预习07讲平面向量数量积的坐标表示2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019）原卷版

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册）预习07讲平面向量数量积的坐标表示（精讲+精练）①平面向量数量积的坐标表示②坐标表示中的垂直问题③坐标表示中的模长问题④坐标表示中的夹角问题一、平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．二、两个向量平行、垂直的坐标表示已知非零向量，（1）．（2）三、向量模的坐标表示（1）向量模的坐标表示若向量，由于，所以．其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．（2）两点间的距离公式已知原点，点，则，于是．其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离．（3）向量的单位向量的坐标表示设，表示方向上的单位向量四、两向量夹角余弦的坐标表示已知非零向量，是与的夹角，则．五、数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系(当且仅当时等号成立)题型一：题型一：平面向量数量积的坐标表示策略方法平面向量数量积的三种运算方法【题型精练】一、单选题1．已知向量，则（

）A．0 B．3 C．2 D．12．已知，，若，则x等于（

）A．6 B．5 C．4 D．33．已知，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知（

）A． B． C． D．5．已知向量，，，则的最小值是（

）A． B． C．1 D．26．在矩形ABCD中，若，，且，则的值为（

）A． B．1 C． D．2二、填空题7．已知向量，则.8．如图所示，为正三角形，，则．9．已知向量，，若，则．10．在边长为的正方形中，是中点，则；若点在线段上运动，则的最小值是.三、解答题11．已知，，，分别求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．12．已知三点，，，P为平面ABC上的一点，且，．(1)求；(2)求的值．题型二：题型二：坐标表示中的垂直问题策略方法1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．【题型精练】一、单选题1．已知向量．若，则（

）A． B． C．2 D．32．已知向量，且，则实数（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若实数λ满足，则（

）A． B． C． D．14．已知向量，，若，则（

）A． B．C． D．5．已知向量，且，则实数构成的集合是（

）A． B．C． D．6．已知向量，若，则在上的投影为（

）A．1 B． C． D．二、填空题7．已知向量，，若，则.8．已知向量，若与垂直，请写出满足条件的向量的一个坐标．9．已知向量，且，则．10．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.三、解答题11．已知向量，满足且.(1)求的值；(2)若，求实数的值.12．已知为平面向量，且.(1)若，且与垂直，求实数的值；(2)若，且，求向量的坐标.题型三：题型三：坐标表示中的模长问题策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(2)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)．【题型精练】一、单选题1．已知向量，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知向量，，则（

）A． B．5 C． D．43．已知平面向量，且，那么等于（

）A． B． C． D．4．已知向量，，则（

）A．0 B．1 C． D．25．已知向量，.若与垂直，则（

）A．1 B． C．2 D．46．已知平面向量，，且，则（

）A．2 B．3 C．4 D．57．已知平面向量，，满足，，且．若，则（

）A． B． C． D．8．已知平面向量，满足，且，则（

）A．4 B．5 C． D．29．已知平面向量，，，的夹角为60°，，则实数（

）A． B．1 C． D．二、多选题10．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．已知向量，若，则等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2三、填空题12．已知向量，满足，，，则等于．13．已知平面向量，且.若，则.14．平面向量与的夹角为，已知，，则.15．已知向量，且，则向量在向量方向上的投影向量为.四、解答题16．已知向量，，，且；(1)求与的夹角；(2)若，求的值．17．已知两个非零向量与不共线.(1)若与平行，求实数的值；(2)若，，且，求.18．已知向量，的夹角为，且．(1)若，求的坐标；(2)若，，求的最小值．题型四：题型四：坐标表示中的夹角问题策略方法求向量夹角问题的方法【题型精练】一、单选题1．已知向量，，且与的夹角余弦值为，则（

）A．或 B．或 C． D．或2．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，，则（

）A． B． C． D．4．设，向量，，且，则（

）A． B． C． D．5．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，且，则可以是（

）A． B． C． D．二、多选题7．已知，则（

）A．若，则B．若，则C．的最小值为2D．若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为8．已知向量，且，则（

）A．B．C．向量与向量的夹角是D．向量在向量上的投影向量坐标是9．已知向量，则（

）A． B．C． D．向量的夹角为10．下列说法中不正确的为（

）A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．已知向量，的夹角为，，，则在方向上的投影向量的模为D．非零向量和满足，则与的夹角为三、填空题11．，，且，则，的夹角为．12．若向量，，且，则与的夹角为.13．已知向量，，，若，则等于14．已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．四、解答题15．已知向量，向量．(1)若，求与的夹角；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．16．已知向量，且与的夹角为.(1)求及；(2)若与所成的角是锐角，求实数的取