华东师大版八年级数学上册同步练习题及答案

12.1.1平方根(第一课时)◆随堂检测1、若x2=a,则叫的平方根，如16的平方根是,的平方根是3、196的平方根有个，它们的和为4、下列说法是否正确?说明理由(1)0没有平方根；(2)—1的平方根是±1;(3)64的平方根是8;(4)5是25的平方根；5、求下列各数的平方根◆典例分析例若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，试确定m的值◆课下作业●拓展提高一、选择1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15,那么这个数是()A、49B、441C、7或21D、49或4412、(-2)2的平方根是()3、若5x+4的平方根为±1,则x=5、已知2a-1的平方根是±4,3a+b-1的平方根是±4,则a+2b的平方根是三、解答题6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解2、(08咸阳)在小于或等于100的非负整数中，其平方根是整数的共有个3、(08荆门)下列说法正确的是()A、64的平方根是8B、-1的平方根是±1C、-8是64的平方根D、(-1)2没有平方根12.1.1平方根(第二课时)◆随堂检测2、一个数的算术平方根是9,则这个数的平方根是4、下列叙述错误的是()A、-4是16的平方根B、17是(-17)2的算术平方根C、的算术平方根是D、0.4的算术平方根是0.02分析：根据非负数的性质求a、b的值，再由三角形三边关系确定c的范围●拓展提高一、选择3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根，那么这个数是三、解答题1.(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为a,则和这个自然数相邻的下一个自然数3、(08年广州)如图，实数a、b在数轴上的位置，4、(08年随州)小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间，小明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算.12.1.2立方根◆随堂检测1、若一个数的立方等于—5,则这个数叫做—5的,用符号表示为,—64的立方根是,125的立方根是_的立方根是一5.如果x3=64,则x=4、下列语句正确的是()5的立方根是D、(-1)2立方根是-1●拓展提高1、若a2=(-6)2,b3=(-6)3,则a+b的所有可能值是()A、0B、-12C、0或-12D、0或12或-12A.A.二、填空4、若x2=16,则(一4+x)的立方根为三、解答题5、求下列各式中的x的值●体验中考1、(09宁波)实数8的立方根是2、(08泰州市)已知a≠0,a,b互为相反数，则下列各组数中，不是互为相反数的一组3、(08益阳市)一个正方体的水晶砖，体积为100cm,它的棱长大约在()12.2实数与数轴◆随堂检测理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.5、下列说法中，正确的是()A.实数包括有理数，0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.◆典例分析◆课下作业点C表示的实数为()A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D.可以是整数也可以是负数3、写出一个3和4之间的无理数三、解答题5、比较下列实数的大小和点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为()A.-2-√3B.-1-√3C.-2+√3D.1+√3(第46题图)A.1B.-13、(2011年江苏连云港)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有()4、(2011年浙江省杭州市模2)如图，数轴上点A所表示的数的倒数是()D.试一试二 例1计算：练习1.判断下列计算是否正确，并简要说明理由.2.计算：3.填空：(1)am叫做a的m次幂，其中a叫幂的,m叫幂(2)写出一个以幂的形式表示的数，使它的底数为c,指数为3,这个数为(3)(-2)4表示,-24表示；(4)根据乘方的意义，a3=.a4=,因此a3'a4=()()+(==同底数幂的乘法练习题3.下面的计算对不对?如果不对，应怎样改正?(1)a2m+2可以写成().A.2am+1(2)下列式子正确的是().A.34=3×4(3)下列计算正确的是(),A.a^a4=a4(10)n+n2=n3.B.a2m+a2C.a2m*a2D.a2·am+1B.(-3)4=34C.-34=34概括可得(a。),=a(m、n为正整数).这就是说，幂的乘练习2.计算：(1)x·(x₂)3(2)(xm)n·(xn)(4)(m)x+mhomz+m·m₃·ms(5)[(a-b)n]z[(b-a)a-(6)[(a-b).]z[(b-a)n-i]2(7)(m:)x+miom一、基础练习2、计算：(1)(23)z=;(2)(—22)3=;。4、下列计算错误的是().5、在下列各式的括号内，应填入b₄的是().A.bi₂=()sB.bi₂=6、如果正方体的棱长是(1-2b)s,那么这个正方体的体积是().A.(1-2b)₆B.(1-2b)gC.(1-2b)i₂D.6(1-2b)₆二、能力提升,4、若64×8₃=2,求x的值。7、已知a=3ss,b=4a,c=5as,请把a,b,c按大小排列.8.已知：3=2,求3x2的值.3.积的乘方试一试例3计算：练习1.判断下列计算是否正确，并说明理由.(1)(3a),;(2)(-3a):;(3)(ab₂),;(4)(-2×10₃);.(3)as·a₄·a+(a₂)₄+(-2a₄)₂(5)(—2azb)₂·(-2azb₂)₃(6)[(一3mn2·mz)3]2积的乘方(1)(3ab₂)z=3a₂b₄(5)(a₃+b₂)₃=ag+b₆(6)(-2ab₂)g=-6aabsA.(xy)s=xysB.(2xy)g=6x₃ysC.(-3x2)s=27x5D.(azb)n=aznbmA.m=9,n=4B.m=3,n=4C.m=4,n=3D.m=9,n=6A.aub₃例4计算：(2)你会计算(a+b)₄÷(a+b)₂吗?