2024届安阳市洹北中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届安阳市洹北中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列参数方程可以用来表示直线的是（）A．（为参数） B．（为参数）C．（为参数） D．（为参数）2．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（）A． B． C． D．3．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．4．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．5．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）．A． B．C． D．6．如果随机变量，则等于（）（注：）A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.02157．已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．函数的单调增区间是（）A． B． C． D．9．已知等差数列中，，则（）A．20 B．30 C．40 D．5010．已知命题，则命题的否定为（）A． B．C． D．11．在极坐标系中，点关于极点的对称点为A． B． C． D．12．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为__________（结果用区间表示）。14．若圆柱的轴截面为正方形，且此正方形面积为4，则该圆柱的体积为______．15．某单位有职工52人，现将所有职工按1、2、3、…、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是________．16．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的高为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴正半轴重合,直线的参数方程为：（为参数，），曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点,直线过定点,若，求直线的斜率.18．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过两点，．（1）求圆C的方程；（2）若点P在圆C上，求点P到直线的距离的最小值．19．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）求;（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．20．（12分）如图，四边形中，，，，为边的中点，现将沿折起到达的位置（折起后点记为）．（1）求证：；（2）若为中点，当时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若函数f（x）的最小值为8，求实数a的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4个零点，求实数a的取值范围．22．（10分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x＝－1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

选项A:利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项B：利用加减消元法消参,并求出的取值范围,即可判断出所表示的图形；选项C：利用加减消元法消参,并求出的取值范围即可判断出所表示的图形；选项D：利用同角的三角函数关系式进行消参即即可判断出所表示的图形,最后选出正确答案.【题目详解】选项A:,而,所以参数方程A表示的是直线；选项B：,而,所以参数方程B表示的是射线；选项C：,而,所以参数方程C表示的是线段；选项D：,所以参数方程D表示的是单位圆,故选A.【题目点拨】本题考查了参数方程化为普通方程,并判断普通方程所表示的平面图形,求出每个参数方程中横坐标的取值范围是解题的关键.2、D【解题分析】

首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．【题目详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．3、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．4、B【解题分析】

先判断双曲线的焦点位置，然后得到渐近线方程的一般形式，再根据的值直接写出渐近线方程.【题目详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为，又因为，所以渐近线方程为.故选：B.【题目点拨】本题考查双曲线渐近线方程的求解，难度较易.双曲线的实轴长为，虚轴长为，若焦点在轴上，则渐近线方程为，若焦点在轴上，则渐近线方程为；求解双曲线渐近线方程的另一种方法：直接将双曲线方程中的变为，由此得到的关系式即为渐近线方程.5、C【解题分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为：，侧面积为：；圆柱的底面半径是，高是，其底面积为：，侧面积为：；∴组合体的表面积是，本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6、B【解题分析】

根据正态分布列的对称性可得：，进而得出．【题目详解】1．故选：．【题目点拨】本题考查了正态分布列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7、C【解题分析】

先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.【题目详解】解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.故选C.【题目点拨】本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.8、A【解题分析】

求导，并解不等式可得出函数的单调递增区间。【题目详解】，，令，得或，因此，函数的单调递增区间为，，故选：A。【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，求函数单调区间有以下几种方法：（1）基本性质法；（2）图象法；（3）复合函数法；（4）导数法。同时要注意，函数同类单调区间不能合并，中间用逗号隔开。9、A【解题分析】等差数列中，，，．故选A．10、A【解题分析】

根据全称命题的否定为特称命题，即可直接得出结果.【题目详解】因为命题，所以命题的否定为：故选A【题目点拨】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.11、C【解题分析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：∵关于极点的对称点为，

∴关于极点的对称点为．

故选：C．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．12、A【解题分析】

由题意知X～B（4，），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【题目详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，），则X的方差D（X）＝4（1）＝1，故选A．【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，）是解决本题的关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据函数的定义域需满足，解不等式.【题目详解】根据题意可得，，，即函数的定义域是故填：.【题目点拨】本题考查了函数多的定义域，属于简单题型.14、【解题分析】

