考研数学知识点合集概率论高数线代版

一.B1B2,,Bn1设AA都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：B1,B2,,两两互不相容P(Bi)0(i1,2,,n)AnP(Ω)=1，P(A)P(B1)一.B1B2,,Bn1设AA都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：B1,B2,,两两互不相容P(Bi)0(i1,2,,n)AnP(Ω)=1，P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|。A1A2PAiP( 2，…，nn11,2nA1P(A)2°P(1P(2P(n 则，，n设任一事件A，它是由1,2m组成的，则P(B)P(A/B/A) i=P()P()P(j12mn（iiA当作观察的“结果”，而B1 理解为“贝叶斯PAB)PA)P(BA、BA=Ω时，PB)=1AB是相互独立的（这个性质不是想当然成立的。ABPA)0，则有P(B|A)AB、AB由定义，我们可知必然事件ØP(B/A)。1对于n个事件类似。P(aXb)F(b)FX间(a,b]的概率。也就是说，分布函数完整地描述分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随对于n个事件类似。P(aXb)F(b)FX间(a,b]的概率。也就是说，分布函数完整地描述分布函数F(x)是一个普通的函数，它表示随机变次试验A发生与否是互不影响的。p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为落入区间（–∞，x]F(xxx, XxkF(xxk0F(x)x1pPn(knAF(x是单调不减的函数，即x1x2，用表 重伯努利试验出现k(0nF(x1)F(x2)F()limF(x)，F()limF(x)F(x0)F(xF(xkPXx)F(xF(x0) |x1,x2,,xk,FP(Xxk p1,p2,,pk。x（1）pk0，kpkF(x) f，，f(xX。（2）kPXx)01 X落在某个区间(ab内的概率表示。定义设X为随机变量，x是任意实数，则函数F(x)P(Xf(x)0f(x)dx。2f(x)dxF()X~B(n,pX|f(x)P(Xk2kC2 p Ck,nnq, p nn P(x1Xxf(x)dxF()X~B(n,pX|f(x)P(Xk2kC2 p Ck,nnq, p nn P(x1Xx2＝F(x2F(x1＝f(x)dxF(x)f(x P(xXxdx)fxk)P(P(Xk) ，0，k0,1,2E,P(A),(古典概型，五大公式，独立性A则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~(P（np=λ，n→∞X()X()xF(x)P(XPXx)0X(XCkk0,1,2,lmin(M,k) NMxP(Xx)P(xXxh) fxNPXx)0h0PXx)0不可能事件（Ø）PXkqk1pk1,2,3,p≥0，q=1-pP(X=1)=p,f(x)f(x)1，生的次数是随机变量，设为X，则可能取值为bX kP(Xk)Pn(k) pCk，其中nq1p,0p1,k0,1,2,,nxab则称随机变量X服从参数为np的二项分布。记为3x(t)F(x) f(x)dx1xF(x)2e0、1x2x2xXx) f(x)dx dx12bbxx。11x1(x)e，xexx0x0x(t)F(x) f(x)dx1xF(x)2e0、1x2x2xXx) f(x)dx dx12bbxx。11x1(x)e，xexx0x0tf(x)1xe22 11exx0F(x)Φ(-x)＝1-Φ(x)Φ(0)＝12XX~N(,2xexdxx2exdxF(x的计算转化为(x的计算，而(x)的值是可以通过查表得到的。00xn1exdx(nx2 x1 P(x1x2)0 (1)(()x1exdx0X 随机变量YX的函数YgXX(x1xf(x)e，布函数F(x)或密度函数f(x)知道，则如何求出、 XXX其中的正态分布或高斯（Gauss）记为YgXFYyfyYX~N(,2fXx1x2,xn,xXf()，P(Xx2npppi1 f(x以ox特别当f(x显然，YgXg(x1),g(x2),,的取值只可能g(xi)互不相等，则Y体沿ox图形的形状变得平坦，所以又称g(x2),g(xn),Y，P(Yyi X~N(,2X4（2）X对于二维随机向量XY)，如果存在非负函数1(（2）X对于二维随机向量XY)，如果存在非负函数1(x,y)f(x,y)D（X，Y）～U（Df(xy)(x,y边分别平行于坐标轴的矩形区域DP{(X,Y)D}f(x,D则称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。（1）（2）f(x,y)dxdy密度为f(x,yX和Y的边缘分布密度为fX(x)f(x,y)dyfY(y)f(x, x22(x)(y)212211 f(x,y)e212112,10,20,||15记为（X，Y）～N（, 2, P{(X,Y)(xi,yj)}pij(i,j1,2,在已X=xi的条件下，Y取值的条件分布X～N（,),Y~N(22 2,数pP(Yy|Xx) F(x,y)P{Xx,Y量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(1,2|X(1x,Y(2y的概jipf(x,f(x|y)fY(（1）0F(x,y)f(x,f(y|x)fX5E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：XY独立充要条件：XY≥nE(Yg(xkF(x,y)F(xE(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：XY独立充要条件：XY≥nE(Yg(xkF(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y（4）EXxfF(,)F(,y)F(x,)0,F(,)E(Y)g(x)fD(X)=E[X-E(X)]2(X)D(X)[xkE(X)]2pk x22(x)(y)2D(X)[xE(X)]f 12 212 21212f(x,y)eD(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+bD(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：XY独立充要条件：XY±±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立XPXxknE(X)xkkE(X)xfnn（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(CiXi)CiE(Xi60-pp(1B(n,np(1G(1p1pp211E[(XE(X))(YE(Y与记号XY相对应，XY的方差D（X）D（Y）可分别记为XX与YYP(k)Cp （k=0,1,2n）kk②二项分布nncov(X,Y)=cov(Y,cov(aX,bY)=ab11E[(XE(X))(YE(Y与记号XY相对应，XY的方差D（X）D（Y）可分别记为XX与YYP(k)Cp （k=0,1,2n）kk②二项分布nncov(X,Y)=cov(Y,cov(aX,bY)=abke③泊松分布P(λ)E(X)=λ，D(X)=D(X)D(YCkk) N④超几何分布P有时可简记为||≤1，当||=1XYNN正相关，当1时P(Xk)pqk11pE(X)=，p1⑥均匀分 ，[a,bb若（X，Y）～N（ ,a(b2 ，2⑦指数分布f(x)=ex11①0E(X)=，7X01qpH(n,M,NnM MNn1 N NN1 (x⑧正态分布X~N(μ,σ2)，f(x) 2E(X)=μ，D(X)=Y的协方差或相关矩，记为XY或cov(X,Y)a2(b11N(,2率P(XG(xi,yjpij(X,Y)为离散型（要求方差有界 E[G(X,Y)]dxdy率P(XG(xi,yjpij(X,Y)为离散型（要求方差有界 E[G(X,Y)]dxdynn1 limXE(Xniikk=1,2,1nlimXi xkiukilimPXxk当X为连续型时切比雪夫大数定律指出，n个相互独立，且具有有限n期望Xk阶中心矩，记为kE(XE(X))k,k1,2,k(xlimPE(X))kpin(xE(X))k当X为连续型时limPpnYk+l阶混合原点矩，记为ukl，E[(XE(X))k(YE(Y（不要求存在方差序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有2lim XniiP(X)8设随机变量有相同 学期望和方差：一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体；而把总（或个体我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量。x1x2xnEXDX20(k1,2,kknXk Ynx，的分布函Fn(x)对任意的实（x,x,,x nnt21x(x)limPkxlim设随机变量有相同 学期望和方差：一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体；而把总（或个体我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量。x1x2xnEXDX20(k1,2,kknXk Ynx，的分布函Fn(x)对任意的实（x,x,,x nnt21x(x)limPkxlime任何未知参数，则称（xx,,x）n n或者简写成 Xnnx1xini1n(xix)22St2 Xn1nxlimxei（与概率论中的方差定义不同np(1n(xix)2Sn1MNN时p(nk不变1nnMkx,k1,2,kCKC NMCkPk(1p)(NinCN1n (xMx)k,k2,3,ni（二阶中心矩1nS* XiX)与概率论中的方差定义相同22CkPk(1p)nk(nenniE(X)，D(X) n9E(S2)2，E(S*2)n12nn 2n1f(t) 2XX2(tinnnni2（1）χ2n注意nnXX,,X相互独立，且服从 nX~E(S2)2，E(S*2)n12nn 2n1f(t) 2XX2(tinnnni2（1）χ2n注意nnXX,,X相互独立，且服从 nX~2(n),Y~2(nXYnW i2i12FXn1Y/n1uu enn2n 2f(u)22nn11 n f(y)11 y1y,u nnn2 1 2 22n的2W2(n)，其n n 220正态分布1t1(n)t(n)1(n,n)F F(n,n Yi2(ni则kZ~(n1n22nki注意X~N(0,1),Y~2x1x2,,xn为来自正态总体N2的一个样本，则样本xu~N XTY/x1x2,,xn为来自正态总体（2）t-1,2,,，即vkvk(1,2,,m)N(,2的一个样本，则样本xx1x2xnXnkt~t(nS 1vk(k1,2,,xini（3）2x1x2,xn为来自正态总N(,1,2,,，即vkvk(1,2,,m)N(,2的一个样本，则样本xx1x2xnXnkt~t(nS 1vk(k1,2,,xini（3）2x1x2,xn为来自正态总N(,2的一个样本，则样本函n (1n),,xi 1(n1)Sm~2(niw1n ,m) xin2(, 其中2(n1)表示自由度为n-12分布i设x1x2,,xn体 1nn(,,,)xmN(,2的一个样本，而y,y,,y为来自正态总体 m ni由上面的m个方程中，解出的m个未知参数N(,22 (1,2,,m即为参数（1,2,,m）的矩估计量当总体Xf(x;1,2,,m，其中1,2,,m/S ~F(n11,n2F/S 11n1n1x)2y)2SS(1i2iii12nLn(1,2,,m)f(xi;1,2,,mi建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。当总体XP{Xxp(x;,,,12mnL(x1,x2,,xn;1,2,,m)p(xi;1,2,L(x1x2,,xn;1,2,,m)k vkEX)(k1,2,m)k1,2,,m处取到最大值，则称1,2,,m,Xx1x,2,, 出发，找出两个统计量 Ln达到最大的1,2,,m,,Xx1x,2,, 出发，找出两个统计量 Ln达到最大的1,2,,m,(x,x,,,x与 nln22(x1x2,,xn)(12，使得区间[1,21(01)的概率包含这个待估参数，0,i1,2,,i为似然方程。由多元微分学可知，由似然方程可以求出 P{12}1i(x1x2,xn)(i1,2,m为i那么称区间[1,2]为的置信区间，1为该区间x1x2,,xn为总体X~N(,2)的一个样 设(x1x,2,,xn为求知参数E间[1,2]。具体步骤如下导出置信区间[1,2]。（）=为即①E（x）=E（，E（2=（设方差2，其中 为已知数。我们知2200 设11(x1x2,,xn和22(x1x,2,xn1nnx是xi是未知参数D(1D2i 1比2ux~N0 (ii)查表找分位位数，使得P(|u|1即limP(|n|)则称n为的一致估计量（或相合估计量xSSP1x x nnn2SSx ,xnn(x)2以1的概率包含x1x2,xnN(,2nx x 00nnn(xx)xxSSP1x x nnn2SSx ,xnn(x)2以1的概率包含x1x2,xnN(,2nx x 00nnn(xx)x0,xSnini以1的概率包含是 的一个点估计，并且知道包含未知参数 的样22(n1)S~2(nx1x,2,xnN(,的一个样本，由于2对于给定的置信度1，查2 是未知的，不能再选取样本函数u。