2024届广州顺德区高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

2024届广州顺德区高二数学第二学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45∘的纬度线上去，且其经度差为90∘，则A，A．πR B．πR2 C．πR32．定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导数满足x2＜1，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+13．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100 B．150C．200 D．2505．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（）A．90种 B．120种 C．180种 D．240种6．已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（）A． B． C． D．7．已知函数，则“”是“在上单调递增”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同9．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A． B． C． D．10．设是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若，则的值()A．恒为负值 B．恒等于零C．恒为正值 D．无法确定正负11．将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A． B． C．0 D．12．某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（）468101212356A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量的分布列为为常数，则______14．根据所示的伪代码，若输入的的值为-1,则输出的结果为________.15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时若则_______．16．已知实数满足，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，.（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和.18．（12分）为了研究玉米品种对产量的，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方法抽取50株作为样本，统计结果如下：高茎矮茎总计圆粒111930皱粒13720总计242650（1）现采用分层抽样的方法，从该样本所含的圆粒玉米中取出6株玉米，再从这6株玉米中随机选出2株，求这2株之中既有高茎玉米又有矮茎玉米的概率；（2）根据玉米生长情况作出统计，是否有95%的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？附：0.050.013.8416.63519．（12分）如图所示,在三棱柱中,是边长为4的正方形,，.(l)求证:；(2)求二面角的余弦值．20．（12分）设.(1)若,且是实系数一元二次方程的一根,求和的值；(2)若是纯虚数,已知时,取得最大值,求；(3)肖同学和谢同学同时独立地解答第（2）小题,己知两人能正确解答该题的概率分别是0.8和0.9,求该题能被正确解答的概率.21．（12分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.停车距离d（米）频数26402482表1平均每毫升血液酒精含量x毫克平均停车距离y米表2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值例如区间的中点值为1.5)作为代表；（1）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（2）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于无酒状态下（表1）的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？回归方程中..22．（10分）设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA,OB,OC,AC,BC，根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=2R2，由A,B两地经度差为90∘，在RtΔABC中算出AB=AC详解：设在北纬45∘纬圆的圆心为C，球心为O连结OA,OB,OC,AC,BC，则OC⊥平面ABC，在RtΔACO中，AC=OACcos45∘∴A,B两地经度差为90∘，∴∠ACB=在RtΔABC中，AB=A由此可得ΔAOB是边长为R的等边三角形，得∠AOB=60∴A,B两地球面的距离是60πR180=π点睛：本题考查地球上北纬45∘圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题2、D【解题分析】

构造函数g（x）＝f（x），利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求．【题目详解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），则g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上为单调减函数，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，则f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．综上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故选：D．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．3、D【解题分析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1，

∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；

在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；

在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；

在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4，

∴二队很少不失球，故（4）正确.故选：D．4、A【解题分析】试题分析：根据已知可得：，故选择A考点：分层抽样5、A【解题分析】

从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果.【题目详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有种分法；再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有种分法，由分步原理得，共有种分法．故选：A【题目点拨】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题.6、C【解题分析】

先求导，得到函数的单调区间，函数在区间上有最大值无最小值，即导数的零点在上，计算得到答案.【题目详解】设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足：即故答案选C【题目点拨】本题考查了函数的最大值和最小值问题，将最值问题转为二次函数的零点问题是解题的关键.7、A【解题分析】f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．故选A.8、C【解题分析】

根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【题目详解】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．故选：C．【题目点拨】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．9、C【解题分析】

根据椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,通过计算可知高相等时截面面积相等,因而由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【题目详解】由椭圆方程,构造一个底面半径为2,高为3的圆柱在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点、上底面为底面的圆锥当截面与底面距离为时，截圆锥得到的截面小圆半径为则，即所以截面面积为把代入椭圆方程，可求得所以橄榄球形状几何体的截面面积为由祖暅原理可得橄榄球几何体的体积为故选:C【题目点拨】本题考查了类比推理的综合应用,空间几何体体积的求法,属于中档题.10、A【解题分析】