练习1.填空：2.计算：习题13.11.计算(以幂的形式表示):2.计算(以幂的形式表示):4.计算(以幂的形式表示):5.计算：(3)x₂·(X₂);÷x₅;(4)(y₃)₃÷y₃÷(-y₂),.§13.2整式的乘法×10,米/秒，则卫星运行3×10,秒所走的路程约是多少?练习2.光速约为3×10,米/秒，太阳光射到地球上的时间约为5×10,秒，则地球与太阳的距离约是多少米?单项式与单项式相乘随堂练习题一、选择题1.式子x4m+1可以写成()A.(Xm+1)4B.X·X4mC.(X3m+1)mD.x4m+x2.下列计算的结果正确的是()A.(-x2)·(-x)2=x4B.x2y3·x4y3z=x8y9zC.(-4×103)·(8×10s)=-3.2×109D.(-a-b)4.(a+b)3A.-45ax5y2B.-15axsy2C.-45x5y28.先化简，再求值：9.若单项式-3a2mab₂与4a₃m+nb₅m+8n同类项，那么这两个单项式的积是多少?四、探究题2.单项式与多项式相乘试一试计算：2a,(3a,-5b).概括单项式与多项式相乘，只要将再1.计算：(1)3x,y(2xy₂-3xy);(2)2x·(3x₂-xy+y₂)①一、选择题1.计算(-3x)·(2x2-5x-1)的结果是()A.-6x2-15x2-3xB.-6x3C.-6x3+15x2D.-6x3+15x2-12.下列各题计算正确的是()A.(ab-1)(-4ab2)=-4a₂b3-4ab₂B.(3x2+xy-y2)·3x2=9xC.(-3a)(a2-2a+1)=-3a3+6a2D.(-2x)3.如果一个三角形的底边长为2xzy+xy-yz,高为6xy,则这个三角形的面积是()A.6x3yz+3x2y2-3xy3B.6x3y2+3xy4.计算x(y-z)-y(z-x)+z(x-y),结果正确的是()A.2xy-2yzB.-2yzC.xy-2yzD.2xy-xz二、填空题7.已知a+2b=0,则式子a₃+2ab(a+b)+4b3的值是10.请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题.已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.例4计算：例5计算：+3b).习题13.21.计算：2.世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米底边长230.4米，用了约2.3×10。块大石块，每块重约2.5×10,千克.请问：3.计算：(1)-3x(2x₂-x+4);(2)5/2xy:(-x₃y₂+4/5x₂y₃).4.化简：(1)x(1/2x+1)-3x(3/2x-2);(2)x₂(x-1)+2x(x₂-2x+3).13.5因式分解(1)一、基础训练A.-1-3x+4yB.1+3x-4yC.-1-3x-4yD.1-3x-4y2.多项式-6ab₂+18azbz-12a₃bzc的公因式是()A.-6abzcB.-abzC.-6ab2D.-6a3bzc3.下列用提公因式法分解因式正确的是()A.12abc-9a₂b2=3abc(4C.-a₂+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x24.下列等式从左到右的变形是因式分解的是()A.-6a₃b2=2a2b·(-3ab2)B.9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)C.ma-mb+c=m(a-b)+cD.(a+b5.下列各式从左到右的变形错误的是()A.(y-x)2=(x-y)2B.-a-b=-(a+b)6.若多项式x2-5x+m可分解为(x-3)(x-2),则m的值为()(1)3x2-6xy+X;(3)9x2(a-b)+4yz(b-a);(4)(x-2)(x-4)+1.二、能力训练9.计算54×99+45×99+99=.11.若x2-x+k是一个多项式的平方，则k的值为()B的值.13.利用整式的乘法容易知道(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb,现在的问题是：如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢?用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解.14.由一个边长为a的小正方形和两个长为a,宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD,则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式，请你写出其中任意三个等式.15.说明817-29g-913能被15整除.最低的.参考答案点拨：A中c不是公因式，B中括号内应为x2-x+2,D中括号内少项.6.C点拨：因为(x-3)(x-2)=x2-5x+6,所以m=6.7.(1)x(x+2)(x-2);(2)axy(x+y).(3)9x2(a-b)+4y2(b-a)=(a-b)(9x2-4yz)=(a-b)(3x+2(4)(x-2)(x-4)+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=(x-3)2.9.9900点拨：54×99+45×99+99=99(54+45+1)=99×100=9900.10.1点拨：∵a2+b2+5=4a-2b,所以a=·2,b=-1,(a+b)2006=(2-1)2006=1.11.A点拨：因为11.A点拨：因为.a(a+2b)-2ab=a2,a(a+2b)-a2=2ab等.点拨：将某一个矩形面积用不同形式表示出来.15.解：817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13故817-279-913能被15整除.13.5因式分解(2)2.把下列多项式进行因式分解(1)9x2-6xy+3x;(2)-10x2y-5xy2+15xy;(3)a(m-n)-b(n-m).4.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()A.(x+2)(x-2)=x2-4B.x2-2x+(3)a4-16;(4)4m2-3n(4m-3n).