广东省兴宁一中2024届高二数学第二学期期末预测试题含解析

广东省兴宁一中2024届高二数学第二学期期末预测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A．1 B．-1 C． D．2．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．3．设方程的两个根为，则（）A． B． C． D．4．设，若是的等比中项，则的最小值为（）A．8 B． C．1 D．45．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（）A．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学B．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学C．清华大学、北京大学、武汉大学、复旦大学D．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学6．复数等于（）A． B． C．0 D．7．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部甲、乙、丙可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则干部甲住3个村的概率为()A． B． C． D．8．已知向量，，若，则（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－19．如果，那么的值是（）A． B． C． D．10．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩最高.乙:我的成绩比丙的成绩高丙:我的成绩不会最差成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（）A．甲、丙、乙 B．乙、丙、甲C．甲、乙、丙 D．丙、甲、乙11．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．12．如图，在正方体中，分别是的中点，则下列说法错误的是（）A． B．平面C． D．平面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．14．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.15．若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为__．16．在极坐标系中，点到直线的距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，满足成立，求的取值范围．18．（12分）设数列an的前n项和为Sn且对任意的正整数n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表达式并证明19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半粙为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设点极坐标为，且，，.（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求点的直角坐标；②若直线与曲线交于，两点，求.20．（12分）（）．（1）当时，求的单调区间；（2）若，存在两个极值点，，试比较与的大小；（3）求证：（，）．21．（12分）7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲不排头，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻．（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．（5）7人分成2人，2人，3人三个小组安排到甲、乙、丙三地实习．22．（10分）已知，．当时，求的值；当时，是否存在正整数n，r，使得、、，依次构成等差数列？并说明理由；当时，求的值用m表示．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求解出的共轭复数，然后直接判断出的虚部即可.【题目详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.【题目点拨】本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数的实部为，虚部为.2、D【解题分析】

根据正切型函数的周期公式可求出函数的最小正周期.【题目详解】由题意可知，函数的最小正周期，故选D.【题目点拨】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于利用周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.3、D【解题分析】

画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。【题目详解】画出函数与的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程的两个根，结合图像可知，，根据是减函数可得，所以有图像可知所以即，则，所以，而所以故选D【题目点拨】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题。4、D【解题分析】∵是的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．a＞2，b＞2．∴==2．当且仅当a=b=时取等号．故选D．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5、D【解题分析】

推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案.【题目详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学（另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）.故选：.【题目点拨】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.6、A【解题分析】

直接化简得到答案.【题目详解】.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，属于简单题.7、A【解题分析】

先利用排列组合思想求出甲干部住个村的排法种数以及将三名可供选派的干部下乡到个村蹲点的排法种数，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【题目详解】三名干部全部选派下乡到个村蹲点，三名干部所住的村的数目可以分别是、、或、、，排法种数为，甲住个村，则乙、丙各住一个村，排法种数为，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为，故选：A。【题目点拨】本题考查排列组合应用问题以及古典概型概率的计算，解决本题的关键在于将所有的基本事件数利用排列组合思想求出来，合理利用分类计数和分步计算原理，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题。8、C【解题分析】

根据题意得到的坐标，由可得的值.【题目详解】由题，，，或，故选C【题目点拨】本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数9、D【解题分析】

由诱导公式，可求得的值，再根据诱导公式化简即可．【题目详解】根据诱导公式，所以而所以选D【题目点拨】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用，属于基础题．10、D【解题分析】

假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意．【题目详解】若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙．A、B、C、D中只有D可能．故选D．【题目点拨】本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．11、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.12、C【解题分析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【题目详解】∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，

∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，

则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正确；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C错误；

平面ABCD的法向量又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．

故选C．【题目点拨】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【题目详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14、【解题分析】

先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值．【题目详解】，则，解得，所以，则.令，得或；令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.【题目点拨】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a．15、1120【解题分析】由题意可得：n=8.∴通项公式，令=2，解得r=4.∴展开式中含x2项的系数为.故答案为：1120.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.16、3【解题分析】

将A和直线化成直角坐标系下点和方程，再利用点到直线的距离公式计算即可.【题目详解】由已知，在直角坐标系下，，直线方程为，所以A到直线的距离为.故答案为：3【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）求出，得出切点坐标，利用导数求出，得出切线的斜率，再利用点斜式写出切线的方程；（2）由，即，将问题转化为，然后利用导数求出函数在区间上的最大值，可求出实数的取值范围．【题目详解】（1），，在处的切线方程为：，即；（2），即，令，得.时，，时，.在上减，在上增，又时，的最大值在区间端点处取到.，，，在上最大值为，故的取值范围是：.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，利用函数不等式能成立求参数的取值范围，在处理函数不等式成立的问题时，可利用分类讨论或者参变量分离法来求解，在利用参变量分离时要注意是恒成立还是能成立的问题，以便转化为对象函数相应的最值来处理，考查计算能力，属于中等题．18、（1）12,23【解题分析】

（1）分别代入n=1,2,3计算即可求解；（2）猜想:Sn=【题目详解】当n=1,S当n=2,当n=3,（2）猜想:Sn证明：①当n=1时，显然成立；②假设当n=k(k≥1且k∈N*)则当n=k+1时，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1时,猜想也成立.综合①②得Sn【题目点拨】本题考查递推数列求值，数学归纳法证明，考查推理计算能力，是基础题19、（Ⅰ）直线,曲线（Ⅱ）①②【解题分析】

（Ⅰ）利用参数方程化普通方程，利用极坐标化普通方程求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）①求出，即得点M的直角坐标；②利用直线参数方程t的几何意义解答.【题目详解】解（Ⅰ），曲线.（Ⅱ）①，，.②将代入，得，，，.【题目点拨】本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、（1）递减，递增（2）（3）详见解析【解题分析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+-2＞0恒成立，即lnt+-1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n-1＞0，即有n-1