2023-2024学年湘教版必修第二册 4-4-2平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质 学案

第2课时平面与平面垂直的性质教材要点要点平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的，那么这条直线与另一个平面垂直．符号语言图形语言作用①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线状元随笔对面面垂直的性质定理的理解（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．（2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内．（）（2）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.（）（3）若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α.（）（4）三个两两垂直的平面的交线两两垂直．（）2.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么（）A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面3.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能4.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是．题型1平面与平面垂直的性质定理的应用例1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.方法归纳（1）证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．（2）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．跟踪训练1已知：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.题型2垂直关系的综合应用例2如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．方法归纳（1）熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．（2）垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．跟踪训练2如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.（1）求证：平面PBC⊥平面PAC.（2）求证：直线l⊥AC.eq\a\vs4\al(易错辨析)平面与平面垂直的条件把握不准确致误例3（多选）已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有（）A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，对于A，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故D错误．故选BC.答案：BC易错警示易错原因纠错心得对平面与平面垂直的条件把握不准确，很容易认为D正确，导致错选为BCD.D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．课堂十分钟1.已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（）A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α2.已知平面α，β及直线a满足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则（）A．a⊂βB．a⊥βC．a∥βD．a与β相交但不垂直3.已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β4.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为Ｗ．5.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.第2课时平面与平面垂直的性质新知初探·课前预习要点交线AB⊂αAB⊥CD[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．答案：C3．解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．答案：D4．解析：由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.答案：平行题型探究·课堂解透例1证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形．∵G为AD中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.跟踪训练1证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E.∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC，∴BC⊥AE.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA.又PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAB∴BC⊥平面PAB.例2证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB又PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．跟踪训练2证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以AB所对的圆周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，又因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF为△PCB的中位线，所以EF∥BC，又因为EF⊄平面ACB，BC⊂平面ACB，所以EF∥平面ABC，又因为EF⊂平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.[课堂十分钟]1．解析：根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β答案：B2．解析：由题意，α中存在直线b，b∥a，因为a⊥AB，所以b⊥AB，因为α⊥β，α∩β＝AB，所以b⊥β，因为b∥a，所以a⊥β答案：B3．解析：选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m答案：D4．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平