(1)(x+y)2-14(x+y)+49;(2)x(x-y)-y(y-x);(3)4m2-3n(4m7.用另一种方法解案例1中第(2)题.9.已知：a-b=3,b+c=-5,2.(1)原式=3x(3x-2y+1);(2)原式=-(10x2y+5xy2-15xy)=-5xy(2x+y-3);(3)原式=a(m-n)+b(m-n)=(m-n)(a+b).点拨：(1)题公因式是3x,注意第3项提出3x后，不要丢掉此项，括号内的多项式中写1;(2)题公因式是-5xy,当多项式第一项是负数时，一般提出“—”号使括号内的第一项为正数，在提出“—”号时，注意括号内的各项都变号.(2)(a+b)2-1=[(a+b)+1][(a的形式，再套用公式.(1)(2)符合平方差公式的形式，(3)(4)·符合完全平方公式的形5.(1)3mx2+6mxy+3my2(2)x4-18x2y2+81y4=(x2(3)a416=(a2)2-42=(a2+4)(a2-4)(4)4m2-3n(4m-3n)=4m2-12mn+9n2=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2=(2m-3n)2.6.(1)(x+y)2-14(x+y)+49=(x+y)2-2(2)x(x-y)-y(y-x)=x(x-y)+(3)4m2-3n(4m-3n)=4m₂-12mn+9n₂=(2m=(2m-3n)2.7.x(x-y)+y(y-x)=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=(x-y)2.8.解：(1)原式=(4a2-b2)+(6a-3b)=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3);(2)原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z).因式分解方法研究系列三、十字相乘法(关于xz+(p+q)x+pq的形式的因式分解)1、因式分解以下各式：2、因式分解以下各式：2、因式分解以下各式：计算(1)(-2a)z(3abz-5ab3)(2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)(4)(2x-3)(x+4)解不等式1-(2y+1)(y-2)>y2-(3y-1)(y+3)-11数学当堂练习(5)姓名数学当堂练习(6)姓名计算(1)(-2m-1)2姓名一.计算(1)(16x3-8x2+4x)÷(-2x)(2)二。因式分解(1)2x+4x1.在△ABC中，∠B=90°,∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c,则a、b、c的关系是()A.c2=a2+b2B.a2=(b+c)(b-c)知识点：勾股定理知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，要正确的理解勾股定理的条件和结论，要明确斜边和直角边在定理中的区别。详细解答：在△ABC中，∠B=90°,∠B的对边b是斜边，所以be=a2+c2。ax=(b+c)(b-c)可变形为be=az+c₂,所以选B1.下列说法正确的是()B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则aα+b₂=cx;B也是错的，不明确哪一边是斜边，无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方；C也是错的，既然∠A=90°,那么a边才是斜边，应该是az=c:+b₂D才是正确的，∠C=90°,那么c2=az+b:,即cz-be=az.2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸(即电视机屏幕的对角线长)是()A.9英寸(23cm)B.21英寸(54cm)C.29英寸(74cm)D.34英寸(87cm)知识点：勾股定理的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，作为三角形的边来求。如答图，四边形ABCD表示彩电屏幕，其长为58cm,即2.两只小鼹鼠在地下挖洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm,另一只朝左挖，每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距()A.50cmB.80cm如答图，一只小鼹鼠从B挖到C,BC=8cm×10=80cm,另一只小鼹鼠从B挖到A,BA=6cm×10=60cm,由题意可知两个方向互相垂直，3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是()A.1:1:√2B.1知识点：等腰直角三角形、含30°角的直角三角形知识点的描述：要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历，最好能记住三边之比。三角形三个内角的比是1:2:1,可以知道三个角分别为45°、90°、45°,3.已知△ABC中，则它的三条边之比为().A.1:1:√2B.1:√3:2c.1:√2:√3C=60°,∠B=90°,画出答图。4.直角三角形中，斜边的平方等于两直角边乘积的2倍，这个三角形的最小锐角为()(A)15°(B)30°(C)45°(D)不能确定知识点：勾股定理在数学中的应用知识点的描述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。三角形，最小锐角为45°。所以∠CAP′=∠BAP,AP′=AP,又因为∠BAC=90°,所以∠PAP'=90°,AP′=AP=3,5.如图，数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为()A.√2B.-√2知识点：认识长度为无理数的线段知识点的描述：在直角三角形中利用勾股定理，可以作出长度为无理数的线段5.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是()所以边长为无理数的边是：AB和BC6.