《平面向量的坐标表示》课件

平面向量的坐标表示2023REPORTING平面向量坐标表示的引入平面向量的坐标表示方法平面向量坐标表示的应用平面向量坐标表示的注意事项平面向量坐标表示的练习题及解析目录CATALOGUE2023PART01平面向量坐标表示的引入2023REPORTING什么是平面向量平面向量是一种具有大小和方向的量，表示为有向线段。它由起点、终点和方向唯一确定，可以表示速度、力等物理量。平面向量坐标表示是解决向量问题的有效工具，能够方便地表示向量并进行运算。通过坐标表示，我们可以将几何问题转化为代数问题，简化解题过程。平面向量坐标表示的必要性方便性平面向量坐标表示使得向量的运算更加方便，可以快速进行向量的加、减、数乘等运算。通用性平面向量坐标表示适用于任意平面直角坐标系，具有通用性。可操作性平面向量坐标表示可以通过代数方法进行求解，使得向量问题的解决更加可操作。平面向量坐标表示的优点PART02平面向量的坐标表示方法2023REPORTING在平面上选择两个不共线的非零向量作为基底，其他向量可以用这两个基底线性表示。基底选择基底通常与坐标轴平行或垂直，这样便于计算向量的坐标。基底与坐标轴基底一经选定，向量的坐标表示就是唯一的。唯一性基底选择010203向量表示给定向量$overset{longrightarrow}{AB}$，可以表示为基底$overset{longrightarrow}{i}$和$overset{longrightarrow}{j}$的线性组合，即$overset{longrightarrow}{AB}=aoverset{longrightarrow}{i}+boverset{longrightarrow}{j}$。坐标求解通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值，从而得到向量的坐标。起点坐标法如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x-A_x,B_y-A_y)$。向量坐标的求解向量的模长向量的模长定义为$sqrt{a^2+b^2}$，表示向量的大小或长度。夹角两个向量的夹角可以通过向量的点积来求解，即$costheta=frac{overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{CD}}{|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{CD}|}$。向量投影向量在基底上的投影长度可以通过向量的模长和夹角来计算，即$|overset{longrightarrow}{AB}|cdotcostheta=frac{a}{sqrt{a^2+b^2}}$。向量的模长和夹角PART03平面向量坐标表示的应用2023REPORTING向量加法设向量$overset{longrightarrow}{AB}=(x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC}=(x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC}=overset{longrightarrow}{AB}+overset{longrightarrow}{BC}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$。数乘运算设向量$overset{longrightarrow}{AB}=(x,y)$，实数$k$，则$koverset{longrightarrow}{AB}=(kx,ky)$。向量加法、数乘运算的坐标表示向量数量积：设向量$overset{longrightarrow}{AB}=(x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC}=(x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{BC}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$。向量积：设向量$overset{longrightarrow}{AB}=(x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC}=(x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AB}timesoverset{longrightarrow}{BC}$的大小为$|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{BC}|cdotsintheta$，其中$theta$为两向量的夹角。混合积：设向量$overset{longrightarrow}{AB}=(x_{1},y_{1},z_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC}=(x_{2},y_{2},z_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{BC}$的大小为$|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{BC}|cdotsintheta$，其中$theta$为两向量的夹角。向量数量积、向量积、混合积的坐标表示力的合成与分解在物理中，力可以视为向量，通过向量的加法、数乘运算以及向量积可以方便地表示力的合成与分解。速度和加速度的分析在运动学中，速度和加速度可以视为向量，通过向量的加法、数乘运算以及向量的数量积和混合积可以方便地表示速度和加速度的变化。线性代数方程组的解在解线性代数方程组时，可以通过向量的坐标表示将方程组转化为向量的线性组合问题，简化计算过程。向量在解决实际问题中的应用PART04平面向量坐标表示的注意事项2023REPORTING极坐标系在平面极坐标系中，任意平面向量$overset{longrightarrow}{a}$可以由其模长和夹角唯一确定。直角坐标系在平面直角坐标系中，任意平面向量$overset{longrightarrow}{a}$可以由其终点坐标和起点坐标唯一确定。圆柱坐标系在平面圆柱坐标系中，任意平面向量$overset{longrightarrow}{a}$可以由其模长、与z轴的夹角以及起点在x轴上的投影唯一确定。坐标系的选择单位向量的模长为1，方向与原向量相同，可以用来表示原向量的大小和方向。在计算向量的模长、夹角等几何量时，可以使用单位向量进行简化计算。单位向量的应用特殊情况的处理当向量的起点和终点不在坐标轴上时，需要先进行平移操作，使起点和终点分别与坐标轴上的点重合，再进行坐标表示。当向量的起点和终点在坐标轴上时，可以直接根据终点和起点的坐标进行计算。当向量的起点和终点在同一条直线上时，需要先判断直线的倾斜角，再根据倾斜角和向量的模长进行计算。PART05平面向量坐标表示的练习题及解析2023REPORTING题目已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，则向量$overrightarrow{AB}$的坐标为____．解析根据向量的坐标表示，点$A(1,2)$和点$B(3,4)$的坐标差即为向量$overrightarrow{AB}$的坐标。因此，$overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,4-2)=(2,2)$。基础练习题进阶练习题题目已知点$A(1,2)$，点$B(-3,4)$，则向量$overrightarrow{AB}$的坐标为____．解析同样根据向量的坐标表示，点$A(1,2)$和点$B(-3,4)$的坐标差即为向量$overrightarrow{AB}$的坐标。因此，$overrightarrow{AB}=B-A=(-3-1,4-2)=(-4,2)$。题目已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(-1,-2)$，则$overrightarrow{AC}=$____，$overrightarrow{BC}=$____，$overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC}=$____。要点一要点二解析首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,-2-2)=(-2,-4)$，$overrightarrow{BC}