全国一卷五省优创名校2024届数学高二下期末调研试题含解析

全国一卷五省优创名校2024届数学高二下期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A． B．15 C．30 D．2．设a=e1eA．a>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a>b>c3．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．命题：的否定为（）A． B．C． D．5．已知随机变量，若，则的值为()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.46．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．67．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩服从正态分布，已知，则成绩高于570的学生人数约为（）A．1200 B．2400 C．3000 D．15008．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．9．下列等式中，错误的是（）A． B．C． D．10．若角的终边上有一点，则的值是（）A． B． C． D．11．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知定义在R上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若双曲线的渐近线方程为y=±x，则满足条件的一个双曲线的方程为____________14．在极坐标系中，直线与曲线交于两点，则______.15．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种16．设向量a,b,c满足,,,若,则的值是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,,,,,分别是,的中点.（1）证明:;（2）求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B其离心率，点M为椭圆上的一个动点，面积的最大值是求椭圆C的方程；若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当时，求点P的坐标．19．（12分）如图，已知海岛与海岸公路的距离为，，间的距离为，从到，需先乘船至海岸公路上的登陆点，船速为，再乘汽车至，车速为，设.（1）用表示从海岛到所用的时间，并指明的取值范围；（2）登陆点应选在何处，能使从到所用的时间最少？20．（12分）已知函数.若是的极值点.(1)求在上的最小值；(2)若不等式对任意都成立,其中为整数,为的函数,求的最大值.21．（12分）2016年10月16日，在印度果阿出席金砖国家领导人第八次会议时，发表了题为《坚定信心，共谋发展》的重要讲话，引起世界各国的关注，为了了解关注程度，某机构选取“70后”和“80后”两个年龄段作为调查对象，进行了问卷调查，共调查了120名“80后”，80名“70后”，其中调查的“80后”有40名不关注，其余的全部关注；调查的“70”后有10人不关注，其余的全部关注.（1）根据以上数据完成下列2×2列联表：关注不关注合计“80后”“70后”合计（2）根据2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“关注与年龄段有关”？请说明理由。参考公式：K2=（n=a+b+c+d）附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）某企业有、两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表：岗位岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投岗位的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0250.0103.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．2、B【解题分析】

依据y=lnx的单调性即可得出【题目详解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【题目点拨】本题主要考查利用函数的单调性比较大小。3、C【解题分析】

求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【题目详解】根据题意，得，若有最小值，即在上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.【题目点拨】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.4、C【解题分析】分析：由题意，对特称命题进行否定即可确定.详解：特称命题的否定为全称命题，结合题中命题可知：命题：的否定为.本题选择C选项.点睛：对含有存在(全称)量词的命题进行否定需两步操作：(1)将存在(全称)量词改写成全称(存在)量词；(2)将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．5、D【解题分析】

根据题意随机变量可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案．【题目详解】根据正态分布可知，故．故答案选D．【题目点拨】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率．6、C【解题分析】

由又，可得公差，从而可得结果.【题目详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.7、A【解题分析】

根据正态分布的对称性，求得的值，进而求得高于的学生人数的估计值.【题目详解】，则成绩高于570的学生人数约为.故选A.【题目点拨】本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.8、B【解题分析】

先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法，可得.【题目详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.故选B.【题目点拨】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.9、C【解题分析】分析：计算每一选项的左右两边，检查它们是否相等.详解：通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,,所以选项C是错误的.故答案为C.点睛：本题主要考查排列组合数的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本计算能力.10、A【解题分析】

由题意利用任意角的三角函数的定义，求出的值.【题目详解】解：若角的终边上有一点，则

，

∴.