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长是()知识点：两解问题知识点的描述：在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。详细解答：如果两直角边长分别为3和4,那么第三边就是斜边，其长度为5;如果4是斜6.△ABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,所以BC=BD+CD=9+5=14,这时周长为15+13+14=42所以BC=BD-CD=9-5=4,这时周长为15+13+4=32所以选C.7.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行()知识点：构建直角三角形、勾股定理、实际问题知识点的描述：在解决实际问题时，常常要构建直角三角形，构成勾股定理的模型，应用勾股定理解决实际问题鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD,过D点作AB的垂线，构成直角三7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断，折断处仍相连，此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险()A.没有危险B.有危险C.可能有危险D.无法判断详细解答：把实际问题转化为数学问题，如答图，AB代表原旗杆的位置，AF表示折段的旗杆，CD表示小明，如果AD小于等于AF,就有危险，反之就没有危险。过D点作AB的垂线，构成直角三角形AED。由题意知AF=5,所以AFz=25,显然AD小于AF,有危险。8.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,再由B跑到C,已知两猴子所经路程都是15m,求树高AB知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题A.10mB.11mC.12知识点：方程的思想、勾股定理的实际应用问题知识点的描述：在解决几何中的有关计算问题时，经常要用到代数中的方程，要形成用方程解决几何问题的思想意识。详细解答：设AD=x米，则AB为(10+x)米，AC为(15-x)米，BC为5米，所以树高12m。8.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐，那么河水的深度为().A.2mB.2.5mC.2.25mD.3m详细解答：画出如图所示的示意图，AB是竖直的竹竿，CB是拉向岸边的由题意知：CD=1.5m,AD=0.5m,假设河水的深度BD为xm,那么竹竿的高就是(x+0.5)m,所以CB=(x+0.5)m,直角三角形BDC中应用勾股定理得(x+0.5)2=x2+1.52,解得x=2,所以河水的深度为2m知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问題转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问題。分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°,添置AB边上的高这条辅助线，就可以得到直角三角形，在直角三角形中就可以求得一些线段的长度详细解答：作AB边的高CD,如图，在Rt△BDC中，∠B=60°,那么∠BCD=90°-60°=30°,小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗?为什么?(注意利用特殊角)9.已知：如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。四边形ABCD的面积为()。 答案：C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简，做到2√48-√12就可以了)分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下，你会有很多收获的。CC小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件，一般情况下是不能把特殊角分割的。10.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于()A.2cmB.3cmc.4cmD.5cm知识点：“折叠”问题、勾股定理的应用知识点的描述：“折叠”问题是数学中常见问题之一.解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的，尤其是原来的线段和角折叠到哪去了，理清已知和未知，找到能联系二者的直角三角形，利用勾股定理问题就迎刃而解。详细解答：假设CD=xcm,那么DE=CD=xcm,BD=(8-x)cm。因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm,在Rt△EBD中，EB=4cm,DE=xcm,BD=(8-x)cm,那么(8-x)2=x₂+42,解得x=3所以CD=3cm10.如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD,点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm,AD=10cm,详细解答：求EC的长().由折叠的过程可知.△AFE≌△ADE、AD=AF,DE=EF,在Rt△ABF中，AB=8cm,AF=10cm,BF₂=AFz-AB2=10z-8z=62,BF=6,FC=BC-BF=10-6=4cm,如果设CE=xcm,DE=(8一x)cm,所以EF=(8-x)cm.在Rt△CEF中，EF2=CFz+CE2,用这个关系建立方程：(8-x)2=4z+xz解得x=3,即CE的长为3cm.18.2勾股定理的逆定理A.2√2B.知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。详细解答：作BC边上的高AD,△ABC中，∠BAC=75°,∠C=45°,那么∠B=60°,从而∠BAD=30°或特殊三角形的三边的比求出AD=1。在Rt△ACB中，∠A=60°,那么∠B=30°。边的比求出BD=3。