2024届四川省眉山实验高级中学高二数学第二学期期末预测试题含解析

2024届四川省眉山实验高级中学高二数学第二学期期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线的参数方程为，则曲线是（）A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线2．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于()A．0 B． C． D．13．某个命题与正整数有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立。现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得A．当n=7时该命题不成立 B．当n=7时该命题成立C．当n=9时该命题不成立 D．当n=9时该命题成立4．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（）．A． B．C． D．5．已知，，，若、、三向量共面，则实数等于（）A． B． C． D．6．（）A． B． C．0 D．7．的展开式中的项的系数是()A． B． C． D．8．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）9．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．10．已知等差数列的前项和，且，则（）A．4 B．7 C．14 D．11．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是()x681012y6m32A．变量x,y之间呈现负相关关系B．可以预测,当x=20时,y=﹣3.7C．m=4D．该回归直线必过点(9,4)12．设是曲线上的一个动点，记此曲线在点点处的切线的倾斜角为，则可能是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，且，则，中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为_______．14．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____．15．已知则的值为．16．函数的定义域是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角，，的对边分别是，，，且满足：.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值.18．（12分）已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．19．（12分）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数．在以原点为极点，为参数）．在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设，直线与曲线C交于M，N两点，求的值．21．（12分）若集合具有以下性质：（1）且；（2）若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”.（1）试判断集合是否为“闭集”，请说明理由；（2）设集合是“闭集”，求证：若，，则；（3）若集合是一个“闭集”，试判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.22．（10分）己知抛物线的顶点在原点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）是抛物线上一点，过点的直线交于另一点，满足与在点处的切线垂直，求面积的最小值，并求此时点的坐标。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】由代入消去参数t得又所以表示线段。故选A2、B【解题分析】∵三个数，，的和为1，其平均数为∴三个数中至少有一个大于或等于假设，，都小于，则∴，，中至少有一个数不小于故选B.3、A【解题分析】

根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以选A.【题目详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当时命题不成立，则命题也不成立，所以当时命题不成立，则命题也不成立，故答案为：A【题目点拨】(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.4、C【解题分析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为：，侧面积为：；圆柱的底面半径是，高是，其底面积为：，侧面积为：；∴组合体的表面积是，本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．5、C【解题分析】

由题知，、、三个向量共面,则存在常数，使得，由此能求出结果.【题目详解】因为，，，且、、三个向量共面,所以存在使得.所以，所以，解得.故选:C.【题目点拨】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.6、D【解题分析】

定积分的几何意义是圆的个圆的面积，计算可得结果.【题目详解】定积分的几何意义是圆的个圆的面积,∴，故选D.【题目点拨】本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题7、B【解题分析】

试题分析：的系数,由的次项乘以,和的2次项乘以的到,故含的是,选.考点：二项式展开式的系数.【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的.8、C【解题分析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.9、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.10、B【解题分析】

由题意利用等差数列的定义、通项公式及前项和公式，求出首项和公差的值，可得结论．【题目详解】等差数列的前项和为，且，，．再根据，可得，，则，故选．【题目点拨】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及前项和公式，属于基础题．11、C【解题分析】

根据回归直线方程的性质，以及应用，对选项进行逐一分析，即可进行选择.【题目详解】对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系.线性回归方程为，b=﹣0.7<0，故负相关.对于B：当x=20时，代入可得y=﹣3.7对于C：根据表中数据：9.可得4.即，解得：m=5.对于D：由线性回归方程一定过()，即(9，4).故选：C.【题目点拨】本题考查线性回归直线方程的性质，以及回归直线方程的应用，属综合基础题.12、B【解题分析】分析：求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．详解：由，得

当且仅当时上式“=”成立．，即曲线在点点处的切线的斜率小于等于-1．

则，

又，故选：B．点睛：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、，均不大于1（或者且）【解题分析】

假设原命题不成立，即找，中至少有一个大于1的否定即可.【题目详解】∵x，y中至少有一个大于1，∴其否定为x，y均不大于1，即x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．【题目点拨】本题考查反证法，考查命题的否定，属于基础题．14、甲【解题分析】

分析题意只有一人说假话可知，假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立.综上所述，得满分的是甲.15、【解题分析】

试题分析：,.考点：分段函数求值．16、【解题分析】分析：根据分母不为零得定义域.详解：因为，所以,即定义域为.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解题分析】

（Ⅰ）运用正弦定理实现角边转化，然后利用余弦定理，求出角的大小；（Ⅱ）方法1：由（II）及，利用余弦定理，可得，再利用基本不等式，可求出的最大值；方法2：利用正弦定理实现边角转化，利用两角和的正弦公式和辅助角公式，利用正弦型函数的单调性，可求出的最大值；【题目详解】（I）由正弦定理得：，因为，所以，所以由余弦定理得：，又在中，，所以.（II）方法1：由（I）及，得，即，因为，（当且仅当时等号成立）所以.则（当且仅当时等号成立）故的最大值为2.方法2：由正弦定理得，，则，因为，所以，故的最大值为2（当时）.【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，考查了二角和的正弦公式及辅助角公式，考查了数学运算能力.18、（1）P（1，）（2）【解题分析】

（1）设P（x，y）；，根据三角形PF1F2的面积为列等式解得，再代入椭圆方程可得，即可得到答案；（2）根据两点间的距离公式得到的函数关系式，再根据二次函数求最值可得结果.【题目详解】椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，所以：椭圆的顶点坐标（±2，0）；（0，±1），焦点：F1（，0），F2（，0），|F1F2|＝2；P是椭圆E上位于第一象限的一点，设P（x，y）；；（1）若三角形PF1F2的面积为，即：|F1F2|×y；解得：y，因为P是椭圆E上位于第一象限的一点，满足椭圆的方程，代入椭圆方程得：x＝1，所以：点P的坐标P（1，）；（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，P是椭圆E上位于第一象限的一点，所以：d．因为，所以时，d有最小值，所以d的最小值d．【题目点拨】本题考查了椭圆的几何性质，考查了三角形的面积公式，考查了两点间的距离公式，考查了二次函数求最值，属于中档题.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）通过证明，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角的余弦值.【题目详解】（1）平面，平面，所以，由已知条件得：，，所以平面.（2）由（1）结合已知条件以点为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则：各点坐标为，，，，，所以，，，，，设是平面的一个法向量，则，即：，取，则得：，同理可求：平面的一个法向量.设：平面和平面成角为，则.【题目点拨】此题考查线面垂直的证明和求二面角的余弦值，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，根据法向量的关系求解二面角的余弦值.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）7.【解题分析】

（Ⅰ）直接把曲线C的参数方程平方相加，可以消除参数，得到普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；（Ⅱ）先写出直线的标准式参数方程，代入曲线方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及的几何意义，即可求出。【题目详解】(I)曲线C的普通方程:，直线l的直角坐标方程：；（II）设直线l的参数方程为（t为参数）代入，得，故；设对应的对数分别为，则，故.【题目点拨】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化。易错点是在应用直