.直线/恒过定点,

/.O到/的最大距离小于等于|OM1=近，

此时，OM[1,:.kOMkt=-l,HPlx(-«)=-l,得a=l.

18.(12分)在平面直角坐标系中，圆C过点E(l,0)和点F(0,l),圆心C到直线x+y=0的

距离等于友.

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆心C在第一象限，M为圆C外一点，过点用做圆C的两条切线，切点分别为A,

B,四边形M4cB的面积为6，求点M的轨迹方程.

【解答】解：(1)因为圆[过点E(l,0)和点尸(0,1),

所以圆心C在线段E尸的垂直平分线y=x上，

所以可设圆心为C(a,a),

因为圆心C到直线x+y=0的距离等于0

所以1£坦=&,解得。=±1,

当a=l时，圆心为(1,1),半径/'=|£。|=1,

圆C的方程为：(x—1尸+(>—1)2=1

当a=—1时，圆心为(―1,—1),半径厂=|EC|=6，

圆C的方程为：(x+lf+(y+l)2=5

所以圆C的标准方程为：(x-1)，+(y-1)z=1或(x+1了+()，+Ip=5.

(2)由题知I：因为C4_LM4,

所以四边形MACB的面积Sc,8=2SACA”=\CA\\AM,

因为|C4|=1,所以|AM|=6,

所以|CMF=|CAF+|AM『=4,

所以|CM|=2,点/的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆，

所以点M的轨迹方程为：(x-l)2+(y-l)2=4.

19.(12分)在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。是边长为4的正方形，P£)_L平面A8CD,

M为PC中点.

(1)如果P£>=4,求证：PCJ_平面AMD；

(2)当BP与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥D-M8C的体积V.

p

【解答】证明：(1)PD_L平面他8,PDu平面PC。，.•・平面PC£>_L平面ABCZ5,

底面A8CD是正方形，.-.ADrIX：,

又45u平面ABCD,平面P8C平面ABCE)=CD,

.♦.4)1.平面尸8,得">JLPC,

PD=DC=4,M为尸C的中点，/.DM±PC,而A。DM=D,

.•.尸。1.平面加4。；

(2)设£>P=2f,以。为坐标原点，

分别以ZM、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则£>(0,0,0),8(4,4,0),P(0,0,2f),M(0,2,r),

DB=(4,4,0),DM=(0,2,t),BP=(-4,-4,2f),

设平面MBD的法向量为〃=(x,y,z),

，⑶二°,即2y+tz=02

则4x+4y=0'取丫―，得〃=(1，T，7)，

nDB=0

BP与平面MBD所成角的正弦值为|cos<BP,n>\=Ml

,16+16+4厂.+1+-y

(当且仅当^=8/,即f=2时等号成立).

VV

三棱锥D-MBC的体积匕=M-DHC=gVn1c=；'--^CD=^x1x4x4x4=y.

20.(12分)在平面直角坐标系中，C,(0,-72),圆Cz：x2+(y-&)2=12,动圆P过C且

与圆G相切.

(1)求动点P的轨迹C的标准方程；

(2)若直线/过点(0,1),且与曲线C交于A,B,已知A,8中点在直线x=-L上，求直

4

线/的方程.

【解答】解：(1)设动圆尸的半径为，由题意知：|PCJ=r，|PGI=2G-r,

所以|PC；|+1PC?|=2+>|C,C,|=2&,

所以P点的轨迹是以G，G为焦点的椭圆，

其长轴长2a=26，焦距为2c=2及，b-^ci1-c2=I,

所以曲线C的标准方程为：^+x2=l.

3

(2)若直线斜率不存在，则A,区关于x轴对称，不合题意,

若直线斜率存在，设其方程为y="+l,

2

将丫=区+1代入f=1得：（3+公）/+2米一2=0,

所以飞+々

JK.

所以一_匚=-工，

23+公4

所以公一4%+3=0,解得上=1或&=3,

所以，直线/的方程为：y=x+l或y=3x+l.

21.（12分）如图，在几何体中，四边形"8为菱形，ABCF为等边三角形,

ZABC=60°,AB=2,EFIICD,平面BCF_L平面MCD.

（1）证明：在线段3c上存在点O,使得平面ABSd.平面AOP;

（2）求二面角B-AF—C的余弦值；

（3）若ED//平面AOF,求线段防的长度.

【解答】（1）证明：取线段BC的中点O,连接。4,OF,因为ABB、AABC均为等边

三角形,

所以8C_L04,BCLOF,OAOF=O,所以BC_L平面AOF,

又因为BCu平面ABC。，所以平面他CDJ_平面AOF,

所以，线段3c的中点O,使得平面平面AOF

（2）解：因为平面3CFJ_平面/WCD,平面3CFC平面ABCD=3C,FOA.BC

所以“>"L平面ABC。，所以。4,OB,O尸两两垂直

以。4、OB、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系。-中z

则A(G,0,0,),B(0,l,0),F(0,0,G),C(0,-l,0),D(6,-2,0),

设平面的一个法向量〃?=(占,弘，4),

因为AB=(-6,1,0),A尸=(一百,0,6),

由卜AB=0,得卜§+>=0,

mAF=0[-6王+v3Z1=0

所以机=(1,G,1)(6分)

设平面ACF的一个法向量〃=(9,%,zj,

因为C4=(6,1,0),CF=(0,l,>/3)

由<”?C4°,得，也七:)？°,令々=[,则必=_e，z?=l,所以〃=(1,~75,1),

mCF=0y2+V3z2=0

设二面角8—AF—C的平面角为。，所以8$。=也旦=」，

IWII«I5

所以二面角3-AF-C的余弦值

5

(3)解：因为EFUCDUAB,设FE=r8A=(①，-t,0),5(0,1,0),

所以。(6,-2,0),E(x/3t,-t,百)，则OE=(G/