小结：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BCz-BD=AC²-AD2,两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。2.已知a,b,c为△ABC三边，且满足azcz-bzcz=a₄-bi,则它的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形知识点：综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难详细解答：∵æcx-becz=a-b,∴左右两边因式分解得c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)即a=b或c2=a2+b2,所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形详细解答：∵(c-b)z+|az-b²-c₂|=0,∴c-b=0且a₂-b₂-c=0即c=b且c2=a2+b2,所以三角形的形状为等腰直角三角形。3.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是()ABCD知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。满足az+b=c₂的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。详细解答：A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。3.在下列说法中是错误的()B.在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC为直角三角形.那么最大角+144kz=169k₂,cz=(13k)2=169k?,所以，az+b₂=c₂,△ABC是直角三角形.4.下列各命题的逆命题不成立的是()C.对顶角相等D.如果a=b2,那么a=b知识点：互逆命题知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设，那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。详细解答：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然这是一个假命题。4.下列命题的逆命题成立的是()(C)同角(或等角)的余角相等(D)若a=0,则ab=0详细解答：(A)的逆命题是：若|a=|b,则a=b。不一定成立，也可能a=-b(B)的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一定就相同。(D)的逆命题是：若ab=0,则a=0。不一定成立，也可能是b=0,而a≠0。5.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距()A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里南知识点：勾股定理的实际应用题知识点的描述：求距离或某个长度是很常见的实际应用题，这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题，通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中，利用勾股定理求出线段的长度，从而解决实际问题。详细解答：画出答题图，由题意知，三角形ABC是直角三角形，所以BC=40(海里)东南5.有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)要求木条不能露出木箱.请你算一算，能放入的细木条的最大长度是()A.√41cmB.√34cmC.√50cmD.5√3cm详细解答：画出如图所示的木箱图，图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度，由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cmCAA6.如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对知识点：网格问题，勾股定理和逆定理知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形详细解答：把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中，给出必须的点的名称又CB2=65,所以，AC+ABz=CB2,根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形6.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形网格，则图中四边形的面积是()7.如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求得四边形ABCD的面积.()知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC,可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.详细解答：连接AC,在Rt△ABC中，面积是()。所以AC=3又因为AC₂+AD2=32+42=25,CD2=52=25所以ACz+AD₂=CD₂所以8.已知：如图，四边形ABCD,AD//BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。详细解答：如图，作DE//AB,连结BD,可以证明△ABD≌△EDB(ASA);3、4、5勾股数，所以△DEC为直角三角形，DE⊥BC;详细解答：如图，∵AD是BC边上的中线，BC=16cmA.直角三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，且PB=1,PC=2,PA=3,求).10.已知：如图正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DCA.