这时可用样本方21n(xi 22出两个分位数1与2，使得由于n12P(12)1来代替 ，而选取样本函2xt~t(nS (n1)S(ii)查表找分位对于给定的置信度1t分位数表，找出分位数12P(|u|1(n1)S12即xP 1 S (n1)S(n1)Sn 221以1的概率包含2(x)nnS21以1的概率包含sin一.x（1）y x112．lim1e；lim1e0公式nuxy21x11vsin一.x（1）y x112．lim1e；lim1e0公式nuxy21x11vv则fxxfx（22 fx2xnx0xn设limfx0limgx0，且 1x efx0gxgx是比fx低阶的无穷l0fxgx是同阶无穷）l1，称fxgx是等价无穷小，记3x5xx2n0x2n1sinx 2x4xx cosx123x1xn1 n n x arctanxx fx~当x0时x2n 1x1x1x21n1xn0xn1cosx~1x21x1~，ln1x~1~，，0型0（2）x变化过程中fxgx皆存（1）xn1xn（n为正整数）xnm（ngA（或则limfxA（或，则f（2）xn1xn（n为正整数）xnM（n g不能得出limfx不存在且不是无穷大量情形，则若limgxAlimhxA，则limfx法则2（型）设（1）limfx，limgx（2）x变化过程中fxgx皆存1（3）limfxA（或g则limfxA（或值，如果对于区间ab上的任一点x（3）limfxA（或g则limfxA（或值，如果对于区间ab上的任一点x，总fxM，M为函数fx在ab上的最大值样可以定义最小值m。3．（值定理）如果函数fx在闭区间abM之间的任何实数c，在ab上至少存在一个，使f推论：如果fx在闭区间ab上连续ffxxfxfx00[0存在1n kf1f基本公式[如果存在nnkn0x0是函yfx的间断点。如果fx在间fb异号，则在ab内至少存在一个点，使f与xxfx00cdcxxsinxcoscosxsintanxsec2cotxcsc2secxsecxtancscxcscxcot实常数）dxxdsinxcos实常数dcosxsindtanxsec2在闭区间ab上连续的函数fx，有以下几个基本1．（界定理）如果函数fx在闭区间ab连续，则fx必在ab上有界区间ab上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。fx0M是区间abx0dcotxcsc2dsecxsecxtandcscxcscxcot1logxa0,aa0,aadlogxaxlnlnxdlnx1xxaxaxlnaa0,adaxaxlnadxa0,a2exarcsinx 1xt存在，且t0dexexdarcsinx dx1xdytt t 1x 1xarccosxdarccosexarcsinx 1xt存在，且t0dexexdarcsinx dx1xdytt t 1x 1xarccosxdarccosddyddytttd2 arctan1xdarctanx 1xdxarccotx darccotx dx1x1xyfx的反函数xgyfx x2alnx2dlnxlnxdlnxa2 dxxx2agy a则f f 1x2ax d1xafdg1 1 二阶gyx2afxgxfxgfxgxfxgxfxgfxff f f fxgxfxgxgxyyx是由Fxy0所确定y的方Fxy0两边的各项对x求导y看作中许出现y变量）g2yfu，ux，如果xx处可导，f在对应点u处可导，则复合函数yfxx处可导，dy du方法得出导数y。yfxgx对应地dyfudufxdyfuduu是自变量或中间变量xt，yt确定函yyx，其中t3在闭区间a,b上连续在开区间ab内可导；则存在a,b，使得yegxlnfx这样就可以直接用复合函数运算法fxx0处可微fxx0求n阶导数（n2在闭区间a,b上连续在开区间ab内可导；则存在a,b，使得yegxlnfx这样就可以直接用复合函数运算法fxx0处可微fxx0求n阶导数（n2，正整数fbfab或写fbfafba有时也写成fx0xfx0fx0x0yn（1）y（2）yaxa0,aaxlnynnynsinx（3）ysin2推论1．若fx在ab内可导，且fx0，则f在a,b内为常数推论2．若fxgxab内皆可导，且fxgx，则在abfxgxc，其c为fxgxnn（4）ycos cosx2yn1n1n1!x(5)ylnnxvxu C nkk nkxxnku0x其中，， nk!nk（1）在闭区间[abv0x假设ux和vxn阶可导。设函fx在闭区间a,b上连续在开区间ab内可导（3）faf则存在abffx（2）在开区间ab内皆可导；且gx则存在abfbf agbgaggxx时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定四．泰勒定理（泰勒公式（数学一和数学二fxx0n阶导数，则有公fxfxfxnfxfx xx xxxxR2n000000 4xx0为函数fx的一个极小值的一个极小值，Rx0xnxxn00Rnx0xx0nxx0为函数fx的一个极小值的一个极小值，Rx0xnxxn00Rnx0xx0nfxx0x0fx同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如exsinxcosxln1x和1x（为实常数）2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式fxx0的区abn1阶导数abn阶连续导数，则对xab，有公fx00我们xfx00x0fx的驻点可导fxfxxxxxRfxx2n0xfxfx xx000 0000fx0不存在，或fx001如果在x0x0x处，有fx0，而在x0x0内的任x处，有fx0fx0为极大x0为极大值点2如果在x0x0xnRnxx 间x0n阶泰勒公式。当如果limRnx0fx0，而在xx内的任一点x处， 设函fx在ab内有定x0是ab内的某一fx0fxx003如果在xx内与xx0000xfx的符号相同，那么fx0不是极值x0fxx0fx00fx00fx00时，fx0为极大值，x0为极大值点。fx00fx0为极小x0为极小值xxxfxfxfxf000的一个极大值，称x0为函数fx的一个极大值xxx0，总有fxfx0fx0为函f5yfx在ab内是凸yfx的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数fx；1．求函数fx在ab上的最大值和最小值的方首先fxab内所有驻点和不可导点x,xfyfx在ab内是凸yfx的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数fx；1．