模糊数学课件

模糊集的基本概念

模糊數學是研究和處理模糊性現象的數學方法.眾所周知，經典數學是以精確性為特徵的.

然而，與精確形相悖的模糊性並不完全是消極的、沒有價值的.甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好.

例如,要你某時到某地去迎接一個“大鬍子高個子長頭髮戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”.

儘管這裏只提供了一個精確資訊――男人，而其他資訊――大鬍子、高個子、長頭髮、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人.

模糊數學在實際中的應用幾乎涉及到國民經濟的各個領域及部門，農業、林業、氣象、環境、地質勘探、醫學、經濟管理等方面都有模糊數學的廣泛而又成功的應用.§1.2模糊理論的數學基礎經典集合經典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重複性；範圍邊界分明,即一個元素x要麼屬於集合A(記作x

A),要麼不屬於集合(記作x

A)，二者必居其一.

集合的表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，則x

B；

A

B

若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.

集合A的所有子集所組成的集合稱為A的冪集，記為

(A).並集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；餘集Ac

={x|x

A}.集合的運算規律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合的直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.映射與擴張映射f：X

Y集合A的特徵函數：特徵函數滿足：取大運算,如2∨3=3取大運算,如2∧3=2擴張：點集映射集合變換二元關係

X

Y的子集R稱為從X到Y的二元關係，特別地，當X=Y時，稱之為X上的二元關係.二元關係簡稱為關係.

若(x,y)R，則稱x與y有關係，記為R(x,y)=1；

若(x,y)R，則稱x與y沒有關係，記為R(x,y)=0.

映射R:X

Y{0,1}實際上是X

Y的子集R上的特徵函數.關係的三大特性：

設R為X上的關係

(1)自反性：若X上的任何元素都與自己有關係R，即R(x,x)=1，則稱關係R具有自反性；

(2)對稱性：對於X上的任意兩個元素x,y，若x與y有關系R時，則y與x也有關系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那麼稱關係R具有對稱性；

(3)傳遞性：對於X上的任意三個元素x,y,z，若x與y有關系R，y與z也有關系R時，則x與z也有關系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那麼稱關係R具有傳遞性.

關係的矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y的二元關係，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R的關係矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣.關係的合成

設R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}關係合成的矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的關係R1=(aik)m×s，Y到Z的關係R2=(bkj)s×n，則X到Z的關係可表示為矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…

例設X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–

z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2的合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.合成(°

)運算的性質：性質1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.關係三大特性的矩陣表示法：

設R為X={x1,x2,…,xn}

上的關係，則其關係矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R具有自反性

I≤R；(2)R具有對稱性

RT

=R

；(3)R具有傳遞性

R2≤R

.

若R具有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…下麵證明：R具有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設R具有傳遞性,即對任意的i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對任意的i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，即ris=1,rsj=1.

由於R具有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.綜上所述

R2≤R.

設R2≤R，則對任意的i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，因此∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R具有傳遞性.集合上的等價關係

設

X上的關係R具有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R為X上的等價關係.

若x與y有等價關係R，則記為x

y.集合上的等價類

設

R是X上的等價關係，x

X.定義x的等價類：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合的分類

設

X是非空集，Xi

是X的非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱集合族{Xi

}是集合X的一個分類.

定理：集合X上的任一個等價關係R可以確定X的一個分類.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒有關係R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)由於R具有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x有關系R，與y也有關系R.由於R具有對稱性，所以x與z有關系R，z與y也有關系R.又由於R具有傳遞性，x與y也有關系R.這與題設矛盾.

(3)略.例設X={1,2,3,4},定義關係R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數；R3

：xi+xj=5.

則關係R1是傳遞的，但不是自反的，也不是對稱的；容易驗證關係R2是X上的等價關係；關係R3是對稱和傳遞的，但不是自反的.按關係R2可將X分為奇數和偶數兩類，即X={1,3}∪{2,4}.按關係R3可將X分為兩類，即X={1,4}∪{2,3}.格

設在集合L中規定了兩種運算∨與∧,並滿足下列運算性質：冪等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱L是一個格，記為(L,∨,∧).

設(L,∨,∧)是一個格，如果它還滿足下列運算性質：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿足：

0-1律：在L中存在兩個元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時又稱

(L,∨,∧)為完全格.