直角三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.等边三角形知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。所以∠BEF=90°A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE勾股定理第十八章勾股定理1.三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是()A.a:b:c=8:16:17B.az-bz=c2C.az=(b+c)(b-c)知识点：勾股定理的逆定理知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，最大的边就是斜边。满足az+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数：3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。a?+b?=64k?+256kz=320k所以，a₂+bz≠c2,这个三角形不是直角三角形.B.az-b²=c₂即az=cz+b2,这个三角形是直角三角形.C.a₂=(b+c)(b-c)即a₂=bz-c?,所以a?+c?=b2,这个三角形是直角三角形.D.a=26,b=10,c=24,那么c2+be=10+24z=676,a2=262=676,所以az=c2+b2,这个三角形是直角三角形.1.有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮他找出来，是().详细解答：如图，假设等腰三角形ABC中，AB=AC=13,中线AD=12,由于CB=10,那么CD=5,△ACD的三边是一组勾股数，所以AD是高。其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数，AD不可能是高。知识点：勾股定理在数学上的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。详细解答：在Rt△ACD中，AD=6,AC=10,那么CD=ACz-ADz=64,CD=8.2、已知平面直角坐标系中有A(1,1)和B(4,4)两点，则连结两点的线段AB的长是()详细解答：画出如图所示的示意图，构建如图所示的直角三角形，由A(1,1)和B(4,4)两点的坐标可以知道3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地，再从B地向正南方向走20米到D地，此时王英同学离C地的距离为()知识点：勾股定理在实际问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，把这条线段作为三角形的一边，利用勾股定理来求。详细解答：根据题意画出如图所示的示意图，D3.如图，一个圆桶儿，底面直径为24cm,高为32cm,则桶内能容下的最长的木棒为()A.20cmB.详细解答：画出答图如下，则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长，4.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是().口知识点：特殊三角形——含30°角的直角三角形。知识点的描述：含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形，要记住这个三角形的角与角之间的关系，也要记住这个三角形中的边和边之间的关系，这些都是中考的重点。特别要详细解答：如图，直角三角形ABC中，一个锐角∠B=60°,斜边长AB为1,那么,根据勾股定理求出所以周长4.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°,∠A=15°,CD⊥AB于D,AC边的垂直平分线交AB于E,那么AE:ED等于()详细解答：∵AC边的垂直平分线交AB于E,∴AE=CE,∴∠ACE=∠A=15°,∴∠CED=30°,5.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足az+b₂+c2+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状()。A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形知识点：代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。知识点的描述：勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。详细解答：∵az+bz+c₂+338=10a+24b+26c,∴a₂-10a+25+bz-24b+144+c₂-26c+169=0∴(a-5)z+(b-12)2+(c-13)x=0∴a=5,b=12利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。5、△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2=ab+bc+acA、等边三角形B腰底不等的等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形详细解答：∵a2+b2+c2=ab+bc+ac6.一个三角形的三边的比为5:12:13,它的周长为60cm,则它的面积是()知识点：对比值处理的一般方法。知识点的描述：当已知几个比相等的时候，我们经常采用设比值为k的方法，这样往往便于应用条件，也便于计算。详细解答：∵△ABC三条边的比为a:b:c=5:12:13,则可设a=5k,b=12k,c=13k,∵它的周长为60cm,∴5k+12k+13k=60,k=2,∴△ABC的三边分别为a=10cm,b=24cm,c=26cm,∴az+bz=c?,△ABC是直角三角形.6.