求函数fx在ab上的最大值和最小值的方首先fxab内所有驻点和不可导点x,xfx,,fxfafb1k1kx1x2xk其中最大者fx在ab上的最大值fx在abm其中limfxlimfxxayfxlimfxblimfx， ybyfxxx1212fxfxfxfxfff21 2a0，limfxax12122xfxa0，limfxaxfxI上是凸（凹）yfx（上）yfx是凸（凹）yfx有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则yfx是凸（凹）的。设函fx在ab内具有二阶导数fyaxbyfx的一条斜渐近线。设曲线yfx，它在点Mxy处的曲率k0R1Mxyk13k2如果在ab内的每一点x，恒yfx在ab内是凹fx0，则曲x1．xdxC如果在ab内的每一点x，恒有fx0，则曲612．xdxlnx3．axdx1ax（1）faxbdx1faxbdaxa0,alnexdxexcosxdxsinxsin12．xdxlnx3．axdx1ax（1）faxbdx1faxbdaxa0,alnexdxexcosxdxsinxsinxdxcosxaa（2）faxnbxn1dx1faxnbdaxna0,n6．sec2xdx dxtanx（3）flnxdxflnxdlncos2x7．csc2xdx dxcotx111（4）f f sin2tanxsecxdxsecxcotxcscxdxcscxtanxdxlncosxcotxdxlnsinxsecxdxlnsecxtan2xxx（5）fx2fxdxx（6）faxaxdx1faxdaxlna0,afsinxcosxdxfsinxdsinfcosxsinxdxfcosxdcosftanxsec2xdxftanxdtanfsecxsecxtanxdxfsecxdsecfcscxcscxcotxdxfcscxdcscC13.cscxdxlncscxcotx14． arcsinxCaaa2x 1arctanxCaa2x a16． 1lnaxaCx aa17． lnx ax2ax2a（13）farcsinxdxfarcsinxdarcsin1x设fuduFuC，又x可导，farccosdxfarccosxarccos1x（15）farctanxdxfarctanxdarctan令u1xfxxdxff1x2dxfarccotxdarccot（16）FuCFx7Al2x2然后再作下列三种三角替换之一1farctanx011 dxf d1xxx（）flnxx2a2dxfaxx x22xAl2x2然后再作下列三种三角替换之一1farctanx011 dxf d1xxx（）flnxx2a2dxfaxx x22x2aa（）x2a2dxfxx2aafxdxfxfxf设ux均有连续的导数，设xt 导fttdtGtC，tuxdvxuxvx且，若uxvx使用分部积分法时被积函数中谁看作ux谁看作fftttCdtCxvx有一定规律其中t1xxt的反函数（1）P PxsinaxPxcosax情形xnnnPnxn次多项式a为常数，要进行n次分部积分法，每次eaxsinaxcosaxvx；多项式部分为ux。（2）PnxlnxPnxarcsinxPnxarctanx情Pnxn次多项式取Pnxvx，而lnx，arcsinxarctanx为ux，用分部积分法一次，被积函axx与axbxn 或cxaexb由ex只要令根 gxt，解出xt已经不再有nA0第二类：被积函数含有Ax2Bx如果仍令Ax2BxCtxtA0eaxsinbx，eaxcosbx情形，进行二次分部积xxl22 AA时，先化08a2xxasina2xxatanx2axasec分法，使尽量多的因子和a,b称为变上限积分的函凑x定理（若fx在在ab ftxa fadx fbxxba（2）fx在a,b上连续，则Fx ftdt fxdxaxaa3）ab上可导，且Fx推广Fxfx连续（bfkf分法，使尽量多的因子和a,b称为变上限积分的函凑x定理（若fx在在ab ftxa fadx fbxxba（2）fx在a,b上连续，则Fx ftdt fxdxaxaa3）ab上可导，且Fx推广Fxfx连续（bfkfxkfxdx bbfx12 22aaa212xdx （4）fdx fbcb1aac之外（5）设abfxgxaxbFxf2x2xf1fdx bbxfx在ab上可积，Fxfx在ab上任意aa（6）设abmfxMaxb fxdxMbbbmab则 fxdxFxFbFbbfbf（7）设abaaaafx在ab上连续，则存（注：若fx在ab上连续，可以很容易地用变上限积分的方法来证明fx在ab上可积，牛顿abbabfx在abfxdxfx在ab上连续，若变量替换xt（1）t在,（或,）上连续（2）abtbafxdx0（f奇函数afdx fxdx（f偶函数aax0fx以T为周a为常数dx atb， fbxa设ux,vx在a,b上连续fdx fTxa0bvdxvx ubbuxxxxvxaaa在a,b上可积，则Fx ftdt定义fxvx xbbb或xxxxaaaa9模型 S yxyb121a二．平面曲线的弧长（数学一和数学二模型IIS xyxd221设光滑曲线yyx模型 S yxyb121a二．平面曲线的弧长（数学一和数学二模型IIS xyxd221设光滑曲线yyxaxb[yx有cx2yx1y，ycd弧长S 1yx2ba而dS 1yx2dx也称为弧微设光滑曲rrr在上22r2模型 弧长S rr22IId221xxtt[xtyt设光滑曲yyt,上有连续的导数曲线C的弧长S xt2yt2设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面zczdzzczdz轴的立体截面的面积Sz为已知的连续函数，则立体体xt设曲线 的参数方yt，tabt（,）上有连续导数，且t不变号，t0且连续，则曲边梯形面积（曲线Cxaxbx轴所围V SdzcS ydx ttba（1）yyx0xaxbxx轴旋转一周的体V ybV d2xyxxacV bxya二（2）平面图形由xxy0与直ycydy设平面曲线C 位于x轴上方，它绕x轴一周V xV ybV d2xyxxacV bxya二（2）平面图形由xxy0与直ycydy设平面曲线C 位于x轴上方，它绕x轴一周V xd2yycx轴旋转一周的体dyPxdx1AByyxax它的一个原函数，而任意常数另外再加1yx2b Sx则（2）方程形式：aM1xN1ydxM2xN2ydyM1xdx N2ydy通解则S M21M2x0,N1y3． 的参数方程为xxt，yytt fyx ytxt2yt2Sy u则uxduffu cln|x|Qyx faxbyca0,b令axbycuPxy则abfyCxePx令代入方程求出 dxxcabfyePxdxQxePxdx faxbyca0,b令axbycuPxy则abfyCxePx令代入方程求出 dxxcabfyePxdxQxePxdxdx（3）dyfa1xb1y a2xb2yc2dyPxyQxyab①当11 形，先求出z 1Pxz1a1xb1yc1的解a2xb2yc2令ux ，vy1 Qyvb dx 1Pyxf则a2ub2v vb uab②当0四．