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規定一種餘運算c，滿足：還原律：(ac)c=a；互餘律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(L,∨,∧,c)為一個Boole代數.

若在具有最小元0與最大元1的分配格

(L,∨,∧)中規定一種餘運算c，滿足：還原律：(ac)c=a

；對偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(L,∨,∧,c)

為一個軟代數.

例1任一個集合A的冪集

(A)是一個完全格.

格中的最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，並且(J(A),∪,∩,

c)

既是一個Boole代數，也是一個軟代數.

例2記[0,1]上的全體有理數集為Q，則(Q,∨,∧)是一個完全格.

格中的最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義餘運算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)

不是一個Boole代數，但它是一個軟代數.§1.3模糊子集及其運算模糊子集與隸屬函數

設U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數，它表示x對A的隸屬程度.

使A(x)=0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性.

當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經典子集，而A(x)就是它的特徵函數.可見經典子集就是模糊子集的特殊情形.

例設論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那麼U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：模糊集的運算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；並：A∪B的隸屬函數為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B的隸屬函數為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；餘：Ac的隸屬函數為Ac(x)=1-

A(x).

例設論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個模糊集：A=“商品品質好”，B=“商品品質壞”，並設A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品品質不好”,Bc=“商品品質不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.模糊集的並、交、餘運算性質

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對偶律的證明：對於任意的x

U(論域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)

=Ac∩Bc(x)

模糊集的運算性質基本上與經典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac

U，A∩Ac

.

模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質特徵.§1.4模糊集的基本定理(A)

=A

={x|A(x)≥

}

-截集：

模糊集的

-截集A

是一個經典集合，由隸屬度不小於

的成員構成.

例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學習成績好的學生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，則A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}.

定理1設A,B(U)(A,B是論域U的兩個模糊子集)，,[0,1]，於是有

-截集的性質：(1)A

B

A

B

；(2)

≤

A

A

；(3)(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

.定理2(分解定理)設A(U)，

x

A，則A(x)=∨{

，

[0,1]，x

A

}定義(擴張原理)設映射f：X

Y，定義f(A)(y)=∨{A(x)，f(x)=y

}§1.5隸屬函數的確定1.模糊統計方法

與概率統計類似，但有區別：若把概率統計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內，則把模糊統計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”.2.指派方法

一種主觀方法，一般給出隸屬函數的解析運算式。3.借用已有的“客觀”尺度

擴展原理，又稱擴張原理，是模糊集理論的基礎原理，它將一個X到Y的映射f擴展成一個F(X)到F(Y)的映射（也稱X到Y的模糊映射）.擴展原理§1擴展原理的幾種表示形式一、經典擴展原理二、擴展原理

集合套的觀點由表現定理,一個集合套唯一確定一個模糊集.由表現定理,一個集合套唯一確定一個模糊集.擴展原理I定理1擴展原理III證明(1)擴展原理II擴展原理I(2)擴展原理II擴展原理I經典擴展原理性質經典擴展原理性質模糊集合論中擴展原理的性質可達擴展原理III定理2（複合函數的擴展原理）一元擴展原理§2多元擴展原理一元擴展原理多元擴展原理二元擴展原理回顧一元擴展原理定理1模糊集的卡氏積隸屬函數為定理2證明 僅證(1)式同理可證(2)式成立.定理3證明一元擴展定理I定理2集合套的觀點隸屬函數的觀點集合套的觀點二元擴展原理I二元擴展原理II二元擴展原理III二元擴展原理隸屬函數為實數集上的模糊集之間的代數運算

模糊關係§1模糊關係一、經典集合論中的關係二、模糊關係定義三、截關係1.定義§2 二元對比排序

二元對比排序的思想在前面第二章已做過簡要介紹，此處從略.§3 模糊關係的合成一、經典關係的合成二、模糊關係的合成1.定義定義（複合）下麵我們用關係套來研究模糊關係合成.利用經典關係的合成，由表現定理，H可以唯一確定一個模糊集.定理1合成運算的兩種定義方式(1)隸屬函數(2)集合套有限論域上的模糊關係的合成

有限論域上的模糊關係可以用模糊矩陣來表示.