在Rt△ABC中，∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为13:5,则这个三角形三边长分别是()详细解答：斜边与一条直角边之比为13:5,不妨设a=5k,c=13k,为60,∴5k+12k+13k=60,解得k=2,∴△ABC的三边分别为a=10,b=2那么b=12k,又周长知识点的描述：中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性，从而培养学生研究问题的严谨性，是学生得高分的一个难点，各市的中考题中一般都有多解问题，平常在解决问题的时候要思考再三，不要轻易的下结论，形成严谨的学习习惯和学风。(1)若高CD在△ABC的内部，如图7.若等腰三角形的腰长为4,腰上的高为2,则此三角形的顶角为()A.30°B.150°B.30°或150°D.60°或120°详细解答：本题没给出图形，作图如下，作△ABC的AC边的高BD,分两种情况讨论：∴三角形的顶角为30°或150°A.24cmB.36cm2C.48cmz知识点：代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。知识点的描述：勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。8.直角三角形中一直角边的长为11,另两边为自然数，则直角三角形的周长为()A.121B.132C.100D.不能确定详细解答：假设另一直角边为a,斜边为c,根据勾股定理得：cz=az+11?,即(c+a)(c-a)因为c+a>c-a,所以c+a=121,c-a=1解方程组得c=61,a=60,则直角三角形的周长为132。9.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处，以30千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域.A市是否会受到台风的影响?如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?()A.8小时B.10小时C.12小时D.A市不会受到台风影响知识点：勾股定理在实际问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。∴A市会受到台风影响.∴该市受台风影响的时间为：9.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?详细解答：如图，作出A点关于MN的对称点A',连接A'B短路线.由勾股定理求得A'B=√A·D2+DB2=√152+82=17(km)10.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°,AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低?最低造价是多少?()A.D点在距A点60米的地方，最低造价为480元B.D点在距A点50米的地方，最低造价为300元C.D点在距A点64米的地方，最低造价为480元D.D点在距A点64米的地方，最低造价为400元知识点：勾股定理在实际问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，只要认真的读题，理解题目的意思，是不难找到数学模型来解决问题的。那么根据勾股定理得AB=100米作AB边的高CD∴AD=√AC₂-CD2=√802-482=64(米)∴D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元.10.某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元∵这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少需要150a元A.47B.49知识点：转化的数学思想、勾股定理知识点的描述：在解决有关求面积问题时，常通过添加辅助线，把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。详细解答：连结AC,在Rt△ABC中，AB=8,BC=6,∠B=90°小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之和。详细解答：∵AC=10,DC=2,∴AD=8A.√5知识点：方程的思想知识点的描述：在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。详细解答：∵AD=2BD,∴可设BD=k,AD=2k12.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为()解得x=6三角形的面积C.14cm;D.无法确定.知识点：勾股定理在实际问题中的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在实际问题中经常要求距离或长度等等，解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题，求一条线段的长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。详细解答：将圆柱沿过点A的母线展开，画出如图所示的圆柱的侧面展开图，蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路径就是图中的线段AB,13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源.为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10:00时甲、乙二人还能保持联系吗?()A.能B.不能分析：要求甲、乙两人的距离，就要确定甲、乙两人在平面的位置关系，由于甲往东、乙往北，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲、乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲、乙两人的距离.详细解答：如图，甲从上午8:00到上午10:00一共走了2小时，走了12千米，即OA=12(千米).乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB=5(千米).在Rt△OAB中，AB2=122十52=169,∴AB=13(千米),因此，上午10:00时，甲、乙两人相距13千米.