全微分方程及其推广（数学一22 Q ux,yC其中ux,y满足dux,yPx,ydxQx,求uxy的常用方法。fa1xb1y a1xb1yc2令ua1xb1yua1b1dxa1b1fu2（1）xdxydydyPxy；2它也是变量可分离方程，通解公式y（c为任意常数（2）xdxydydxy ；CePxdx2（3）ydxxdydydxdlnxdxd1lnx2y2x2yxdxd1lnx2y2x,yx,yx,yPx,ydxQx,x2yuu00x0,y0ux,yxPx,ydxyQx,xdyy（3）ydxxdydydxdlnxdxd1lnx2y2x2yxdxd1lnx2y2x,yx,yx,yPx,ydxQx,x2yuu00x0,y0ux,yxPx,ydxyQx,xdyyd 000xy00xx由Pxyydxx yyux,yPx,ydxyxydxdyx2yPx,ydx得Qxyxdydy xyx求出Cy积分后求出ydxxdyd1lnxyxyx2yxdy xy xyPx,ydxQx,ydy0不是全微分方程x2yxdxx2y2 d不满 2x 但是RxRxyPxydxRxyQxydy0为全xdx d（14）x2y2 ；2x 1xy 221xy2 xdxd arctan y1xy2 Rx,y称为约当因子，Rx,yPx,ydxRx,yQx,ydydux,通解ux,yC任意常数）仍为同方程的解，特别y1xy2（为常数y1x与y2x线性无任意常数）仍为同方程的解，特别y1xy2（为常数y1x与y2x线性无关方程yCyxCy12若y1x，y2x特解，则y1xy2x为对应的二阶齐次线性方程的若yx为二阶非齐次线性方程的一个特解yx为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则yxyx为此二阶非齐次线性方程的一个特 C1y1xC2y2x为对应的二阶齐次线性方程的（C1C2为独立的任意常数）yyxC1y1xC2y2x是此二阶非齐次线性方y1xy2x分别ypxyqxyf1xypxyqxyf2x的特解yxyx12ypxyqxyfxfx的特解12ypyqy特征方程2pqypxyqxyypxyqxyf式1y1xy2x为二阶齐次线性方程的两个解，则它们的线性组合C1y1xC2y2x（C1，C2（1）当p24q0实根1ynfy fxdxnCxn1C yfx,ypyp，原方程pfxp——一阶方程，设其解为pgxC1，ygxC1，则原方程的通解ygxC1dxC2yfy,yppyydpdpdypdp dydx yydp1fy,p——一阶方程， 设其解为pgyC1dygyC xCgy,C 12其中C1y1xC2y2x为对应二阶常系数齐次线齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据fx的形式，先确定特解y的形式，其中y，常见的fx的形式和相对应地y的形式如下：1．fxPnx，其Pnxn次多项2其中C1y1xC2y2x为对应二阶常系数齐次线齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据fx的形式，先确定特解y的形式，其中y，常见的fx的形式和相对应地y的形式如下：1．fxPnx，其Pnxn次多项则方程的通解为yC C112（2）当p24q0 yC1C2xe（3）当p24q0iyexC1cosxC2sin若 不是特征根，则（1yRnxa0xaxn x 其中ai0,1,2,nnyn1pyn2ypyy12ni其中pii1,2,n（2）若0yxRn（3）若0yx2Rnppnp12n2．fxP Pxn次多项式，xxnnyRnyxRnyx2Rne2en则方程通解yC C112n（2）若0k重实根kCCx k sinfxPx3．或n（3）2kk为特征方程的重共轭复根fxP cosxnPnxn次多项式，皆为实常（1）若 不是特征根，则yexRnxcosxTnxsineC DDxD xxCCx k k其中Rx axn1xn01nai0,1,niTx bxn1x n01方程：ypyqyf 其中p,q为常（2）若iyxexRnxcosxTnxsinaba,b a1b1a2b2五．欧拉方程（数学一nnn1x p xypy0 （2）若iyxexRnxcosxTnxsinaba,b a1b1a2b2五．欧拉方程（数学一nnn1x p xypy0 ab0表示向a在向量b上的投影1npii1,2,n为常数称为n阶欧拉方程。令xet代入方程，变为ty是未知函数的微ab0Prjbdydydt dy1dyxdydy aabsina,b x d2dt edyed2de dtdtdxdtdxibk1d2dyab， dt221235abcabc，坐标公式d2yd2yxdx dt aa1ia2ja3ka1,a2,a3bb1ib2jb3kb1,b2,b3cc1ic2jc3kc1,c2,c3ca,b,ccc123abc表示abc为棱的平行大面体几何意设aa1a2a3bb1b2b31．加法aba1b1a2b2a3b3abababab 2．数乘。a1a2a3（是常数角cosa a与b垂aba1b1a2b2b3b3ab设直 的般方程A1xB1yC1zD1，则通过L的所有平面xByCzD222为kAxByCzDkAx设直 的般方程A1xB1yC1zD1，则通过L的所有平面xByCzD222为kAxByCzDkAxByCzD 11 222常记n。法向量mn,p的坐标称为法（线）方向点法式方程已知平面Mx0y0z0其法向量nABC，则平面的方程为，其中kk0,012:AxByCzD 1112:A2xB2yC2zD2AxxByyCzz000或nrr0其中r0x0y0z0rxyAxByCzD的的方程为AxByCzD0设平面Mx1y1z1M到平面的距离dAxByCz0Ax1By1Cz1dAxByD0zA2B2CAxD0yOzx0yOzAxyz,z，,,, x y zlmnxx1x2yz其中x0y0z0为直线lmn为直线的y2 z2xyz 1与2夹角cos A1A2B1B2C1CA2B2C2A2B2C A1A2B1B2C1C2A1B1C1D1 C2 D2A1B1C1D1 a与b平aba1a2 xx0AxByCzDL的方程为yy0zz0x y zlmnAxyzBxz xxxx0AxByCzDL的方程为yy0zz0x y zlmnAxyzBxz xxyyz111x2 y2 z2A1xB1yC1zD1，方向向量xByCzD222四．