有限論域上的模糊關係合成可以用模糊矩陣的乘積來表示.三、模糊關係合成運算的性質性質1（結合律）推論性質2推論性質3次分配律合成運算不滿足交換律.四、逆關係的定義1.定義2.逆關係的性質§4模糊等價關係

一、經典等價關係與分類二、模糊等價關係定義1定理1模糊等價矩陣三、模糊相似關係定義1定理1證明(1)同理證明(2)推論1定義2定理2分析定理3推論1定理4定理5平方法從模糊相似矩陣出發，求傳遞閉包的方法.聚類分析使用數學方法對事物進行分類.§5聚類分析(1)數量積法(2)最大最小法(3)算術平均最小法(4)幾何平均最小法(5)絕對值指數法(6)絕對值減數法(7)線段打分法

由第一步得到的模糊矩陣一般只滿足自反性和傳遞性.第二步聚類（一）傳遞閉包法二、聚類理論依據它們各自將X分類.§6用平方法求傳遞閉包的理論依據

直接聚類法的理論依據在§5已作介紹.

模糊关系方程

求綜合決策的逆問題就是解模糊關係方程，它是模糊數學的一個重要的內容.

研究模糊關係方程的相容性及其解法就是我們第六章的主要內容.一、模糊關係方程的一般形式

所以，我們只研究第一種形式的模糊關係方程.二、模糊關係方程的解的結構模糊關係方程有解，即相容.解的全體組成模糊關係方程的解集.§1模糊關係方程相容性條件及其最大解若定義1定理1論域是有限集時模糊關係方程由定理1模糊關係方程可以寫成原方程有解的充分必要條件是特別地，模糊關係方程可以寫成有解的充分必要條件是模糊關係方程模糊關係方程有解的一個判別條件.例1

判斷下麵的模糊關係方程是否有解，若有解，求出其最大解.解原模糊關係方程有解（相容），最大解§2有限集上的模糊關係方程一、一般形式的模糊關係方程模糊關係方程定理2給出模糊關係方程定理2方程(II)有解的充分必要條件是擬極小解Xg擬極小解路徑g定理2分析 若原方程有解.由定理2，簡化矩陣法——擬極小解路徑——擬極小解.總結第一章模糊集合的基本概念第二章模型識別第三章模糊關係第四章擴展原理第五章模糊映射與模糊變換第六章模糊關係方程

模糊集合的基本概念

一、模糊集合論的起源§1預備知識

現實世界中遇到的對象分多是這種模糊的、不確定性的類型，模糊集合正反映了這類“亦此亦彼”的模糊性.

模糊數學是研究模糊現象的定量處理方法. 二、誕生時間、標誌L.A.Zadeh1965InformationandControlFuzzySets

為了與模糊集合相區別，將我們所熟悉的普通的集合稱之為普通集合、經典集合、分明集合.思考： 如何將集合的定義，由普通集合推廣到模糊集合.普通集合

元素對集合的屬於程度最小是零，此時隸屬度為0.

元素對集合的屬於程度最大是百分之百，此時隸屬度為1.普通集合§3模糊子集定義及運算一、模糊子集的概念

以人的年齡作為論域X,模糊集表示“年老”,

表示“年輕”，不妨設X=[0,150].Zadeh給出它們的隸屬函數分別如下：例1Old\youngoldyoungZadeh記法2.序對表示法3.向量表示法二、模糊集合的表示方法三、模糊子集之間的關係與運算

記X上的模糊子集的全體為,稱為X的模糊冪集.四、模糊集合與普通集合之間的關係五、模糊集合間的運算規律

模糊集合間的並、交、補（餘）運算具有如下的性質.1)冪等律2)交換律3)結合律4)吸收律5）分配律

6)零-壹律7)復原律8)對偶律注：模糊集的補運算不滿足互補律，即不一定成立.§4 分解定理與表現定理一、截集與強截集1.定義2.性質性質1性質1'性質2性質3性質4性質5例1解性質6定義2性質7

當 時,稱為正規模糊集.

下麵將要介紹的分解定理就是反映這一事實的. 先來學習數積概念與性質.

從前面介紹的性質可以看出當從1逐漸下降趨於0，而不達到0時，是從的核Ker逐漸擴展為的支集Supp.因此，我們可以將模糊集看作是其邊界在Ker和Supp之間遊移,即將模糊集看作是普通集合族 的總體.1.數積的概念與性質其隸屬函數為二、分解定理定義定理1（分解定理I）證明2.分解定理定理2（分解定理II）定理3（分解定理III）三、表現定理定義1則稱H為X上的集合套.X上的全體集合套記作U(X).例1由分解定理III，可知定義2

在U(X)中定義並、交、補運算如下設定理4（表現定理）§5 表現定理的證明例1定義1例2定義2

模糊聚類分析§2.1模糊矩陣

定義1

設R=(rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣.

當rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣.

當模糊方陣R

=(rij)n×n的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.定義2設A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A

=B

aij=bij；包含：A≤B

aij≤bij；並：A∪B

=(aij∨bij)m×n；交：A∩B

=(aij∧bij)m×n；餘：Ac

=(1-

aij)m×n.模糊矩陣的並、交、餘運算性質冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：

A∪O=A，A∩O=O；

A∪E=E，A∩E=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc,

(A∩B)c=Ac∪Bc.模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪

設A

=(aik)m×s，B

=(bkj)s×n，定義模糊矩陣A與B的合成為：A

°

B

=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊方陣的冪

定義：若A為n階方陣，定義A2

=A°

A，A3

=A2

°

A，…，Ak=Ak-1°

A.合成(°

)運算的性質：性質1：(A°

B)°C=A°(B°C)；性質2：Ak

°

Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質3：A°

(B∪C)=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質5：A≤B，C≤D

A°

C≤B°

D.注：合成(°

)運算關於(∩)的分配律不成立，即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)模糊矩陣的轉置

定義設A=(aij)m×n,

稱AT

=(aijT

)n×m為A的轉置矩陣，其中aijT

=aji.轉置運算的性質：性質1：(AT)T

=A；性質2：(A∪B)T

=AT∪BT，

(A∩B)T

=AT∩BT；性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n；性質4：(Ac)T=(AT)c；性質5：A≤B

AT≤BT.證明性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；(An)T=(AT)n.證明：設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,

記(A°

B)T=(cijT

)n×m,AT

=(aijT

)s×m,

BT

=(bijT

)n×s,

由轉置的定義知,

cijT

=cji,aijT

=aji,bijT

=bji.

BT

°

AT=[∨(bikT∧akjT

)]n×m

=[∨(bki∧ajk)]n×m

=[∨(ajk∧bki)]n×m=(cji)n×m

=(cijT

)n×m=(A°

B)T.模糊矩陣的

-

截矩陣

定義7設A=(aij)m×n,對任意的

∈[0,1]，稱A

=(aij(

))m×n,為模糊矩陣A的

-

截矩陣,其中

當aij≥

時，aij(

)=1；當aij＜

時，aij(

)=0.

顯然，A的

-

截矩陣為布爾矩陣.

對任意的

∈[0,1]，有性質1：A≤B

A

≤B

；性質2：(A∪B)

=A

∪B

，(A∩B)

=A

∩B

；性質3：(A°

B)

=A

°

B

；性質4：(AT

)

=(A

)T.下麵證明性質1：A≤B

A

≤B

和性質3.性質1的證明：A≤B

aij≤bij；當

≤aij≤bij時，aij(

)=bij(

)=1；當aij＜

≤bij時，aij(

)=0,bij(

)=1；當aij≤bij＜

時，aij(

)=bij(

)=0；綜上所述aij(

)≤bij(

)時，故A

≤B

.性質3的證明：設A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,A°B=C=(cij)m×n,cij(

)=1

cij≥

∨(aik∧bkj)≥

k,(aik∧bkj)≥

k,aik≥

,bkj≥

k,aik(

)=bkj(

)=1∨(aik(

)∧bkj(

))=1cij(

)=0

cij＜

∨(aik∧bkj)＜

k,(aik∧bkj)＜

k,aik＜

或bkj＜

k,aik(

)=0或bkj(

)=0∨(aik(

)∧bkj(

))=0所以,cij(

)=∨(aik(

)∧bkj(

)).(A°

B)

=A

°

B

.§2.2模糊關係

與模糊子集是經典集合的推廣一樣，模糊關係是普通關係的推廣.

設有論域X，Y，X

Y的一個模糊子集R稱為從X到Y的模糊關係.

模糊子集R的隸屬函數為映射R:X

Y[0,1].並稱隸屬度R(x,y)為

(x,y)關於模糊關係R的相關程度.