∴甲、乙两人还能保持联系.知识点：勾股定理在数学上的应用知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是：把这条线段放在一个直角三角形中，利用勾股定理。因此一般要添加辅助线，构建直角三角形。14、如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6,BC=8,则阴影面积为(知识点：代数思想和方法在几何中的应用，代数与几何的结合。知识点的描述：勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质，因此经常要结合代数的内容来解决问题，代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。假设AC=b,BC=a化简为4bz+a?=160,化简为4a?+bz=100.两式相加得4b2+a₂+4a₂+bz=160+100,即5(a₂+b2)=260,B、5口又已知AB=1,所以;,16、如图，△ABC中，∠C=90o,AC=的垂直平分线交AB于E,交BC于D,则BD知识点：方程的思想和折叠问题知识点的描述：在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多，还要特别注意利用相等的线段。详细解答：连结AD,△ABC中，∠C=900,AC=3,BC=4,那么AB=5∵AB的垂直平分线交AB于E,∴AD=BD假设BD为x,那么AD=x,DC=4-x,16.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为()A.6cm2B.8cm2在Rt△ABE中，32+x2=(9-x)2,解得x=4△ABE的面积17.如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点，且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长.()知识点的描述：在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时，往往要利用方程来解决问题。17.如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?()分析：为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述“子问题”:(1)△ABC是什么类型的三角形?(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少?(3)走私艇C最早会在什么时间进入?这样问题就可迎刃而解.又∵MN⊥CE,∴走私艇C进入我领海的最近距离是CE,则CE₂+BE=144,(13-CE)z+BE₂=25,得26CE=288,0.85×60=51(分),9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.18.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA,PB,PC,A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形知识点：综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法值为k、方程的思想、勾股定理以及逆定理，还有代数中的一些变形技巧都可能用到，要综合利用。由PA:PB:PC=3:4:5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a连结PQ,在△PBQ中，由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形CC解得x=5所以△PCQ是直角三角形15.1.1图形的平移◆随堂检测1、下列几种运动属于平移的是()(1)水平运输带上的砖的运动；(2)啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动；(3)升降机上下做机械运动；(4)足球场上足球的运动A.一种B.两种C.三种2、下列图形中，由原图平移得到的图形是()原图3、在如图所示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是()FB①线段AC的对应线段是BE;②点B的对应点是点C;③点B的对应点是点F;④平移的5、卷帘门上有A、B两点，(B点在A点下方)当A点向上移1m,那么B点向_移动了 △ABC平移后得到△DEF,如图所示，若∠A=80o,∠E=60,你知道∠C的度数吗?说明理由。◆课下作业1、火车在笔直的铁路上开动，火车头以100千米/时的速度前进了半小时，则车尾走的路程A、100千米B、50千米C、200千米D、无法计算2、将线段AB平移1cm,得到的线段是AB,则A到点A的距离是等边三角形，其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到，则平移的方向是,平移的距离为。CD4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到，你能作出△ABC吗?EC1、(2009年广东广州)将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是()2、(2009年青海)如图，请借助直尺按要求画图：(1)平移方格纸中左下角的图形，使点P平移到点1(2)将点P平移到点,并画出将原图放大为两倍的图形.15.1.2平移的特征1、在下面的六幅图案中，平移(1)可得到(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案?2、在下列说法中，①四边形在平移过程中，对应线段一定相等；②四边形在平移过程中，其中正确的是：()4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印(填能或不能)通过平移与右手手印完全重合。◆典例分析如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°,BC=4,AC=4