故选：A.【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.11、C【解题分析】

函数关于轴对称的解析式为，则它与在有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象得到.【题目详解】函数关于轴对称的解析式为，函数，两个函数的图象如图所示：若过点时，得，但此时两函数图象的交点在轴上，所以要保证在轴的正半轴，两函数图象有交点，则的图象向右平移均存在交点，所以，故选C.【题目点拨】本题综合考查函数的性质及图象的平移问题，注意利用数形结合思想进行问题求解，能减少运算量.12、B【解题分析】试题分析：当时，，，∴函数在上为增函数，∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴，∴，即．考点：函数的单调性、奇偶性、解不等式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、=1（答案不唯一）【解题分析】

由双曲线标准方程与渐近线方程的关系可得．【题目详解】渐近线方程为y=±x的双曲线方程为，则就是其中之一．故答案为．【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质：渐近线，与双曲线共渐近线的双曲线方程为，此方程对焦点没有要求，即焦点可在轴上，也可在轴上．14、【解题分析】

把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心在直线上可得．【题目详解】直线化为直线圆化为，配方为，可得圆心，半径．则圆心在直线上，故答案为：．【题目点拨】本题考查极坐标方程和普通方程的互化、圆的弦长公式计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15、15【解题分析】

将编号为的三个盒子中分别放入个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果.【题目详解】编号为的三个盒子中分别放入个小球，则还剩个小球则问题可变为求个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数由隔板法可知共有：种方法本题正确结果：【题目点拨】本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.16、4【解题分析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)【解题分析】

(1)建立空间直角坐标系,设,从而确定与的坐标,通过求二者的数量积证明.(2)结合第一问,计算出直线的方向向量和平面的法向量,结合线面角余弦值和诱导公式即可求直线与平面所成角的正弦值.【题目详解】(1)证明:在底面内作,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系,不妨设则,,,由可求得的坐标为利用中点坐标公式可求出,即(2)解:由第一问可知:.设平面的法向量为则,不妨设则,此时设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查了空间几何中的线线垂直的判定,考查了线面角的求解问题.解答此类问题时,一般情况下根据题意建立适当的空间坐标系,根据已知的垂直、平行、数量关系等条件,求出点的坐标,进而求出方向向量、法向量的坐标.易错点在于对于直线和平面所成角的问题中,不少同学错把求得的直线方向向量和平面法向量的夹角认为是所求角.18、（1）（2）当时，，当时，【解题分析】

（1）由题意可知解方程即可得解；（2）设直线的方程为，，由直线与椭圆联立得，由根与系数的关系可得，从而得中点的坐标，进而得的垂直平分线方程，令x=0可得，再由，用坐标表示即可解.【题目详解】（1）由题意可知解得，，所以椭圆方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为，，把代入椭圆方程，整理得，所以，则，所以中点的坐标为，则直线的垂直平分线方程为，得又，即，化简得，解得故当时，，当时，.【题目点拨】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，用到了向量问题坐标化，坐标通过设而不求的方程灵活处理，考查了学生的运算能力，属于中档题.19、（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.【解题分析】

求出AD，CD，从而可得出的解析式；

利用导数判断函数单调性，根据单调性得出最小值对应的夹角.【题目详解】（1）在中，∵，，∴，，∴，∴，即.∵，∴，∴(若写成开区间不扣分).（2），，当时，，当时，，所以时，取最小值，即从海岛到的时间最少，此时.答：（1），.（2）登陆点与的距离为时，从海岛到的时间最少.【题目点拨】本题考查了解三角形的应用和正弦定理的应用，考查了利用导数求函数最值，属中档题．20、（1）2；（2）2.【解题分析】分析：（1）求出函数的导数，求出a的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；（2）问题转化为，令，，根据函数的单调性求出k的范围即可.详解：（1），由是的极值点，得，.易知在上单调递减，在上单调递增，所有当时，在上取得最小值2.(2)由(1)知，此时，，令，，，令，，在单调递增，且，，在时，，，由，，又，且，所以的最大值为2.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.21、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】试题分析：（1）根据题设中的数据，即可填写的列联表；（2）利用独立性检验的公