天一大联考2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析

天一大联考2024届数学高二第二学期期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．2．将函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移个单位长度，所得函数图像关于对称，则（）A． B． C． D．3．设随机变量服从正态分布,若,则

=A． B． C． D．4．若复数是纯虚数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．设正项等差数列an的前n项和为Sn，若S2019A．1 B．23 C．1366．用数学归纳法证明“…”时，由到时，不等试左边应添加的项是()A． B．C． D．7．设命题，则为（）A． B．C． D．8．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．下列关于积分的结论中不正确的是（）A． B．C．若在区间上恒正，则 D．若，则在区间上恒正10．已知是定义在上的函数，且对于任意，不等式恒成立，则整数的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．411．如表是某厂节能降耗技术改造后，在生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据：34562.53m4.5若根据如表提供的数据，用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.512．椭圆的点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数__________．14．若直角坐标平面内两点满足点都在函数的图像上，且点关于原点对称，则称是函数一个“姊妹点对”（与可看作同一“姊妹点对”）.已知则的“姊妹点对”有_______个.15．若，，则的最小值为__________．16．“”的否定是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.统计数据如下表所示：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀40学习成绩一般20合计200参考公式：其中18．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为．（1）求直线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的面积．19．（12分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列和数学期望.20．（12分）已知集合，其中，集合．若，求；若，求实数的取值范围．21．（12分）已知函数．（1）当a＝3时，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求实数a的取值范围．22．（10分）设函数，．(1)解不等式；(2)设函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

构造函数，利用导数判断出函数的单调性，将不等式变形为，结合函数的单调性可解出该不等式.【题目详解】构造函数，则，所以，函数在上单调递减，由，可得，即，解得，因此，不等式的解集为，故选C.【题目点拨】本题考查利用导数求解函数不等式，解决这类不等式的基本步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数研究函数的单调性，必要时要考查该函数的奇偶性；（3）将不等式转化为的形式，结合函数的单调性进行求解.2、B【解题分析】

运用三角函数的图像变换，可得，再由余弦函数的对称性，可得，计算可得所求值.【题目详解】函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则可得，再把得到的图像向左平移个单位长度，则可得，因为所得函数图像关于对称，所以，即，解得：，所以：故选：B【题目点拨】本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题.3、B【解题分析】分析：根据正态分布图像可知，故它们中点即为对称轴.详解：由题可得：，故对称轴为故选B.点睛：考查正态分布的基本量和图像性质，属于基础题.4、C【解题分析】

由纯虚数的定义和三角恒等式可求得，根据二倍角公式求得；根据复数的几何意义可求得结果.【题目详解】为纯虚数，，即，，，，对应点的坐标为，位于第二象限.则的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限故选：.【题目点拨】本题考查复数对应点的坐标的问题的求解，涉及到同角三角函数值的求解、二倍角公式的应用、复数的几何意义等知识.5、D【解题分析】

先利用等差数列的求和公式得出S2019=2019a1+a20192=6057【题目详解】由等差数列的前n项和公式可得S2019=2019由等差数列的基本性质可得a2∴61所以，1a2+4a因此，1a2+4【题目点拨】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。6、C【解题分析】

分别代入，两式作差可得左边应添加项。【题目详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【题目点拨】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．7、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得为：，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)全称命题：,全称命题的否定（）：.8、C【解题分析】

先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【题目详解】在中，，，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9、D【解题分析】

结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案.【题目详解】对于选项A，因为函数是R上的奇函数，所以正确；对于选项B，因为函数是R上的偶函数，所以正确；对于选项C，因为在区间上恒正，所以图象都在轴上方，故正确；对于选项D，若，可知的图象在区间上，在轴上方的面积大于下方的面积，故选项D不正确.故选D.【题目点拨】本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题.10、A【解题分析】

利用的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题．【题目详解】，可知，且单调递增，可以变为，即，∴，可知，设，则，当时，，当时，单调递增；当时，单调递减，可知，∴，∵，∴整数的最小值为1.故选A.【题目点拨】本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用所学知识的的能力．11、A【解题分析】由题意可得，故样本中心为。因为回归直线过样本中心，所以，解得。选A。12、D【解题分析】

写设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值．【题目详解】解：设椭圆1上的点为M（3cosθ，2sinθ），则点M到直线x+2y﹣4＝1的距离：d|5sin（θ+α）﹣4|，∴当sin（θ+α）时，椭圆1上的点到直线x+2y﹣4＝1的距离取最小值dmin＝1．故选D．【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数.【题目详解】因为，所以，因此其共轭复数为故答案为【题目点拨】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型.14、2.【解题分析】

根据题意可知，只需作出函数y=x2+2x（x<0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可．【题目详解】根据题意可知，“友好点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数的图象关于原点对称的图象，看它与函数交点个数即可.如图所示：当时，观察图象可得：它们有2个交点.故答案为：2.【题目点拨】本题考查函数的新定义问题，根据已知条件将问题转化为零点个数问题，利用数形结合画出图像即可求解，属于中等题.15、【解题分析】

由题可得，，再利用基本不等式的性质即可得出结果.【题目详解】因为，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为4.故答案为:4.【题目点拨】本题主要考查利用“整体乘1”的方法和基本不等式的性质来求最值，注意基本不等式的前提是正数.16、【解题分析】分析：根据的否定为得结果.详解：因为的否定为，所以“”的否定是点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.的否定为，的否定为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）有，分析见解析【解题分析】

(1)根据已知抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,即可求出抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求得其他数据,完善列联表即可.(2)由(1)可得列联表,根据公式计算出后可得结论.【题目详解】(1)由抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求其他数据,完善表格如下.列联表：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀4060100学习成绩一般8020100合计12080200所以有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.【题目点拨】本题主要考查了2×2列联表,考查独立性检验,考查了学生的计算能力,难度较易.18、（1）（2）【解题分析】

（1）先消去参数，化为直角坐标方程，再利用求解.（2）直线与曲线方程联立，得，求得弦长和点到直线的距离，再求的面积.【题目详解】（1）由已知消去得，则，所以，所以直线的极坐标方程为．（2）由，得，设，两点对应的极分别为，，则，，所以，又点到直线的距离所以【题目点拨】本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19、（1）；（2）.【解题分析】（Ⅰ）由已知，有所以事件发生的概率为.（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为所以随机变量的分布列为

所以随机变量的数学期望考点：古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.20、（1）；【解题分析】

解出二次不等式以及分式不等式得到集合和，根据并集的定义求并集；由集合是集合的子集，可得，根据包含关系列出不等式，求出的取值范围.【题目详解】集合，由，则，解得，即，，则，则．，即，可得，解得，故m的取值范围是【题目点拨】本题考查集合的交并运算，以及由集合的包含关系求参数问题，属于基础题．在解有关集合的题的过程中，要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.21、（1）；（2）．【解题分析】

（1）由a＝3可得，去绝对值，分类讨论解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由题意可得有解，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，解a的不等式可得所求范围．【题目详解】（1）当a＝3时，即为，等价于或或，解得或或，则原不等式的解集为；（2）不等式的解集非空等价于有解．由，（当且仅当时取得