方向导数与梯度（数学一SA,B,CA,B,C :xyzLzxy在平面上过点Py1lmn111 :x yzlcoscos的方向导L2lmn222fx0tcos,y0tcosfx0,y0x0,y0ttzfxyP0x0y0处的梯度fx0,y0fx0,y0gradfx0,y0,gradfx0,y0x0,1zfuvuuxyvvx平面的方程为：L1L2间夹角 l2m2n2l2m2 l1l2m1m2n1n2l1m1n1 L 间夹（sin AlBmCn A2B2C2l2m2n2L与垂直条件lmn L与平行条件AlBmCnL与重合条件AlBmCnL上有一点在（2）xxyzxFyxzzuzv；zzuz u v u v yyzxF（2）xxyzxFyxzzuzv；zzuz u v u v yyzxFz； 2ufxyzzzxzfx,y的极值fxx,yff fyfz第一步求出驻点fyxk,ykk1,2,,l第二步令,yfx,yf,yfk k3ufxyzyyxz0fxkyk若ffyxf z若讨论0fxkyk若4．wfuv，uuxyz，vvxyfxxxkyk0fxkykfufuvf f二．求多元n2函数条件极值的拉格朗日乘子求ufx1,xnuvfufuv1,xnmx,x n作mFFx1,,xn,1,,mfx1,,xniix1,,xnFxyz（1）确定zzx,y F FzzydfF 2x,1yc关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二DID的要求，又不符合模II中关D的要求，那么就需要把D分解成一些小区III中关于ydfF 2x,1yc关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II把二DID的要求，又不符合模II中关D的要求，那么就需要把D分解成一些小区III中关于反过来化为二重积求出它的积分区域D然后根据D n 1x1,,xn x,,x n, l是有可能的条kkk 求出1n先固定Dx,yaxb,xy12D,,12其中1x，2x在ab上连续，fx,yD则fxydfx其中在上连续12DDxfx,bfxyfcos,sinD上连续，fx,ydfcos,sind 21xaDx,ycyd,yxDD12 1 模：设有界闭区域12其中1y，2y在cd上连续fx,y则fxydfx其中,在0,2上连续12DDVf2x,yf1x,fxyfcos,sinD上连续，fx,ydfcos,sindD其中D为闭曲面在xy平面上投影区域DDzf2xVf2x,yf1x,fxyfcos,sinD上连续，fx,ydfcos,sindD其中D为闭曲面在xy平面上投影区域DDzf2xyzf1xy 2fcos,sin 20D,,0z zA1xy DDSxySzzx, , 其上连续，fxyfcos,sinD上连续，（1）设DDx,y,zzx,yzzx,y,x,y fcos,sin 12 模：设有界闭区域其中D是xyD,02,0z1xyz2xyD上连续fxyz在zx,yfx,y,zdv fx,y,2z1x,yD（2）设xyzzxy 0,2 Dz为竖坐标为其上连续，的平面上的有界闭区域fxyfcos,sinD上连续，fx,ydfcos,sinfx,y,dv DzDDfcos,sin 00fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdd相当于把xy化为极坐标,z保持不变xsincos设空间曲线L的参数方程xxtyytzzt，t则xsincos设空间曲线L的参数方程xxtyytzzt，t则ysinsin0z02fx,y,dS fxt,yt,ztxt2yt2zt2L（假设fx,y,zxtytzt皆连续）二．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分fx,y,Pxyz，Qxyz，RxyzL上皆有定义，把L任意分成n段，S1S2Sn，在Sk1kn上起点坐标为xk1yk1zk1，终点坐fsincos,sinsin,cos2sindd然后再根据,,一．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分空间情形：空间一条逐段光滑曲线L上定义函数fxyz，把曲线Lnx,z（L的定向决定起点和终点） xx，yy，zz， k k k1kn再在Sk上任意一点k,ksk考虑极S1S2SnSk1kn上任取一点nk,ksk，如果对任意分割，任意取点，下列极0k意取点，上述极限皆存在并且相等，则称此极限值为PxyzQx,yzRx,yz对空间曲线Lnlimfk,k,sk0k（k段曲线的弧长，又表示第Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,maxSkL则称此极限值为fx,y,z在曲L上的第一类曲Lfx,y,FLFPx,y,z,Qx,y,z,Rx,y,其中dSdx,dy,如果曲线L是封闭曲线，也记 Px,y,zcosQx,y,zcosRx,y,zcos其中 ，cos， Px,y,zcosQx,y,zcosRx,y,zcos其中 ，cos， zztA对应参数为，终点B（注意：现 和的大小不一定）如PxyzQx,yzRx,yz皆连续xtytzt也都连续，x,y,z处沿定AB方向的切线的方向余xyDL所围成的单连通区域。当L正定向移动时区域DL的左PxyQxyD上有连续的一阶Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,LxyzPxt,t,tQt,t,ttRt,t,ttdxdyLPdxxDxy平面上有界闭区域D是n1连通区域（也设L 平面上一个逐段光滑有定向的曲线Px,yQx,yL上连续L的正定向移动时区域D在它的左边这个原Px,ydxQx,ydyPx,ycosQx,ycos其中 ，cos为曲线弧在点x,y处沿定设L 为空间一条逐段光滑有定向的曲线Px,yzQx,yzRx,yzL上连续，Px,y,zdxQx,y,zdyRx,y,Px,y，Qx,yD上有连续的一阶偏导则 dxdy Pdx yDLnlimfk,k,skn0k则称这极限值为fxyzS上的第一类曲fx,y,S dxdy Pdx yDLnlimfk,k,skn0k则称这极限值为fxyzS上的第一类曲fx,y,SPdxQdyPdxkFPx,yQx,y的分Px,yQx,y1D内任意一条逐段光滑闭曲线L设曲Szzx,yx,yDzx,y在D上有连续偏导数。fx,yzS上连续PdxQdyL2LABDPdxQdyz zfx,y,zdSfx,y,zx,y1xy 于起点A和终点B，与曲线L SD3PxydxQx,ydyduxy成立二．第二类曲面积分（对坐标的曲面积分S为分块光滑有向曲面（已指定一侧为定向Px,yzQx,y,zRx,yzS上有定义，把S任意分成n个小曲面S1S2Sn，而Sk1knyz平面上投影的面积记以Skyz，4．D内处处 y成立5．向量场FPx,yQx,y是有势场，即存在元函数Vx,y，具FgradV，Vx,y称为势PxQy。一．