特別地，當X=Y時，稱之為X上各元素之間的模糊關係.模糊關係的運算

由於模糊關係R就是X

Y的一個模糊子集，因此模糊關係同樣具有模糊子集的運算及性質.設R，R1，R2均為從X到Y的模糊關係.相等：R1=R2

R1(x,y)=

R2(x,y)；包含：R1

R2

R1(x,y)≤R2(x,y)；並：R1∪R2的隸屬函數為

(R1∪R2)(x,y)=R1(x,y)∨R2(x,y)；交：R1∩R2的隸屬函數為(R1∩R2)(x,y)=R1(x,y)∧R2(x,y)；餘：Rc的隸屬函數為Rc(x,y)=1-

R(x,y).

(R1∪R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關係“R1或者R2”的相關程度，(R1∩R2)(x,y)表示(x,y)對模糊關係“R1且R2”的相關程度，Rc(x,y)表示(x,y)對模糊關係“非R”的相關程度.模糊關係的矩陣表示

對於有限論域

X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，則X到Y模糊關係R可用m×n階模糊矩陣表示，即R=(rij)m×n，其中rij=R(xi,yj)∈[0,1]表示(xi,yj)關於模糊關係R的相關程度.

又若R為布爾矩陣時,則關係R為普通關係,即xi與

yj之間要麼有關系(rij=1),要麼沒有關係(rij=0).

例設身高論域X={140,150,160,170,180}(單位：cm),體重論域Y={40,50,60,70,80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關係.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81模糊關係的合成

設R1是X到Y的關係,R2是Y到Z的關係,則R1與R2的合成R1°

R2是X到Z上的一個關係.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}

當論域為有限時，模糊關係的合成化為模糊矩陣的合成.

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的模糊關係R1=(aik)m×s，Y到Z的模糊關係R2=(bkj)s×n，則X到Z的模糊關係可表示為模糊矩陣的合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.模糊關係合成運算的性質性質1：(A°B)°C=A°(B°C)；性質2：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質3：(A°

B)T=BT

°

AT；性質4：A

B，C

D

A°C

B°D.注：(1)合成(°

)運算關於(∩)的分配律不成立,即(A∩B)°

C(A°

C)∩(B°

C)

(2)這些性質在有限論域情況下,就是模糊矩陣合成運算的性質.§2.3模糊等價矩陣模糊等價關係

若模糊關係R是X上各元素之間的模糊關係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)；

(3)傳遞性：R2

R,

則稱模糊關係R是X上的一個模糊等價關係.

當論域X={x1,x2,…,xn}為有限時,X上的一個模糊等價關係R就是模糊等價矩陣,即R滿足：I≤R

(

rii=1

)RT=R(

rij=rji)R2≤R.R2≤R(

∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij).模糊等價矩陣的基本定理

定理1

若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R),則R2=R.

定理2

若R是模糊等價矩陣,則對任意

∈[0,1]，R

是等價的Boole矩陣.

∈[0,1]，A≤B

A

≤B

；(A°B)

=A

°B

；(AT

)

=(A

)T

證明如下：

(1)自反性：I≤R

∈[0,1]，I

≤R

∈[0,1]，I

≤R

，即R

具有自反性；

(2)對稱性：RT=R

(RT)

=R

(R

)T=R

，即R

具有對稱性；

(3)傳遞性：R2≤R

(R

)2≤R

，即R

具有傳遞性.

定理3

若R是模糊等價矩陣,則對任意的0≤

＜

≤1,R

所決定的分類中的每一個類是R

決定的分類中的某個類的子類.

證明：對於論域X={x1,x2,…,xn}，若xi,xj按R

分在一類，則有rij(

)=1

rij≥

rij≥

rij(

)=1，即若xi,xj按R

也分在一類.

所以，R

所決定的分類中的每一個類是R

決定的分類中的某個類的子類.模糊相似關係

若模糊關係R是X上各元素之間的模糊關係，且滿足：

(1)自反性：R(x,x)

=1；

(2)對稱性：R(x,y)=R(y,x)

；則稱模糊關係R是X上的一個模糊相似關係.

當論域X={x1,x2,…,xn}為有限時，X上的一個模糊相似關係R就是模糊相似矩陣，即R滿足：

(1)自反性：I≤R

(

rii=1

)；

(2)對稱性：RT=R

(

rij=rji

).模糊相似矩陣的性質

定理1

若R是模糊相似矩陣，則對任意的自然數k，Rk也是模糊相似矩陣.

