广东省遂溪县第一中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

广东省遂溪县第一中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，若>恒成立，则实数m的取值范围是A．或 B．或C． D．2．己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为A．25 B．50 C．125 D．2503．已知分别为内角的对边，且成等比数列，且，则=（）A． B． C． D．4．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为.某检验员从该生产线上随机抽检个零件，设其中优等品零件的个数为.若，，则（）A． B． C． D．5．下列四个命题中，其中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；③球的面积是它大圆面积的四倍；④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长．A．0 B．1 C．2 D．36．曲线的极坐标方程化为直角坐标为（）A． B．C． D．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支与焦点为FA．y=±22x B．y=±28．已知数列，则是这个数列的（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项9．已知，且.则展开式中的系数为（）A．12 B．-12 C．4 D．-410．已知集合，，下列结论成立的是A． B． C． D．11．若对于实数x，y有1-x⩽2,y+1⩽1A．5 B．6 C．7 D．812．已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数在点处切线方程为，则=______.14．设函数是定义在上的周期为2的偶函数，当，时，，则____．15．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.1．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．16．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(Ⅰ)证明：；(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.18．（12分）在中，三个内角的对边分别为．（1）若是的等差中项，是的等比中项，求证：为等边三角形；（2）若为锐角三角形，求证：．19．（12分）已知矩阵A＝，向量．（1）求A的特征值、和特征向量、；（2）求A5的值．20．（12分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算，的值；（2）若规定考试成绩在为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（3）若规定考试成绩在内为优秀，由以上统计数据填写下面列联表，若按是否优秀来判断，是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：，.21．（12分）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为和O，正方形ABCD内接于下底面圆O，与母线所成的角为.（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱的体积为，求点D到平面的距离.22．（10分）设函数.（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。（3）已知当时，恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。2、B【解题分析】

先计算数据平均值，再利用方差公式得到答案.【题目详解】数据恰好构成公差为5的等差数列故答案选B【题目点拨】本题考查了数据的方差的计算，将平均值表示为是解题的关键，意在考查学生的计算能力.3、C【解题分析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.4、C【解题分析】

由求出的范围，再由方差公式求出值．【题目详解】∵，∴，化简得，即，又，解得或，∴，故选C．【题目点拨】本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．5、C【解题分析】

结合球的有关概念:如球的大圆、球面积公式、球面距离等即可解决问题,对于球的大圆、球面积公式、球面距离等的含义的理解,是解决此题的关键.【题目详解】对于①,若两点是球的一条直径的端点,则可以作无数个球的大圆,故①错;

对于②三部分的面积都是，故②正确对于③,球面积=,是它大圆面积的四倍,故③正确;

对于④,球面上两点的球面距离,是这两点所在大圆上以这两点为端点的劣弧的长,故④错.

所以①④错误.

所以C选项是正确的.【题目点拨】本题考查球的性质,特别是求两点的球面距离,这两个点肯定在球面上,做一个圆使它经过这两个点,且这个圆的圆心在球心上,两点的球面距离对应的是这个圆两点之间的对应的较短的那个弧的距离.6、B【解题分析】

利用直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到答案．【题目详解】由曲线的极坐标方程，两边同乘，可得，再由，可得：，所以曲线的极坐标方程化为直角坐标为故答案选B【题目点拨】本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式是解题的关键，属于基础题．7、A【解题分析】

根据抛物线定义得到yA+y【题目详解】由抛物线定义可得：|AF|+|BF|=y因为x2所以y渐近线方程为y=±2故答案选A【题目点拨】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力.8、B【解题分析】解：数列即：，据此可得数列的通项公式为：，由解得：，即是这个数列的第项.本题选择B选项.9、D【解题分析】

求定积分得到的值，可得的值，再把按照二项式定理展开式，可得中的系数．【题目详解】∵，且，则展开式，故含的系数为，故选D．【题目点拨】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10、D【解题分析】由已知得，，则，故选D.11、C【解题分析】

将2x+3y+1【题目详解】2当x=3,y=0或x=-1,y=2是等号成立.故答案选C【题目点拨】本题考查了绝对值三角不等式，将2x+3y+112、B【解题分析】由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】分析：因为在点处的切线方程，所以，由此能求出．详解：因为在点处切线方程为，，

所以从而．

即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．14、【解题分析】

依题意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【题目详解】依题意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案为：．【题目点拨】本题考查了函数的奇偶性、周期性的应用，属于基础题．15、【解题分析】

至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．【题目详解】∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.1．∴连续掷一枚图钉3次，出现2次针尖向上的概率为：0.132，出现3次针尖向上的概率为：0.216，故至少出现2次针尖向上的概率，故答案为：．【题目点拨】本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．16、【解题分析】

首先根据好评率求获得好评的电影部数，再求总的电影部数，最后求比值.【题目详解】获得好评的电影部数：共有部电影，所以没有获得好评的电影概率为：.故答案为：【题目点拨】本题考查用统计的知识解决实际问题，意在考查分析数据，应用数据的能力，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析.(2).【解题分析】

（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．【题目详解】(Ⅰ)证明：整理得令，当，，所以在上单调递增；当，，所以在上单调递减，所以，不等式得证.(Ⅱ)，设切点为，则，函数在点处的切线方程为，令，解得，所以，令，因为，，所以，，当，，所以在上单调递减；当，，所以在上单调递增，因为，.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．18、（1）见解析（2）见解析【解题分析】

（1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形；（2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形的性质即可证明；解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到．【题目详解】（1）由成等差数列，有①因为为的内角，所以②由①②得③由是的等比中项和正弦定理得，是的等比中项，所以④由余弦定理及③，可得再由④，得即，因此从而⑤由②③⑤，得所以为等边三角形．（2）解法1：要证只需证因为、、都为锐角，所以，故只需证：只需证：即证：因为，所以要证：即证：即证：因为为锐角，显然故原命题得证，即．解法2：因为为锐角，所以因为所以，即展开得：所以因为、、都为锐角，所以，所以即【题目点拨】本题考查正余弦定理、等差等比的性质，锐角三角形的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键．19、(1)，，,.(2).【解题分析】分析：（1）先根据特征多项式求特征值，再根据特征值求对应特征向量，（2）先将表示为，再根据特征向量定义化简A5，计算即得结果.详解：(1)矩阵的特征多项式为，令，解得，，当时，解得；当时，解得.(2)令，得，求得.所以点睛：利用特征多项式求特征值，利用或求特征向量.20、（1），；（2）；（3）有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异【解题分析】

（1）由分层抽样的知识及题中所给数据分别计算出甲校与乙校抽取的人数，可得，的值；（2）计算样本的优秀率，可得乙校的优秀率；（3）补全列联表，计算出的值，对照临界表可得答案.【题目详解】解：（1）由题意知，甲校抽取人，则，乙校抽取人，则.（2）由题意知，乙校优秀率为.（3）填表如下表（1）.甲校乙校总计优秀102030非优秀453075总计5550105根据题意，由题中数据得，有95﹪的把握认为两个学校数学成绩有差异.【题目点拨】本题主要考查了分层抽样及频率分布直方图的相关知识、独立性检验及其应用，属于中档题，注意运算准确.21、（1）（1）【解题分析】

（1）利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．（1）利用圆柱的体积，求出底面半径，通过VC﹣OEF＝VO﹣CEF，求解点C到平面OEF的距离．【题目详解】解：（1）∵O1A与母线所成的角为20°，AO＝r，所以O1Or，圆柱的表面积S＝1πr1+11（1）πr1．（1）∵圆柱的体积为9π，∴，∴r．2．，，∴，【题目点拨】本题考查空间点线面的距离的求法