第一类曲面积分（对面积的曲面积分zx平面上投影的面积记以Sxyk面积记以S，又在S1kn上任取一点kkk,ksk，令是各小块曲面直径的最大值，考虑限SfxyzSSn块小曲面S1S2Sn nSkk,k,sSkkSkPk,k,sk,skS(1kn上任取一点,s，把小曲面这个极限限PxyzQxyzRxyz在k k的面积也记以SkFPQcos,cos,cosPdydzQdzdxRdxdyFn0Px,y,zdydzQx,y,zFPQcos,cos,cosPdydzQdzdxRdxdyFn0Px,y,zdydzQx,y,zdzdxRx,y,SSS如果FPQRdSdydzdzdx设是由分块光滑曲面S围成的单连通有界闭区域，Px,yzQx,yzRx,yz在上有连续的一FS如果S的方程zzx,yx,yzdvPdydzQdzdxzx,y在 上连续，Rx,y,z在S上连续，SRx,y,zdxdyRx,y,zx,SPcosQcosRcosSz轴正向成锐角取类似地，曲面S的方程表示为xxyzyzDyz，Px,y,zdydzPxy,z,y,S其中coscoscosS在点xyz设是n1连通区域，外面边界曲面S0为外侧S1knkSS指定一侧的法向量与x轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，如果曲面S的方程表示为yyz,xz,xDzx，则Qx,y,zdzdxQx,yz,x,0有界闭区域，Px,yzQx,yzRx,yz在SPzdv PdydzQdzdxS0nPQR有些为0PdydzQdzdxk1定理L是逐段光滑有向闭曲线S是以L为边界的分块光滑有向曲面L的正向与S的侧（即法向量的指向）符合右手法则，函PxyzQx,yzRx,yz在包S的一个空间区PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcosSS其中coscoscos为曲面S在点x,yz处根据ijk旋度rotFFLPdxQdyRdzSQ y ixjyQRPdydzijk旋度rotFFLPdxQdyRdzSQ y ixjyQRPdydz dzdx xyzS Fdr rotFn0LSn0cos,cos,coscosPdxQdyRdzLS（1）如果un和vnab设uuxyz算, aunbvnaunxyz,uuugradu u称为uxyFPxyzQxyzRxy u收敛的必要条件是limu0ndivFPQRFF的散 （1n1度高斯公式可写成divFdvFn0lim(1)n1不存在，因此收敛级数的必要条件不满足，S111满足 0但n0cos,cos,cosn1n1n却是分散的。所以满足收敛级数的必要条件limun0设FPxyzQxyzRxy如果vn收敛，则unarna如果un发散，则vnan1设un0vn0n1,2,3,u若 如果vn收敛，则unarna如果un发散，则vnan1设un0vn0n1,2,3,u若 nnn1n（1）当0Aun与vnp1n1n1（2）A0时，若vn收敛，则unp1pn1（3）A时，若un收敛，则vn（p1pn 1面用特殊的方法可知n1n6设u0，而limun1nun若un0(n1,2,3,则un（1）1时，则un时Sn1Snn1,2,3,所以Sn是单调增加是否收敛就只取决Sn（2）1（）时，则un（3）1u因此u收敛Snnn设u0，而limn nn设c0nNcvnun0（1）1时，则un（2）1（）时，则un11un或 un一定是发散的n1n1（3）1设n n（1）p（2）1（）时，则un11un或 un一定是发散的n1n1（3）1设n n（1）p1 n（2）当0p1若u0 u1nn（3）p0时n一．函数项级数及其收敛域与和函数（数学一设交错级 1ununxn1,2,3,皆定义在区间I上，则（1）un1unn1,2,3,（2）limununx称为区间I上的则1n1u收敛n且01n1nx0I，如果常数项级数unx0若收敛，则un是函数项级数unx的收敛点如果unx0发散，则x0是unx的发散点若收敛，则称un函数项级数x的所有收敛点构成的集合n若un收敛，而发散，则称un在unx的收敛域的每一点都有和，它与x有关两种情形的收敛域就确定的。而(3)Sxunxx如果liml（包括）或limn l（naS(x)为函数项级数unx的和函数，它的n括R1（若lR0；若l0lR两种情形的收敛域就确定的。而(3)Sxunxx如果liml（包括）或limn l（naS(x)为函数项级数unx的和函数，它的n括R1（若lR0；若l0lRax称为(x)数，n00R； gx当x0时 f(x)x 0nn1nx一般讨论anxn则anbnxnfxminR1,R2出有关axxnn0nn anxbnx abakbnkanb0xfxgnn minR1,R2x幂级数anxn（1）收敛域为(,anxnann的收敛半径R0设幂级数（2）anxnSxanxn（3）(RR)(RR或RR)（1）Sx在RR内可导，且有逐项求导R,x Sxxnnnnn R(0R（1（2）求导后幂级数的收敛半径不变，因此得出SxR,R内有任意阶导数，公式1n，1 xnn1 nk1，xexRk1,2,3,（2）Sx在RR内有逐项积分公xx2n（3）sinxxxStxnxnaR,R内有任意阶导数，公式1n，1 xnn1 nk1，xexRk1,2,3,（2）Sx在RR内有逐项积分公xx2n（3）sinxxxStxnxnatnx00 ncosxxSxRR 1n ln1x，1x1a（3）nn1nx1 （6）1n（i）limSxanRn1x1（为实常数SxanR成立nxR SRdxRn1n0n0aRn1成立S0dxn（强化班再讨论（iii）nanxn1xRRSR不一定成S也 n设函数fx在xx0的某一领xR逐项求导n0xnfnx0xx 称为函数任意阶导数，则级数 na 在xR一定发逐项nfxx0处的泰勒级（注：这里泰勒级数是否收敛？是否收敛于fxa xRR有可能收敛n0n0fnxn称为fx的麦克劳林级数x例：cosxsinx n，xfxxR11 xnxn11xn fnxfxfxfxfxxxxxxxR02n x00n0 Rnxn阶余项，它的拉格朗日型11 ex例：cosxsinx n，xfxxR11 xnxn11xn fnxfxfxfxfxxxxxxxR02n x00n0 Rnxn阶余项，它的拉格朗日型11 e t nxxxRx 0x0n x21nxn01x 1x2，fxnxnx00的充要条件为limRxxn0fxx0处幂级数展开式是唯一的而tnxx1010特别地，x001xnln2nfxaxxnxn00x xarctanxndtt2dt x0n012n2n0,1,2,0an1x1例exnx4arctan1x2nsinx nx1，2n11n1 1nx，1（为实常数x①ABB②ABCABC A初等变换分③cABcA④cdA①ABB②ABCABC A初等变换分③cABcA④cdAcdcdAcAA②用非零常数ccA0c0A0。