江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

江苏省苏州市相城区南京师范大学苏州实验学校2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.4,则本次比赛甲获胜的概率是（）A．0.216 B．0.36 C．0.352 D．0.6482．设是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．某科研机构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表所示：有心脏病无心脏病秃发20300不秃发5450根据表中数据得，由断定秃发与患有心脏病有关，那么这种判断出错的可能性为（）附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．0.1 B．0.05C．0.01 D．0.0014．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，且，则（）A．2 B．1 C． D．5．函数（且）的图象可能为（）A． B． C． D．6．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．7．复数（是虚数单位）的虚部是（）A.B.C.－D.－8．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱9．如图，在平面直角坐标系中，质点间隔3分钟先后从点，绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，则与的纵坐标之差第4次达到最大值时，运动的时间为（）A．37.5分钟 B．40.5分钟 C．49.5分钟 D．52.5分钟10．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有()种.A．36 B．30 C．12 D．611．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．196312．命题若，则，是的逆命题，则（）A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则的最小值为________.14．若的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中的系数为______.（用数字填写答案）15．已知函数只有一个零点，则__________．16．已知函数，则函数的最大值为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）求曲线，，所围成图形的面积．18．（12分）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．19．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.20．（12分）在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（为参数）．（1）求圆和直线l的极坐标方程；（2）点的极坐标为，直线l与圆相交于A，B，求的值．21．（12分）已知函数．（1）求的单调区间和极值；（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值．22．（10分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.天数12345678910空气质量指数天数11121314151617181920空气质量指数(1)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先列举出甲获胜的情况，再利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率。【题目详解】记事件A:甲获胜，则事件A包含：①比赛两局，这两局甲赢；②比赛三局，前两局甲、乙各赢一局，第三局甲赢。由独立事件的概率乘法公式得PA故选：C.【题目点拨】本题考查独立事件的概率乘法公式的应用，解题前先要弄清事件所包含的基本情况，并逐一列举出来，并结合概率的乘法公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。2、C【解题分析】

先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，D选项，故D错，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.3、D【解题分析】

根据观测值K2，对照临界值得出结论．【题目详解】由题意，，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为.故选D．【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，理解临界值表格是关键，是基础题．4、C【解题分析】

根据题意，结合函数的奇偶性与对称性可得函数f（x）是周期为8的周期函数，由函数的奇偶性可得f（﹣2）＝8，结合函数的解析式求出a的值，进而求出f（﹣1）的值，进而结合函数的奇偶性与对称性分析可得答案．【题目详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），若函数f（x）满足f（x+2）＝f（2﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+4），则有f（x+4）＝﹣f（x），变形可得f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝﹣8，则f（﹣2）＝8，若当﹣2≤x＜0时，f（x）＝ax﹣1（a＞0），且f（﹣2）＝a﹣2﹣1＝8，解可得a，则f（﹣1）＝（）﹣1﹣1＝2，则f（1）＝﹣2，又由函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（2019）＝f（3+2016）＝f（3）＝f（1）＝﹣2；故选：C．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性，属于中档题．5、D【解题分析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.6、A【解题分析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【题目详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、C【解题分析】试题分析：，虚部为。考点：复数的运算。8、D【解题分析】

试题分析：球的三视图都是圆，如果是同一点出发的三条侧棱两两垂直，并且长度相等的三棱锥（一条侧棱与底面垂直时）的三视图是全等的等腰直角三角形，正方体的三视图可以都是正方形，但圆柱的三视图中有两个视图是矩形，有一个是圆，所以圆柱不满足条件，故选D.考点：三视图9、A【解题分析】

分析：由题意可得：yN=，yM=，计算yM﹣yN=sin，即可得出．详解：由题意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时，N运动的时间=1×12+=17.5（分钟）．故选A．点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的点坐标和这一点的旋转角之间的关系.10、A【解题分析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有种.本题选择A选项.11、D【解题分析】,故最后一个样本编号为,故选D.12、C【解题分析】由题意，，所以，得，所以命题为假命题，又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

，利用基本不等式求解即可．【题目详解】解：，当且仅当，即时取等号。故答案为：1．【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用，关键要变形凑出积为定值的形式，属基础题．14、11【解题分析】

先利用赋值法求得，再结合二项式展开式通项公式求解即可.【题目详解】解：令，得，则，故该展开式中的项的系数为，故答案为：11.【题目点拨】本题考查了二项式展开式系数之和，重点考查了展开式的项系数，属基础题.15、-3【解题分析】

先判断函数的奇偶性，再由题得,化简即得m的值.【题目详解】因为，所以函数为偶函数，因为函数只有一个零点，故，所以.故答案为：-3.【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性的判断和函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.16、0【解题分析】

求出函数的导函数，然后利用导数的性质求出函数的最大值.【题目详解】解：由，得，因为，所以，所以在上单调递减，所以的最大值为故答案：0【题目点拨】此题考查函数在闭区间上的最大值的求法，考查导数性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、平面图形的面积【解题分析】

分析：先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可；详解：由曲线，，可得的横坐标为1，由，可得的横坐标为1．∴所求面积为点睛：本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定积分区间与被积函数，属于中档题．18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）先证平面CMD,得,再证，进而完成证明．（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值．【题目详解】解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.由题设得，设是平面MAB的法向量,则即可取.是平面MCD的法向量,因此，，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.【题目点拨】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题．19、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值.【题目详解】（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，解得.又，且当时等号成立，所以长度的最小值为【题目点拨】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.20、（1）圆的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）．【解题分析】

（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．【题目详解】（1）圆的直角坐标方程为：，把代入圆得：化简得圆的极坐标方程为：由（为参数），得，的极坐标方程为：.（2）由点的极坐标为得点的直角坐标为，∴直线的参数方程可写成：（为参数）．代入圆得：化简得：，∴，，∴．【题目点拨】本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．一般t的绝对值表示