定理2

若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數k(k≤n)，對於一切大於k的自然數l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價矩陣(R2k=Rk).此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.

上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包t(R)：R

R2

R4

R8

R16…§2.4模糊聚類分析數據標準化

設論域X={x1,x2,…,xn}為被分類對象,每個對象又由m個指標表示其形狀:xi

={xi1,xi2,…,xim},i=1,2,…,n於是,得到原始數據矩陣為平移•

標準差變換其中平移•

極差變換模糊相似矩陣建立方法相似係數法----夾角余弦法相似係數法----相關係數法其中距離法rij=1–cd(xi,xj)其中c為適當選取的參數.海明距離歐氏距離切比雪夫距離d(xi,xj)=∨{|xik-

xjk|,1≤k≤m}Boole矩陣法：

定理：設R是論域X={x1,x2,…,xn}上的一個相似的Boole矩陣，則R具有傳遞性(當R是等價Boole矩陣時)

矩陣R在任一排列下的矩陣都沒有形如的特殊子矩陣.Boole矩陣法的步驟如下：(1)求模糊相似矩陣的

-截矩陣R

；(2)若R

在某一排列下的矩陣有形如的特殊子矩陣,則將R

中上述特殊形式子矩陣的0改為1，直到在任一排列下R

中不再產生上述特殊形式子矩陣為止.最佳分類的確定

在模糊聚類分析中，對於各個不同的

∈[0,1]，可得到不同的分類，從而形成一種動態聚類圖，這對全面瞭解樣本分類情況是比較形象和直觀的.

但在許多實際問題中，需要給出樣本的一個具體分類，這就提出了如何確定最佳分類的問題.

設X

=(xij)n×m為n個元素m個指標的原始數據矩陣.

為總體樣本的中心向量.

對應於

值的分類數為r，第j類的樣本數為nj，第j類的樣本標記為第j類樣本的中心向量為作F-

統計量：

如果滿足不等式F＞F

(r-1,n-r)的F值不止一個，則可根據實際情況選擇一個滿意的分類，或者進一步考查差(F-F

)/F

的大小，從較大者中找一個滿意的F值即可.

實際上，最佳分類的確定方法與聚類方法無關，但是選擇較好的聚類方法，可以較快地找到比較滿意的分類.

模糊模型識別§3.1模糊模型識別模型識別

已知某類事物的若干標準模型，現有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.

模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學生到野外採集到一個植物標本，要識別它屬於哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵遞區號等等，這些都是模型識別.模糊模型識別

所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標準模型庫中提供的模型是模糊的.模型識別的原理

為了能識別待判斷的對象x=(x1,x2,…,xn)T是屬於已知類A1,A2,…,Am中的哪一類？

事先必須要有一個一般規則,一旦知道了x的值,便能根據這個規則立即作出判斷,稱這樣的一個規則為判別規則.

判別規則往往通過的某個函數來表達,我們把它稱為判別函數,記作W(i;x).

一旦知道了判別函數並確定了判別規則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗你的判別函數和判別規則是否正確.§3.2最大隸屬原則模糊向量的內積與外積

定義稱向量a=(a1,a2,…,an)是模糊向量,其中0≤ai≤1.

若ai只取0或1,則稱a=(a1,a2,…,an)是Boole向量.

設a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn)都是模糊向量，則定義

內積：a

°

b

=∨{(ak∧bk)|1≤k≤n}；

外積：a⊙b

=∧{(ak∨bk)|1≤k≤n}.內積與外積的性質(a

°

b

)c=ac⊙bc

;(a⊙b

)c=ac

°

bc.模糊向量集合族

設A1,A2,…,An是論域X上的n個模糊子集,稱以模糊集A1,A2,…,An為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為A=(A1,A2,…,An).

若X上的n個模糊子集A1,A2,…,An的隸屬函數分別為A1(x),A2(x),…,An(x),則定義模糊向量集合族A=(A1,A2,…,An)的隸屬函數為A(x)=∧{A1(x1),A2(x2),…,An(xn)}或者A(x)=[A1(x1)+A2(x2)+…+An(xn)]/n.其中x=(x1,x2,…,xn)為普通向量.最大隸屬原則

最大隸屬原則Ⅰ設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,有k∈{1,2,…,m},使得Ak(x0)=∨{A1(x0),A2(x0),…,Am(x0)}，則認為x0相對隸屬於Ak.

