等边三角形八年级数学下学期重要考点精讲精练

1.2等边三角形等边三角形的定义和性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°，三边都相等，也具有“三线合一”的性质．注意：（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.题型1：等边三角形与角度计算1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为（）A．25° B．60° C．90° D．100°【变式1-1】如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（）A．90° B．120° C．180° D．无法确定【变式1-2】如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在△ABC外，AD＝AE．若∠BAD＝20°，∠DAE＝70°，求∠CAE和∠CDE的度数．题型2：等边三角形与长度、周长计算2.如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，求BE的长度．【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝150°，△ABD是等边三角形，AB＝8，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长．【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，D为AB的中点，DE⊥AC于E，EF∥AB，若AE＝1，求：△EFC的周长．题型3：等边三角形与证明3.如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE＝CF．【变式3-1】如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【变式3-2】已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．题型4：等边三角形与规律性问题4.如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（）A．16 B．32 C．64 D．128【变式4-1】如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2012＝．【变式4-2】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为．题型5：等边三角形与动点问题5.如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝．【变式5-1】已知：如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是2cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的四分之三？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由．【变式5-2】如图，△ABC是等边三角形，AB＝2，D是边BC的中点．点P从点A出发，沿AB﹣BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．同时点Q从点C出发，沿CA﹣AC以每秒1个单位长度的速度运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）求线段PB的长（用含t的代数式）．（2）当△PQD是等边三角形时，求出t的值．等边三角形的判定判定1：三个角相等的三角形是等边三角形.判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.题型6：等边三角形的判定6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形．【变式6-1】如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE．（1）求：∠E的度数；（2）求证：△ABC为等边三角形．【变式6-2】已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形．含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.题型7：含有30°角的直角三角形7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，DE＝3，∠B＝30°，则BC＝（）A．7 B．8 C．9 D．10【变式7-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若AB＝8cm，则BD＝cm．【变式7-2】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．题型8：等边三角形的判定与性质的综合应用8.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【变式8-1】在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．【变式8-2】学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明命题的方法叫做反证法.注意：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；

（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；

（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.题型9：反证法9.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．求证：∠1+∠2＝180°．证明：假设∠1+∠2180°．∵l1∥l2，∴∠1∠3．∵