概率论与数理统计A

概率论与数理统计A汇报人：AA2024-01-20CATALOGUE目录概率论基本概念随机变量及其分布多维随机变量及其分布数理统计基本概念和方法假设检验和方差分析初步回归分析初步和线性模型选择01概率论基本概念不可能事件不包含任何样本点的事件。必然事件包含样本空间中所有样本点的事件。基本事件只包含一个样本点的事件。样本空间所有可能结果的集合，一般用大写字母S表示。事件样本空间的子集，即某些可能结果的组合。样本空间与事件描述某一事件发生的可能性大小的数值，一般用P表示。非负性、规范性（必然事件的概率为1）、可加性（互斥事件的概率和等于它们并的概率）。概率定义及性质概率性质概率定义在某一事件B已经发生的条件下，另一事件A发生的概率，记作P(A|B)。条件概率如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。事件的独立性条件概率与独立性如果事件B1,B2,...,Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的条件下，可以求出某一事件Bi已发生的条件下，另一事件A发生的概率，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)。贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式02随机变量及其分布随机变量定义及分类定义设随机试验的样本空间为S，如果对于每一个样本点e∈S，都有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值实函数X(e)，则称X(e)为随机变量，简记为X。分类随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。离散型随机变量只取有限个或可数个值，而连续型随机变量的取值则充满某个区间。0-1分布如果随机变量X只取0和1两个值，并且取1的概率为p，取0的概率为1-p，则称X服从参数为p的0-1分布。二项分布在n次独立重复的伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率服从二项分布。泊松分布泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如果一个随机事件以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布。离散型随机变量分布律010203均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度，并且f(x)在[a,b]上的图形是一条平行于x轴的直线，则称X在[a,b]上服从均匀分布。指数分布指数分布是一种连续概率分布，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中x>0，λ>0。指数分布具有无记忆性，即无论之前已经等待了多久，下一个事件发生的时间间隔仍然服从相同的指数分布。正态分布正态分布是概率论中的最重要分布之一，其概率密度函数呈钟形曲线。正态分布具有许多重要的性质和应用，如中心极限定理表明，在适当的条件下，大量独立随机变量的均值近似服从正态分布。连续型随机变量密度函数离散型随机变量函数的分布当已知离散型随机变量的分布律时，可以通过计算得到其函数的分布律。具体方法包括直接法和公式法。连续型随机变量函数的分布当已知连续型随机变量的概率密度函数时，可以通过积分变换得到其函数的概率密度函数。具体方法包括公式法和分布函数法。随机变量函数分布03多维随机变量及其分布二维随机变量联合分布设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数F(x,y)=P{(X<=x)∩(Y<=y)}称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。联合分布函数如果二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量，称P{X=xi,Y=yj}为二维随机变量(X,Y)的分布律，或称为X和Y的联合分布律。联合分布律边缘分布边缘分布函数定义是：设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，X及Y的分布函数FX(x)及FY(y)分别称为二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数。要点一要点二条件分布条件分布律：设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij，(i,j=1,2,...)，若对于固定的xi，P{X=xi}>0，则称条件概率P{Y=yj|X=xi}=P{X=xi,Y=yj}/P{X=xi}为在X取值为xi的条件下，Y取值为yj的条件概率，记作pij|i。边缘分布与条件分布VS二维随机变量独立性判断是判断两个随机变量的取值是否相互独立，即一个随机变量的取值是否对另一个随机变量的取值有影响。相关性相关性是指两个或多个随机变量之间的关系强度和方向。如果两个随机变量的变化趋势相同，那么它们之间是正相关的；如果它们的变化趋势相反，那么它们之间是负相关的；如果它们之间没有明显的关系，那么它们是不相关的。独立性独立性及相关性判断多维随机变量函数分布04数理统计基本概念和方法研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个概率分布来描述。总体从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。样本样本中包含的个体数目，通常用n表示。样本容量总体和样本描述统计量样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。统计量的性质包括无偏性、有效性、一致性等，用于评价统计量的优劣。统计量及其性质当样本容量足够大时，样本均值趋近于总体均值。大数定律当样本容量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布，无论总体分布是什么。中心极限定理用于小样本情况下总体均值的推断，其分布形态与自由度有关。t分布抽样分布定理点估计用样本统计量的某个值来估计总体参数的方法，如最大似然估计、最小二乘估计等。区间估计根据样本统计量的分布性质，构造出总体参数的一个置信区间，用于描述估计的准确性和可靠性。假设检验先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息来判断这个假设是否成立的方法。参数估计方法05假设检验和方差分析初步根据样本信息对总体参数进行推断，通过构造检验统计量并确定其分布，进而做出接受或拒绝原假设的决策。明确原假设和备择假设；选择合适的检验统计量；确定显著性水平；计算检验统计量的值；根据检验统计量的值做出决策。假设检验的基本原理假设检验的步骤假设检验原理及步骤单样本t检验用于比较样本均值与已知总体均值是否有显著差异。具体步骤包括计算样本均值、样本标准差和t统计量，根据t分布表或计算得到的p值进行决策。双样本t检验用于比较两个独立样本均值是否有显著差异。具体步骤包括计算各样本均值、样本标准差和合并标准差，根据t分布表或计算得到的p值进行决策。单样本和双样本t检验用于比较两个或多个总体方差是否有显著差异。具体步骤包括计算各样本方差、构造F统计量并确定其分布，根据F分布表或计算得到的p值进行决策。F检验用于检验实际观测值与理论预期值之间的一致性程度。具体步骤包括计算卡方统计量并确定其分布，根据卡方分布表或计算得到的p值进行决策。卡方检验F检验和卡方检验简介方差分析原理通过比较不同因素水平下总体均值的差异程度，判断因素对结果变量是否有显著影响。具体步骤包括建立方差分析模型、计算各因素及误差的均方和、构造F统计量并确定其分布，根据F分布表或计算得到的p值进行决策。应用举例例如，在医学研究中，可以运用方差分析比较不同治疗方法对患者病情改善程度的影响；在市场调研中，可以运用方差分析比较不同产品特性对消费者购买意愿的影响等。方差分析原理及应用举例06回归分析初步和线性模型选择确定自变量和因变量根据研究目的，明确自变量（解释变量）和因变量（响应变量）。绘制散点图通过绘制自变量和因变量的散点图，初步判断两者是否存在线性关系。建立一元线性回归模型设定模型形式为y=β0+β1x+ε，其中β0和β1为待估参数，ε为随机误差项。参数估计利用最小二乘法（OLS）对模型参数进行估计，得到β0和β1的估计值。一元线性回归模型建立多元线性回归模型建立确定自变量和因变量与一元线性回归类似，明确多个自变量和一个因变量。多重共线性检验检查自变量之间是否存在多重共线性，以避免模型不稳定。建立多元线性回归模型设定模型形式为y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε，其中β0,β1,...,βk为待估参数，ε为随机误差项。参数估计同样利用最小二乘法（OLS）对模型参数进行估计，得到各参数的估计值。残差分析检查残差是否满足独立、同方差等假设，以验证模型的合理性。模型检验利用F检验、t检验等方法对模型及参数进行显著性检验。模型优化根据诊断结果