依据奇函数的性质，在上单调递减，可以判断出在上单调递减，进而根据单调性的定义和奇偶性的定义，即可判断的符号。【题目详解】因为时，单调递减，而且是定义在上的奇函数，所以，在上单调递减，当时，，由减函数的定义可得，，即有，故选A。【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性和单调性应用。11、B【解题分析】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，

得到函数的图象对应的函数解析式为再根据所得函数为偶函数，可得故的一个可能取值为：故选B．12、A【解题分析】分析：求出样本点的中心，求出的值，得到回归方程得到5个点中落在回归直线下方的有（，共2个，求出概率即可．详解：故，解得：，

则

故5个点中落在回归直线下方的有，共2个，

故所求概率是，

故选A．点睛：本题考查了回归方程问题，考查概率的计算以及样本点的中心，是一道基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．【题目详解】随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，∴=1，即，解得c=，∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）===．故答案为．【题目点拨】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．14、【解题分析】

通过读条件语句，该程序是分段函数，代入即可得到答案.【题目详解】根据伪代码，可知，当时，，故答案为.【题目点拨】本题主要考查条件程序框图的理解，难度不大.15、【解题分析】

由二项分布性质可知Dx=np(1-p)=2.1,解得p=0.3或p=0.7,再由二项分布公式代入解得p>0.5，可求得p.【题目详解】由二项分布可知Dx=np(1-p)=10p(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7,又因为，所以，解得p>0.5,所以p=0.7,填0.7.【题目点拨】本题综合考查二项分布公式应用及二项分布的性质，需要学生灵活运用。16、-5【解题分析】分析：画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，把目标函数平移到点A处，求得函数的最小值，即可．详解：由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由目标函数，即，结合图象可知，当直线过点在轴上的截距最大，此时目标函数取得最小值，又由，解得，代入可得目标函数的最小值为．点睛：线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）利用定义得证.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用分组求和法的到前项和.【题目详解】解：（Ⅰ）由，可得，即，又，∴，∴数列是首项为3，公差为2的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴.【题目点拨】本题考查了等差数列的证明，分组求和法求前项和，意在考查学生对于数列公式和方法的灵活运用.18、（1）；（2）有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【解题分析】

（1）采用分层抽样的方式，从样本中取出的6株玉米随机选出2株中包含高杆的2株，矮杆的4株，故可求这2株之中既有高杆玉米又有矮杆玉米的概率；（2）带入公式计算值，和临界值表对比后即可得答案．【题目详解】（1）依题意，取出的6株圆粒玉米中含高茎2株，记为，；矮茎4株，记为，，，；从中随机选取2株的情况有如下15种：，，，，，，，，，，，，，，．其中满足题意的共有，，，，，，，，共8种，则所求概率为．（2）根据已知列联表：高茎矮茎合计圆粒111930皱粒13720合计242650得，又，有的把握认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关．【题目点拨】本题主要考查古典概型的概率和独立性检验，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力．19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可得到；（2）以为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【题目详解】（1）证明：因为是边长为4的正方形，所以，又，，由线面垂直的判定定理，可得平面ABC，所以.（2）在中，有，所以，分别以AC，AB，为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，取，则，同理得平面的法向量，设二面角的平面角为，则.【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直判定与证明，以及空间角的求解问题，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20、(1)；(2)；(3).【解题分析】

(1)利用复数除法的运算法则化简,再根据实系数一元二次方程的性质和根与系数关系可以求出和的值；(2)设出复数的代数形式,利用复数的除法法则和是纯虚数,可得出复数的实问部和虚部之间的关系,再由时,取得最大值,这样可以求出；(3)求出该题不能被正确解答的概率,然后运用对立事件概率公式求出该题能被正确解答的概率.【题目详解】(1).因为是实系数一元二次方程的一根,所以也是实系数一元二次方程的一根,因此由根与系数关系