四省名校2024届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

四省名校2024届高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（）A． B．C． D．3．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万8.38.69.911.112.1支出万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元4．设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1,f(2)=,则()A．a< B．a<且a≠1 C．a>且a<-1 D．-1<a<5．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l//m，l//n，则m//nB．若l⊥m，l⊥n，则m//nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//lD．若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面6．独立性检验中，假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得的观测值.下列结论正确的是A．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关7．若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）A．和 B．和 C． D．8．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．设X～N(1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为()(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A．6038 B．6587 C．7028 D．753910．下列命题:①在一个列联表中,由计算得,则有的把握确认这两类指标间有关联②若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是③随机变量服从正态分布,则④若正数满足，则的最小值为其中正确命题的序号为()A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④11．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A． B．C． D．与大小关系不确定12．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量的分布列为为常数，则______14．平面直角坐标系中，若点经过伸缩变换后的点Q，则极坐标系中，极坐标与Q的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于__．15．若变量、满足约束条件，则的最大值为__________．16．记为虚数集，设，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由，类比得②由，类比得③由，类比得④由，类比得三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答）(Ⅰ)甲得2本；(Ⅱ)每人2本；(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．18．（12分）设函数.(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求证:，并求等号成立的条件.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.20．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.21．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.22．（10分）在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项．【题目详解】选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D正确，由，便得，又，，即.故选：D.【题目点拨】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明，属于基础题.2、A【解题分析】

先由题意得到方程的两复数根为，(为虚数单位)，求出，，根据选项，即可得出结果.【题目详解】因为方程的根在复平面内对应的点是，可设根为：，(为虚数单位)，所以方程必有另一根，又，，根据选项可得，该方程为.故选A【题目点拨】本题主要考查复数的方程，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.3、A【解题分析】

由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．【题目详解】，．又，∴．∴．取，得万元，故选A．【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．4、D【解题分析】

先利用函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范围．【题目详解】因为函数f（x）是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因为f（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1⇒＜0

解可得-1＜a＜．

故选：D．【题目点拨】本题主要考查了函数的周期性，以及函数奇偶性的性质和分式不等式的解法，属于基础题．5、A【解题分析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．6、A【解题分析】

先找到的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论。【题目详解】，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关，故选：A。【题目点拨】本题考查独立性检验，根据临界值表找出犯错误的概率是解这类问题的关键，考查运算求解能力，属于基础题。7、A【解题分析】由得函数一条对称轴为,因此,由得,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴8、C【解题分析】

求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【题目详解】根据题意，得，若有最小值，即在上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.【题目点拨】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.9、B【解题分析】分析：求出，即可得出结论.详解：由题意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X＜3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.3413，故估计的个数为10000×(1－0.3413)＝6587，故选：B.点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性.10、B【解题分析】

根据可知①正确；代入可求得，利用展开式通项，可知时，为含的项，代入可求得系数为，②错误；根据正态分布曲线的对称性可知③正确；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正确.【题目详解】①，则有的把握确认这两类指标间有关联，①正确；②令，则所有项的系数和为：，解得：则其展开式通项为：当，即时，可得系数为：，②错误；③由正态分布可知其正态分布曲线对称轴为，③正确；④，，（当且仅当，即时取等号），④正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到独立性检验的基本思想、二项展开式各项系数和与指定项系数的求解、正态分布曲线的应用、利用基本不等式求解和的最小值问题.11、B【解题分析】

通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.【题目详解】构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.故选B.【题目点拨】本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.12、B【解题分析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．【题目详解】随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）===．故答案为．【题目点拨】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．14、3.【解题分析】

由点P的直角坐标求出伸缩变换后的点Q的坐标，将点Q的坐标看作极坐标，根据极坐标的性质距离为，将极坐标代入即可求出距离【题目详解】点P经伸缩变换后，点Q的坐标为，将点Q看作极坐标，则距离为.【题目点拨】本题考查点的伸缩变换以及极坐标的性质，注意题目中给出的点P的坐标为直角坐标，不要看错题目，并且注意距离为正数，要有绝对值.15、8【解题分析】

首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.【题目详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，其最大值为：.【题目点拨】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.16、③【解题分析】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．详解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1∉I，故①不正确；B：由a2≥1，不能类比得x2≥1．如x=i，则x2＜1，故②不正确；C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正确；D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞1，但x，y是两个虚数，不能比较大小．故④错误故4个结论中，C是正确的．故答案为：③．点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种【解题分析】

（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；【题目详解】（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，有C62＝15种选法，②，将剩下的4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，则甲得2本的分法有15×16＝240种；（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，有15种分组方法，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A33＝6种情况，则有15×6＝90种分法；（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C64×C31＝45种分法，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A22＝2种情况，则有45×2＝90种分法．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．18、(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解题分析】

(Ⅰ)利用零点分类法，进行分类讨论，求出不等式的解集；(Ⅱ)法一：，当且仅当时取等号，再根据三角绝对值不等式，可以证明出，当且仅当时取等号，最后可以证明出，以及等号成立的条件；法二：利用零点法把函数解析式写成分段函数形式，求出函数的单调性，最后求出函数的最小值，以及此时的的值.【题目详解】解:(Ⅰ)当时，，解得当时，，解得当时，，无实数解原不等式的解集为(Ⅱ)证明:法一:，当且仅当时取等号又，当且仅当时取等号，等号成立的条件是法二:在上单调递减，在上单调递增，等号成立的条件是【题目点拨】本题考查了绝对值不等式的解法以及证明绝对值不等式，利用零点法，分类讨论是解题的关键.19、（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.【解题分析】

（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【题目详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.（2）由题可知，所以直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设，两点所对应的参数分别为，，则，..