广东省揭阳市普宁华美实验学校2024届数学高二第二学期期末考试试题含解析

广东省揭阳市普宁华美实验学校2024届数学高二第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为4，则（）A． B． C． D．2．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．已如集合，，则（）A． B． C． D．4．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为至的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有个号码为中奖号码，若从中任意取出个小球，其中恰有个中奖号码的概率为，那么这个小球中，中奖号码小球的个数为A． B． C． D．5．欧拉公式：为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，（）A．1 B． C． D．6．设，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]7．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误8．已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望为（）A． B． C． D．9．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则C．若，，，则 D．若，，，则10．椭圆C：x24+y23=1的左右顶点分别为AA．[12,34]11．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…12．下面是列联表：合计2163223557合计56120则表中的值分别为（）A．84，60 B．42，64 C．42,74 D．74,42二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．，，若，则实数的值为_______．14．设，过下列点分别作曲线的切线，其中存在三条直线与曲线相切的点是__________．15．已知函数，若在处取得极小值，则实数的值为______.16．若实数满足条件，则的最大值为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设,函数,是函数的导函数,是自然对数的底数.(1)当时,求导函数的最小值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的最大值;(3)若函数存在极大值与极小值，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时,对于任意正实数，不等式恒成立，试判断实数的大小关系.19．（12分）在中，已知．（1）求证：；（2）若，求A的值．20．（12分）设函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)当函数有最大值且最大值大于时，求的取值范围.21．（12分）已知．（1）求和的值；（2）求式子的值．22．（10分）已知点为坐标原点椭圆的右焦点为，离心率为，点分别是椭圆的左顶点、上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点直线分别交直线于两点，求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为正切值为4在中，根据勾股定理：故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2、C【解题分析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C．3、A【解题分析】

求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【题目详解】由题意，集合，∴集合．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、C【解题分析】

利用古典概型列出恰有1个中奖号码的概率的方程，解方程即可．【题目详解】依题意，从10个小球中任意取出1个小球，其中恰有1个中奖号码的概率为，所以，所以n（10﹣n）（9﹣n）（8﹣n）＝180，（n∈N*）解得n＝1．故选：C．【题目点拨】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了计数原理及组合式公式的运算，属于中档题．5、B【解题分析】

由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案．【题目详解】由得故选B．【题目点拨】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题．6、D【解题分析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．考点：零点存在定理7、B【解题分析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【题目详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.8、B【解题分析】

根据数学期望公式可计算出的值.【题目详解】由题意可得，故选B.【题目点拨】本题考查离散型随机变量数学期望的计算，意在考查对数学期望公式的理解和应用，考查计算能力，属于基础题.9、C【解题分析】

通过作图的方法，可以逐一排除错误选项.【题目详解】如图，相交，故A错误如图，相交，故B错误D.如图，相交，故D错误故选C.【题目点拨】本题考查直线和平面之间的位置关系，属于基础题.10、B【解题分析】设P点坐标为(x0,y0)，则于是kPA1∵kPA2【考点定位】直线与椭圆的位置关系11、B【解题分析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.12、B【解题分析】因，故,又，则，应选答案B。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

由题得，解方程即得的值.【题目详解】由题得，解之得=1.当=1时两直线平行.故答案为：114、.【解题分析】

设切点坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程，整理得，令，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求得极值，利用数形结合列不等式，将五个点逐一代入检验即可得结果.【题目详解】设切点坐标为，则切线方程为，设切线过点，代入切线方程方程可得，整理得，令，则，过能作出三条直线与曲线相切的充要条件为：方程有三个不等的实数根，即函数有三个不同的零点，故只需，分别把，代入可以验证，只有符合条件，故答案为.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：一个零点或；两个零点或；三个零点.15、.【解题分析】

先求出导数，建立方程求出的值，并验证能否取得极小值【题目详解】解：由题意知，，则，解得.经检验，时，函数在处取得极小值.故答案为:.【题目点拨】本题考查函数极小值的概念.要注意对求出值的验证．令导数为0，求出的方程的根不一定是极值点，还应满足在解的两边函数的单调性相反.16、1【解题分析】

作出平面区域，则表示过（0，1）和平面区域内一点的直线斜率．求解最大值即可．【题目详解】作出实数x，y满足条件的平面区域如图所示：由平面区域可知当直线过A点时，斜率最大．解方程组得A（1，2）．∴z的最大值为=1．故答案为：1．【题目点拨】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解题分析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式，再利用导数研究单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数的取值范围，进而得其最大值;（3）函数存在极大值与极小值，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数不单调且最小值小于零，即得，再证明时有且仅有两个零点.详解：解：（1）当时，记则，由得.当时，，单调递减当时，，单调递增所以当时，所以（2）由得，即因为，所以.记，则记，则因为，所以且不恒为0所以时，单调递增，当时，，所以所以在上单调递增，因为对恒成立，所以，即所以实数的最大值为（3）记，因为存在极大值与极小值，所以，即存在两个零点，且在零点的两侧异号.①当时，，单调递增，此时不存在两个零点；②当时，由，得当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以所以存在两个零点的必要条件为：，即由时，(ⅰ)记，则所以当时，单调递减，当时，，所以.所以在上，有且只有一个零点.又在上单调，所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递减，易得当时，函数存在极大值（ⅱ）记，则所以时，，所以由（1）知时，有所以在上单调递增，所以时,因为且，的图像在单调且不间断，所以在上，有且只有一个零点.又在上单调所以在上有且只有一个零点，记为，由在内单调递增，易得当时，函数存在极小值综上，实数的取值范围为.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.18、(1)当时增；减；当时减；增；(2)【解题分析】

（1）求出函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调性；（2）设，求导数判断函数的单调性，求出函数的极值，转化为，即可求解.【题目详解】（1）由题意，函数，则，令，解得，当时，在上，，函数单调递增；在上，，函数单调递减.当时，在上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增.综上可得：当时，函数在单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递减，在单调递增.（2）当时，设则，令，即，解得，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，所以，要使得不等式恒成立，只需，即，所以，故实数的大小关系为.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．19、（1）见解析；（2）．【解题分析】试题分析：（1）已知的向量的数量积，要证明的是角的关系，故我们首先运用数量积定义把已知转化为三角形的边角关系，由已知可得，即，考虑到求证式只是角的关系，因此我们再应用正弦定理把式子中边的关系转化为角的关系，即有，而这时两边同除以即得待证式（要说明均不为零）.（2）要求解的大小，一般是求出这个角的某个三角函数值，本题应该求，因为（1）中有可利用，思路是.试题解析：(1)∵,∴,即.2分由正弦定理,得,∴.4分又∵,∴.∴即.6分(2)∵,∴.∴.8分∴,即.∴.10分由(1),得,解得.12分∵,∴.∴.14分考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.20、(1)当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；(2)．【解题分析】

（Ⅰ）函数的定义域为，①当时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，i）当时，，函数单调递增，ii）当时，，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当函数有最大值且最大值大于，，即，令，且在上单调递增，在上恒成立，故的取值范围为.21、（1），（2）【解题分析】

（1）在二项展开式的通项公式中，令分别等于0和3，即可求得和的值．（2）在所给的等式中，分别令，可得2个式子，再根据这2个式子求得的值．【题目详解】解:（1）由二项式定理，得的展开式的通项是，令，3，得，．∵，∴，．（2）∵，∴令，得．令，得．∴．∴．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的