根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入体积公式计算即可．【题目详解】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径，高，∴圆柱的体积．故答案为．【题目点拨】本题考查了圆柱的结构特征和体积的计算，属于基础题．15、19【解题分析】按系统抽样方法，分成4段的间隔为＝13，显然在第一段中抽取的起始个体编号为6，第二段应将编号6＋13＝19的个体抽出．这就是所要求的．16、【解题分析】试题分析：设圆锥母线为，底面圆的半径，圆锥侧面积，所以，又半圆面积，所以，，故，所以答案应填：．考点：1、圆锥侧面展开图面积；2、圆锥轴截面性质．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，得，由此能求出曲线C的直角坐标方程；（2）把代入，整理得，由，得，能求出直线l的斜率．【题目详解】（1）曲线C的极坐标方程为，所以.即，即.（2）把直线的参数方程带入得设此方程两根为，易知,而定点M在圆C外，所以，，，，可得，∴，所以直线的斜率为-1.【题目点拨】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．18、（1）（2）【解题分析】

（1）设圆心在轴上的方程是，代入两点求圆的方程；（2）利用数形结合可得最短距离是圆心到直线的距离-半径.【题目详解】解：（1）由于圆C的圆心在x轴上，故可设圆心为，半径为，又过点，，故解得故圆C的方程．（2）由于圆C的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，又点P在圆C上，故点P到直线的距离的最小值为．【题目点拨】本题考查了圆的方程以及圆有关的最值问题，属于简单题型，当直线和圆相离时，圆上的点到直线的最短距离是圆心到直线的距离-半径，最长的距离是圆心到直线的距离+半径.19、（1），，；（2），证明见解析【解题分析】

（1）先求得的值，利用求得的表达式，由此求得的值.（2）根据（1）猜想，用数学归纳法证明数列的体积公式为.【题目详解】（1）且于是从而可以得到，猜想通项公式（2）下面用数学归纳法证明.①当时，满足通项公式；②假设当时，命题成立，即由（1）知即证当时命题成立；由①②可证成立.【题目点拨】本小题主要考查已知求，考查数学归纳法证明与数列的通项公式.20、(1)见证明；(2)【解题分析】

（１）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明面，从而推得；（２）以为原点，以，分别为，建立空间直角坐标，分别求出面的法向量和面的法向量为，根据二面角的余弦值公式即可求解出结果．【题目详解】（1）证明：因为，，，所以面，又因为面，所以．（2）解：以为原点，以，分别为，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，设面的法向量，则有取，，，则由，，设面的法向量为，则有取，，，，则，由于二面角的平面角为钝角，所以，其余弦值为．【题目点拨】本题主要考查了通过线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）利用换元法，结合二次函数进行分类讨论求解；（Ⅱ）先求的零点，结合二次方程根的分布情况可得实数a的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）函数，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），则h（t）＝t2﹣2at+2a2﹣2在（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）上的最小值为8，函数h（t）的对称轴为t＝a，①当a≥2时，，此时；②当a≤﹣2时，，此时；③当﹣2＜a＜0时，，此时无解；④当0≤a＜2时，＝h（2）＝2a2﹣4a+2＝8，此时无解；故实数a的值为.（Ⅱ）令g（x）＝0，则f（x）＝8，则由题意，方程t2﹣2at+2a2﹣2＝8，即t2﹣2at+2a2﹣10＝0必有两根，且一根小于﹣2，另一根大于2，则，解得﹣1＜a＜1．故实数a的取值范围为．【题目点拨】本题主要考查分类讨论求解最值问题和根的分布，二次函数一般是从对称轴与区间的位置关系进行讨论，侧重考查分类讨论的数学思想.22、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，又y2＝4x，解得Q；（2）设点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)，联立y2＝4x，则Δ＝0，得k2＋kt－1＝0，则切点分别为A，B，所以A，B，F三点共线，AB过点F(1，0)。试题解析：(1)设Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即y2＝2x＋1，由解得Q.(2)设过点(－1，t)的直线方程为y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入y2＝4x，得ky2－4y＋