2024届黑龙江青冈县一中数学高二第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届黑龙江青冈县一中数学高二第二学期期末检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．复数,则对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，，，，按此规律一直运动下去，则（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10093．若，则的值为（）A． B． C． D．4．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为A． B． C． D．5．下列5个命题中：①平行于同一直线的两条不同的直线平行；②平行于同一平面的两条不同的直线平行；③若直线与平面没有公共点，则；④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；⑤若，则过的任意平面与的交线都平行于.其中真命题的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．56．若函数为奇函数，且在上为减函数，则的一个值为（）A． B． C． D．7．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（）A． B．C． D．8．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2)，则实数a的值为A．5 B．3 C．53 D．9．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数),若，，,则的大小关系是（）A． B． C． D．10．函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C． D．11．已知偶函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．12．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设为实数时，实数的值是__________．14．函数y=3sin(2x+π15．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张，则抽到的牌中至少有1张红心的概率是_________．16．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为13，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若，求证：．18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，是的中点，是的中点.(1)求此四棱锥的体积；(2)求证：平面；(3)求证：平面平面．19．（12分）已知,,设,且,求复数,.20．（12分）已知向量m=(3sin（1）若m⋅n=1（2）记f(x)=m⋅n在ΔABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(2a-c)21．（12分）在新高考改革中，打破文理分科的“（选）”模式：我省实施“”，“”代表语文、数学、外语门高考必考科目，“”是物理、历史两科选一科，这里称之为主选，“”是化学、生物、政治、地理四科选两科，这里称为辅选，其中每位同学选哪科互不影响且等可能.（Ⅰ）甲、乙两同学主选和辅选的科目都相同的概率；（Ⅱ）有一个人的学习小组，主选科目是物理，问：这人中辅选生物的人数是一个随机变量，求的分布列及期望.22．（10分）已知数列的前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

先求得的共轭复数，由此判断出其对应点所在象限.【题目详解】依题意，对应点为，在第一象限，故选A.【题目点拨】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数对应点所在象限，属于基础题.2、D【解题分析】

分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.详解：由直角坐标系可知，，即，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的项数除以2，则，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，，故选D.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3、A【解题分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2选A4、C【解题分析】

根据椭圆对称性可证得四边形为平行四边形，根据椭圆定义可求得；利用点到直线距离构造不等式可求得，根据可求得的范围，进而得到离心率的范围.【题目详解】设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示：由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则又四边形为平行四边形又，解得：点到直线距离：，解得：，即本题正确选项：【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆的定义、点到直线距离公式的应用等知识.5、C【解题分析】

根据平行公理判定①的真假；根据线线位置关系，判定②的真假；根据线面平行的概念，判定③的真假；根据面面平行的性质，判断④的真假；根据线面平行的性质，判断⑤的真假.【题目详解】对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确；对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误；对于③，根据线面平行的概念，若直线与平面没有公共点，所以，③正确；对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确；对于⑤，根据线面平行的性质，若，则过的任意平面与的交线都平行于，⑤正确.故选：C【题目点拨】本题主要考查线面关系、面面关系相关命题的判定，熟记平面的性质，平行公理，线面位置关系，面面位置关系即可，属于常考题型.6、D【解题分析】由题意得，∵函数为奇函数，∴，故．当时，，在上为增函数，不合题意．当时，，在上为减函数，符合题意．选D．7、B【解题分析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1－p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1－p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.8、D【解题分析】

根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，求解即可得出结果.【题目详解】因为随机变量ξ服从正态分布N3,4，P根据正态分布的特征，可得2a-3+a+2=6，解得a=7故选D【题目点拨】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.9、A【解题分析】

由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y=xf（x）单调递减．由此能求出结果．【题目详解】∵函数的图象关于直线对称，∴关于轴对称，∴函数为奇函数.因为，∴当时，，函数单调递减，当时，函数单调递减.，，，，故选A【题目点拨】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等10、D【解题分析】

利用奇函数的性质求出的值.【题目详解】由题得，故答案为：D【题目点拨】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).11、B【解题分析】

因为函数是偶函数，所以，那么不等式转化为，利用单调性，解不等式.【题目详解】函数是偶函数，在单调递减，，即.故选B.【题目点拨】本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式转化不等式，利用的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想.12、A【解题分析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.详解：令，因为，所以因此解集为，选A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

设为实数，，可得或又因为，故答案为.14、π【解题分析】

∵函数y=sinx的周期为∴函数y=3sin(2x+π故答案为π.15、【解题分析】

先由题意，求出“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率，再根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【题目详解】由题意，从5张扑克牌中，任意抽取2张，所包含的基本事件的个数为：；“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”只有一种情况；则“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率为：；因此，抽到的牌中至少有1张红心的概率是.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查对立事件概率的相关计算，以及古典概型的概率计算，属于基础题型.16、1【解题分析】

在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线,找到使直线在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出的值.【题目详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线,∵，所以当直线经过点时,直线在纵轴上的截距最大,解方程组：,把点的坐标,代入目标函数中，,解得.故答案为：1【题目点拨】本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解题分析】

引入函数，展开，其中，，是整数，，注意说明的唯一性，这样有，，然后计算即可.【题目详解】证明：因为，所以，由题意，首先证明对于固定的，满足条件的是唯一的．假设，则，而，矛盾。所以满足条件的是唯一的．下面我们求及的值：因为，显然．又因为，故，即．所以令，，则，，又，所以．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，解题关键是引入函数，展开，其中，，是整数，，于是可表示出.本题有一定的难度.18、（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解题分析】

(1)由题意，根据棱锥的体积，即求解该四棱锥的体积；(2)在上取中点为，连接和，证得，利用线面平行的判定定理，即可求解.(3)∵，，得到平面，进而得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面⊥平面．【题目详解】(1)四棱锥的体积.(2)证明：在上取中点为，连接和，则易得，且，且故四边形为平行四边形，故，又面，面故面.(3)证明：∵，，又，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．∴平面．又面，∴平面⊥平面．【题目点拨】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．19、【解题分析】

明确复数,的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数，从而用表示出，接下来根据复数相等的充要条件列出关于的方程组求解，即可得出,.【题目详解】∵.∴.又∵∴∴∴∴【题目点拨】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.20、（1）-（2）(1,【解题分析】试题分析：(1)∵m·n＝1，即3sinx4cosx4＋cos2即32sinx2＋12cosx∴sin(x2＋π6)＝∴cos(2π3－x)＝cos(x－π3)＝－cos(x＋π3)＝－[1－2sin2(＝2·(12)2－1＝－1(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝12，B＝π3，∴0＜A＜∴π6＜A2＋π6＜π212又∵f(x)＝m·n＝sin(x2＋π6)＋∴f(A)＝sin(x4＋π6)＋故函数f(A)的取值范围是(1，32考点：本题综合考查了向量、三角函数及正余弦定理点评：三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（I）甲、乙两同学主选科目相同的概率，辅选科目相同的概率，再由分步计数原理的答案．（Ⅱ）每位同学辅选生物的概率为，且的所有可能取值为，，，，，．再分别计算出其概率，列表即可得出分布列，再求其期望．【题目详解】解：（I）设事件为“甲、乙两同学主选和辅选都相同.”则，即甲、乙两同学主选和辅选都相同的概率