,,, s 01000200c11c22css013 1204A的转AT（AATTABTATcATcAT000的个数自上而下严格单调上升，直到全为0。台角：各非零行第一个非03n阶矩nn列的矩阵对角线，其上元素的行标、列标相等a11a22A是阶梯形矩阵A如0对角矩阵0030数量矩阵10 100E或010单位矩阵②用一个非0数c*上（下）三角矩阵 A1①写出增广矩阵A，用初等行变换化A为阶梯形矩阵B。②用B判别解的情况如果B最下面的非零行为0,,0d，则无解，如果有解，记是B的非零行数nn aa ①写出增广矩阵A，用初等行变换化A为阶梯形矩阵B。②用B判别解的情况如果B最下面的非零行为0,,0d，则无解，如果有解，记是B的非零行数nn aa an二．定义（完全展开式acbdad去掉B的零行，得0，它是nnc0n阶梯形矩阵，从而是上三角矩00**00***0*an*0000一个nB**0bnn①是n!则 00b都不为0na1ja2 n于是把的梯00j1j2jn是1,2,n0c10100000③a1j0c21n0j1j2jn1nc1j1j2jn1,2,,c即cc,就是解 n1j1j2jnj1j2 1j12 第二讲200000*0*****nn1bb1 如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。代数余子式之和为0。221n2nn三．计算（化零降阶法 A0BB 11(aaC2 niA1ij定理00000*0*****nn1bb1 如果一个行列式某一行（列）的元素全为0或者有两行（列）的元素成比例关系，则行列式的值为0。代数余子式之和为0。221n2nn三．计算（化零降阶法 A0BB 11(aaC2 niA1ij定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列Da a 21 222nAADD1,2,,nAAA2．用一个数c乘某一行（列）的各元素值乘A b2A的第i列 Di bn,,, 12A1,2,3，3B1,2,3A即唯一解0AAA0A证明A行BrAB11,22,3311,22,3A0AB1,22,31,22,33AB0时A0BA0AB0BA0ABACBC（无左消去律***0***Br000b00bAB0时A0BA0AB0BA0ABACBC（无左消去律***0***Br000b00b0，则bii0i若唯一解，则B|rn个非零行，且最下面的行不是0,,0|d于是b0，从而每0AnBAAA，A0A行Br行EAk Ak但是ABkAkBk设fxakxak1 a1xa0 k0A第三讲矩阵fA Ak1aAakk10是一个矩阵，记作AB。Amn矩阵，Bns矩阵时，ABmsAB的ijA的第iBj列对应元AB2A22ABBA2B2ABA‖A2ABBAB？kABBAA k C Cijai1b1jai2b2k2A3EA3EAEABBAB 12cABcAB②结合律ABCABC③ABTBT（1）mnA1,2,,n，n维列向bb,bT nAbbb1 2n41,2,,n的线性组合，组合系数是B的第i个列向组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。bbaabb13112313a23b2b3a23bbaabb331,2,,n的线性组合，组合系数是B的第i个列向组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。bbaabb13112313a23b2b3a23bbaabb33313332BTa11a12a13 次乘A的各列向量。次乘A的各行向量。AEAEAAAkEkAkEAkAb1a21b2a22b3a23b11b22a a31 3233 baa222n2am2amnxm1记A是系数矩阵，A1,2,,n，设（1）EijE的第ijE的第ixx,,xT1na1na21x1a22x2a2nAxamnxnam1x1am20001000100010000Ax，b,b,,bTn5，E2,412mxxx1 2n（2）Ei(c)：用数c0E的第i行或第i（2）ABCB12,sCr1r2rs则riAii1,2,ABA1A2,As0c0000010000010n5，E2(c)（3）Ei,j(c)E的第j行的c倍加到第ib1s a2n, ,b2sE的第i列的cj , ,amnbns 于是riAib1i1b2i2bni即AB的第i个列向量ri是A的列向量组50100000100c00100000n5，E1,4(c)Akk0001,2,3,4,50100000100c00100000n5，E1,4(c)Akk0001,2,3,4,500000000000Bkk0000100000100c0010对一n阶矩A，规定trAA的对角线上元素之和称为A的迹数。TkTk1trTk11,2,3,4,51,2,3,c14,5ABC若知道CA，B中的一个，求另一个，这AB一般法则：在计算两个矩的乘积时，可AB用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求向分割与B的横向分割一致。A的IAxIIxAAA行BTATBTExTA12B12B22，BA22AB的行数相等，AB1i2当a0a11a对abaca1，得bcAn阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得逆矩阵，证作A1A21A11A22A11B12A12B22A21B12A22B226ABACBC。BACABCB1A1AAB都可逆ABEi,j1Ei,1AE AABACBC。BACABCB1A1AAB都可逆ABEi,j1Ei,1AE A cHAxExAEEi,jc1Ei,j0AxEBxAEA一解，记作CABECAEBCABCABEijc1000000000000AA1AxE命题：准对角矩阵AA的方程（初等变换法AE行A1ABEBAA0000000000 100AT也可逆，且AT1A1TAk也可逆，且Ak1A1k每个nA*数c0cAcA11A1An1cA*AnAcAAnn11 c E c AA*A*AA700A0A00000 bdn2AaaAA 0 b baa A00A0A00000 bdn2AaaAA 0 b baa Annnn*ddi)任何两个的次序可交换，如AT*A*T，A*1A1*AAA得 ，当n2Aii)ABTBTAT,AB*B*AB1A1db b ad要证A*AAAxB，x第四讲A*A1A得A*1A1可以用1,2,,s线性表示，即A*AA为1,2,,s的线性组合，也就是存在c1c2,cs得An1A*①c11c22css记号1,2,,②AT*A*T④AB*B*⑤Ak*A*k例如01,2,,i1,2,,,,,xxx s12s解⑥A**An2A1,2,sx有解8AAAAAxx,,xT量 可用其线性相关：存在向i1s1,,i1,i1,,s2．1,2,,t1,2,,线性无关