最大隸屬原則Ⅱ設論域X上有一個標準模型A,待識別的對象有n個：x1,x2,…,xn∈X,

如果有某個xk滿足A(xk)=∨{A(x1),A(x2),…,A(xn)},

則應優先錄取xk.

例1在論域X=[0,100]分數上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優”,B=“良”,C=“差”.當一位同學的成績為88分時,這個成績是屬於哪一類？A(88)=0.8B(88)=0.7A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.

根據最大隸屬原則Ⅰ,88分這個成績應隸屬於A,即為“優”.

例2

論域X={x1(71),x2(74),x3(78)}表示三個學生的成績,那一位學生的成績最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根據最大隸屬原則Ⅱ，x1(71)最差.例3細胞染色體形狀的模糊識別

細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常常化為若干個三角圖形,故設論域為三角形全體.即X={(A,B,C)|A+B+C=180,A≥B≥C}

標準模型庫={E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.

某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應隸屬於哪一種三角形？先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數.

直角三角形的隸屬函數R(A,B,C)應滿足下列約束條件：

(1)當A=90時,R(A,B,C)=1;(2)當A=180時,R(A,B,C)=0;(3)0≤R(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義R(A,B,C)=1-|A-90|/90.則R(x0)=0.955.

或者其中p=|A–90|則R(x0)=0.54.

正三角形的隸屬函數E(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B=C=60時,E(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=C=0時,E(A,B,C)=0;(3)0≤E(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義E(A,B,C)=1–(A–

C)/180.則E(x0)=0.677.

或者其中p=A–C

則E(x0)=0.02.

等腰三角形的隸屬函數I(A,B,C)應滿足下列約束條件：(1)當A=B或者B=C時,I(A,B,C)=1;(2)當A=180,B=60,C=0時,I(A,B,C)=0;(3)0≤I(A,B,C)≤1.

因此，不妨定義I(A,B,C)=1–[(A–

B)∧(B–

C)]/60.則I(x0)=0.766.

或者

p=(A–

B)∧(B–

C)則I(x0)=0.10.等腰直角三角形的隸屬函數(I∩R)(A,B,C)=I(A,B,C)∧R(A,B,C);(I∩R)(x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數T(A,B,C)=Ic∩Rc∩Ec=(I∪R∪E)c.T(x0)=(0.766∨0.955∨0.677)c=(0.955)c=0.045.

通過以上計算,R(x0)=0.955最大,所以x0應隸屬於直角三角形.

或者(I∩R)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0應隸屬於直角三角形.例4大學生體質水準的模糊識別.

陳蓓菲等人在福建農學院對240名男生的體質水準按《中國學生體質健康調查研究》手冊上的規定,從18項體測指標中選出了反映體質水準的4個主要指標(身高、體重、胸圍、肺活量),根據聚類分析法,將240名男生分成5類：A1(體質差),A2(體質中下),A3(體質中),A4(體質良),A5

(體質優),作為論域U(大學生)上的一個標準模型庫,然後用最大隸屬原則,去識別一個具體學生的體質.5類標準體質的4個主要指標的觀測數據如下表所示.身高(cm)體重(kg)胸圍(cm)肺活量(cm3)A1158.4±3.047.9±8.484.2±2.43380±184A2163.4±4.850.0±8.689.0±6.23866±800A3166.9±3.655.3±9.488.3±7.04128±526A4172.6±4.657.7±8.289.2±6.44349±402A5178.4±4.261.9±8.690.9±8.04536±756

現有一名待識別的大學生x={x1,x2,x3,x4}={175,55.1,86,3900}，他應屬於哪種類型？閾值原則

設論域X={x1,x2,…,xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am(即m個模型),構成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,取定水準

∈[0,1].

若存在i1,i2,…,ik,使Aij(x0)≥

(j=1,2,…,k),則判決為：x0相對隸屬於

若∨{Ak(x0)|k=1,2,…,m}＜

,則判決為：不能識別,應當找原因另作分析.

該方法也適用於判別x0是否隸屬於標準模型Ak.若Ak(x0)≥

,則判決為：x0相對隸屬於Ak;

若Ak(x0)＜