2024届吉林省辽源市数学高二下期末考试模拟试题含解析

2024届吉林省辽源市数学高二下期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据13610842他由此得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是()①变量与线性负相关②当时可以估计③④变量与之间是函数关系A．① B．①② C．①②③ D．①②③④2．若，则（）A． B．C． D．3．极坐标系内,点到直线的距离是(

)A．1 B．2 C．3 D．44．已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（）A． B．C． D．5．若均为单位向量，且，则的最小值为（）A． B．1 C． D．6．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是()A．B．C．D．7．如图，某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．8．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布，若在内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25 B．0.1 C．0.125 D．0.59．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）A．120B．240C．280D．6010．设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．11．已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为（）A． B． C． D．12．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）A．34种 B．48种C．96种 D．144种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，且以Ox为始边，它的终边过点，则的值为________．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有__________个．15．已知定义在实数集上的偶函数在区间上是增函数.若存在实数，对任意的，都有，则正整数的最大值为__________．16．已知数列的前项和为，，，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值.18．（12分）已知数列各项均为正数，，，.（1）若，①求的值；②猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，证明：当时，.19．（12分）如图所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积．20．（12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当时，在定义域内恒成立，求实数的值.21．（12分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a的值：（2）求函数的值域；（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.22．（10分）某IT从业者绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入（单位：千元）的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据附注提供的有关数据建立关于的回归方程（2）若把月收入不低于2万元称为“高收入者”.试利用（1）的结果，估计他36岁时能否称为“高收入者”？能否有95%的把握认为年龄与收入有关系？附注：①.参考数据：，，,，，,，其中，取，②.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.【题目详解】①变量与线性负相关,正确②将代入回归方程，得到，正确③将代入回归方程，解得，正确④变量与之间是相关关系，不是函数关系，错误答案为C【题目点拨】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.2、A【解题分析】

根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.【题目详解】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确．B错误.②令，则，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确，故选A．【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.3、B【解题分析】

通过直角坐标和极坐标之间的互化，即可求得距离.【题目详解】将化为直角坐标方程为，把化为直角坐标点为，即到直线的距离为2，故选B.【题目点拨】本题主要考查极坐标与直角坐标之间的互化，点到直线的距离公式，难度不大.4、A【解题分析】由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以双曲线的方程为．故答案为．故答案选A.5、A【解题分析】

∴则当与同向时最大，最小，此时=，所以=-1，所以的最小值为，故选A点睛：本题考查平面向量数量积的性质及其运算律，考查向量模的求解，考查学生分析问题解决问题的能力，求出，表示出，由表达式可判断当与同向时，最小.6、D【解题分析】

根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，根据图像即可判断函数的单调性，然后结合图像判断出函数的极值点位置，从而求出答案。【题目详解】根据导数与函数单调性的关系，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，由导函数的图象可知，图像先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，故排除A,C且第二个拐点（即函数的极大值点）在轴的右侧，排除B故选D【题目点拨】本题考查函数的单调性与导函数正负的关系，属于一般题。7、C【解题分析】

根据三视图知几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为的三棱台，计算体积得到答案.【题目详解】根据三视图知：几何体为上下底面为等腰直角三角形，高为的三棱台，故.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性求解即可得到所求概率．【题目详解】由题意得，区间关于对称，所以，即该生成绩高于115的概率为．故选C．【题目点拨】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所给区间用已知区间表示，并根据曲线的对称性进行求解，考查数形结合的应用，属于基础题．9、A【解题分析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种C51。再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有C答案A点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。10、A【解题分析】

由可得：，结合充分、必要条件的概念得解.【题目详解】解得：又“”可以推出“”但“”不能推出“”所以“”是“”充分不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题。11、C【解题分析】

根据双曲线一个焦点可以求出,再根据一条渐近线的斜率为,可求出的关系,最后联立,解方程求出,求出方程即可.【题目详解】因为双曲线一个焦点的坐标为,所以,一条渐近线的斜率为,所以有,而,所以,因此有.故选：C【题目点拨】本题考查了求双曲线方程,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.12、C【解题分析】试题分析：,故选C.考点：排列组合.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由任意角的三角函数定义求得的值，再由两角差的余弦求解的值.【题目详解】由题意，故答案为：【题目点拨】本题考查了任意角三角函数的定义和两角差的余弦，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.14、23【解题分析】除以余且除以余的数是除以余的数.和的最小公倍数是.的倍数有除以余且除以余的数有，…其中除以余的数最小数为，这些东西有个，故答案为.【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力，属于难题.弘扬传统文化与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过中国古代数学名著及现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.15、【解题分析】分析：先根据单调性得对任意的都成立，再根据实数存在性得，即得，解得正整数的最大值.详解：因为偶函数在区间上是增函数，对任意的，都有，所以对任意的都成立，因为存在实数，所以即得，因为成立，，所以正整数的最大值为4.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.16、【解题分析】

利用已知条件求出数列前项的和以及前项的和，然后求解即可.【题目详解】解：由数列的前项和为，，，可得，，，，则.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）2【解题分析】分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）问题等价于，令，问题转化为求出，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求出的最小值，从而求出的最小值即可.详解：（1）解：∵∴∴当即时，对恒成立此时，的单调递增区间为，无单调递减区间当，即时，由，得，由，得此时，的单调递减区间为，单调递增区间为综上所述，当时，的单调递增区间为,无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为（2）解：由，得：当时，上式等价于令据题意，存在，使成立，则只需，令，显然在上单调递增而，∴存在，使，即又当时，，单调递减，当时，，单调递增∴当时，有极小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值为2.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.18、(1)①；；②(2)见证明【解题分析】

（1）①根据递推公式，代入求值即可；②观察已知的数列的前几项，根据其特征，先猜想其通项公式，之后应用数学归纳法证明即可得结果；（2）应用数学归纳法证明.【题目详解】(1)当时，即当时，当时，当时，②由此猜想：证明如下：①当时，，成立；②假设当时，猜想也成立，即,则当时，.即当时，猜想也成立．由①②得，猜想成立，即.()(2)当时，即当时，由知不等式成立．假设当时，命题也成立，即.由即当时，命题也成立．由①②得，原命题成立，即当时，.【题目点拨】该题考查的是数列的有关问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的特定项，根据已知的数列的前几项猜想数列的通项公式，应用数学归纳法证明问题，属于中档题目.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）由题可得：,，可得：，即可证得，再利用证得，即可证得平面，问题得证．（2）利用及锥体体积公式直接计算得解．【题目详解】（1）由题可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【题目点拨】本题主要考查了线线垂直的证明，考查了转化能力及线面垂直的定义，还考查了锥体体积公式及计算能力，属于中档题．20、（Ⅰ）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）求出函数的的定义域以及导函数，分类讨论，，情况下导数的正负，由此得到答案；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得函数的最小值，要使在定义域内恒成立，则恒成立，令，利用导数求出的最值，从而得到实数的值。【题目详解】（Ⅰ）由题可得函数的的定义域为，；（1）当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间（2）当时，恒成立，则单调递增区间为，无单调递减区间；（3）当时，令，解得：，令，解得：，则单调递增区间为，单调递减区间为；综述所述：当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单