2024届山西省大学附属中学高二数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届山西省大学附属中学高二数学第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e2．设随机变量ξ～N（μ，σ2），函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（）A．1 B．4 C．2 D．不能确定3．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为()A． B． C． D．4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A． B． C． D．5．在区间[-1,4]内取一个数x,则≥的概率是（）A． B． C． D．6．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A． B．C． D．7．已知双曲线的离心率为，则m=A．4 B．2 C． D．18．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（）A． B． C． D．9．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A． B． C． D．10．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A． B． C． D．11．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．若随机变量服从正态分布，则（）附：随机变量，则有如下数据：，，.A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方），与交于点，则周长的取值范围是____________14．高一、高二、高三三个年级共有学生1500人，其中高一共有学生600人，现用分层抽样的方法抽取30人作为样本，则应抽取高一学生数为_______．15．已知X的分布列为X－101Pa设，则E(Y)的值为________16．设圆锥的高是，母线长是，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若点，在曲线上，求的值.19．（12分）在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．20．（12分）在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：（1）圆C的直角坐标方程；（2）圆C的极坐标方程．21．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，统计结果如下表所示，已知这100位顾客中一次购物量超过7件的顾客占.一次购物量1至3件4至7件8至11件12至15件16件及以上顾客数（人）272010结算时间（/人）0.511.522.5（1）确定，的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；（2）从收集的结算时间不超过的顾客中，按分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人的结算时间为的概率.（注：将频率视为概率）22．（10分）已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；（1）当时，求的面积；（2）当时，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【题目详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．2、B【解题分析】试题分析：由题中条件：“函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点，即二次方程x2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4，∵函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，∴P（ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4，故选B．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3、A【解题分析】

依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【题目详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A.【题目点拨】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为.4、C【解题分析】

根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【题目详解】A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C．在其定义域上既是奇函数又是增函数；D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C．【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．5、D【解题分析】

先解不等式，确定解集的范围，然后根据几何概型中的长度模型计算概率.【题目详解】因为，所以，解得，所以.【题目点拨】几何概型中长度模型（区间长度）的概率计算：.6、A【解题分析】

根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【题目详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【题目点拨】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．7、B【解题分析】

根据离心率公式计算．【题目详解】由题意，∴，解得．故选B．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．8、B【解题分析】

记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.【题目详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球事件第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件发生所包含的基本事件数事件发生所包含的基本事件数所以故选：B【题目点拨】本题考查的是条件概率，较简单.9、D【解题分析】

设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【题目详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故选D.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．.10、D【解题分析】

求得函数的导数，然后令，求得的值.【题目详解】依题意，令得，，故选D.【题目点拨】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.11、D【解题分析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12、B【解题分析】

先将、用、表示，然后利用题中的概率求出的值.【题目详解】由题意可知，，则，，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查利用正态分布原则求概率，解题时要将相应的数用和加以表示，并利用正态曲线的对称性列式求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围。【题目详解】如下图所示：抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，则的周长，当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；当直线过点时，则点、、三点共线，则。由于、、不能共线，则，所以，，即，因此，的周长的取值范围是，故答案为：。【题目点拨】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题。14、12【解题分析】

由题得高一学生数为，计算即得解.【题目详解】由题得高一学生数为.故答案为：12【题目点拨】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解题分析】

先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．【题目详解】由随机分布列的性质可得，得，，因此，.故答案为.【题目点拨】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．16、1【解题分析】

求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于，用表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值．【题目详解】解：∵圆锥的高是，母线长是，

∴底面半径，设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E，

设，则，，∴截面SCD的面积，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）3600（2）576（3）1440【解题分析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2)根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.18、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）将，代入，得再利用同角三角函数关系消去参数得.由题意可设圆的方程，将点代入可得，即得的方程为，（2）先将直角坐标方程化为极坐标方程：，再将点，代入解得，最后计算的值．试题解析：解：（Ⅰ）将及对应的参数，代入，得即∴曲线的方程为（为参数），或.设圆的半径为，由题意，圆的方程，（或）．将点代入，得，即，所以曲线的方程为或．（Ⅱ）因为点，在曲线上，所以，，所以．19、（1）第3项的系数为24＝240.（2）含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.【解题分析】试题分析：(1)根据二项展开式的通项，即可求解第项的二项式系数及系数；（2）由二项展开式的痛项，可得当时，即可得到含的系数.试题解析：(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.20、（1）．（2）．【解题分析】试题分析：利用消去参数可得圆的直角坐标方程，再利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程.试题解析：（1）圆的直角坐标方程为．5分（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为．10分考点：参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程的互化.21、（1），，；（2）【解题分析】

（1）由条件可得，从而可求出，的值，再计算顾客一次购物的结算时间的平均值

（2）结算时间不超过的顾客有45人，则按分层抽样抽取5人，从结算时间为的人中抽取2人，从结算时间为的人中抽取3人，列举出基本事件数，再列举出至少有1人结算时间为所包含基本事件数，用古典概率可求解.【题目详解】解：（1）由已知得，∴，，∴.该超市所有顾客一次购物的