高中数学常见函数正比例函数、反比例函数与对勾函数

高中数学常见函数正比例函数、反比例函数与对勾函数汇报人：XXX2024-01-22目录函数概念与性质正比例函数反比例函数对勾函数函数图像变换与组合函数在实际问题中应用函数概念与性质01设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。解析法、列表法和图象法。函数定义函数的表示方法函数定义及表示方法单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。奇偶性一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。周期性对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。函数性质：单调性、奇偶性、周期性初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所得到的函数。如一次函数、二次函数、反比例函数、正比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等都是初等函数。复合函数设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量（即函数）。复合函数与初等函数正比例函数02正比例函数是形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数。其中，x是自变量，y是因变量，k是比例系数。正比例函数的图像是一条经过原点的直线，其斜率为k。当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。定义图像特征正比例函数定义及图像特征01比例性正比例函数中，y与x的比值是一个常数，即y/x=k。02线性关系正比例函数的图像是一条直线，表示y与x之间存在线性关系。03过原点正比例函数的图像必定经过坐标原点。正比例函数性质分析物理学中的应用01在物理学中，许多物理量之间的关系可以用正比例函数来表示，如速度与时间的关系、力与加速度的关系等。02经济学中的应用在经济学中，正比例函数可以用来描述某些经济变量之间的关系，如收入与消费的关系、投资与收益的关系等。03工程学中的应用在工程学中，正比例函数可以用来描述某些工程参数之间的关系，如电压与电流的关系、压力与流量的关系等。正比例函数应用举例反比例函数03形如$y=frac{k}{x}$(其中$k$为非零常数)的函数称为反比例函数。反比例函数的图像是双曲线，且以原点为对称中心。当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。反比例函数定义及图像特征图像特征定义123$k$的绝对值决定了双曲线与坐标轴的远近程度，$k$的正负决定了双曲线所在的象限。比例系数$k$的意义反比例函数在各自象限内，随着$x$的增大而减小。增减性反比例函数的图像关于原点对称，即对于任意一点$(x,y)$在图像上，点$(-x,-y)$也在图像上。对称性反比例函数性质分析速度问题若一个物体沿直线做匀速运动，其速度$v$与时间$t$之间的关系可以表示为$v=frac{s}{t}$，其中$s$为定值，这也是一个反比例函数关系。面积问题若一个矩形的面积为定值$S$，则其长$l$与宽$w$之间的关系可以表示为$l=frac{S}{w}$，这是一个反比例函数关系。电阻问题在电路中，若电压$U$保持不变，则电阻$R$与电流$I$之间的关系可以表示为$R=frac{U}{I}$，这也是一个反比例函数关系。反比例函数应用举例对勾函数04对勾函数是一种形如$f(x)=ax+frac{b}{x}$（$a,b$为常数，且$ab>0$）的函数。定义对勾函数的图像关于原点对称，且当$x>0$时，函数图像在第一象限内单调递增；当$x<0$时，函数图像在第三象限内单调递减。图像特征对勾函数定义及图像特征03值域当$x>0$时，对勾函数的值域为$[2sqrt{ab},+infty)$；当$x<0$时，对勾函数的值域为$(-infty,-2sqrt{ab}]$。01奇偶性对勾函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。02单调性在$(0,+infty)$和$(-infty,0)$上，对勾函数都是单调递增的。对勾函数性质分析利用对勾函数的单调性，可以求出其在指定区间内的最大值或最小值。求最值通过对勾函数的性质，可以解出与对勾函数相关的不等式。解不等式对勾函数在经济学、金融学等领域中有广泛应用，如描述成本、收益等经济指标与自变量之间的关系。实际应用对勾函数应用举例函数图像变换与组合05正比例函数平移01将正比例函数图像沿x轴或y轴平移，得到新的函数图像。例如，将y=kx（k>0）的图像沿x轴向右平移a个单位，得到新的函数y=k（x-a）。反比例函数平移02将反比例函数图像沿x轴或y轴平移，得到新的函数图像。例如，将y=k/x（k>0）的图像沿x轴向右平移a个单位，得到新的函数y=k/（x-a）。对勾函数平移03将对勾函数图像沿x轴或y轴平移，得到新的函数图像。例如，将y=x+k/x（k>0）的图像沿x轴向右平移a个单位，得到新的函数y=（x-a）+k/（x-a）。平移变换通过改变正比例函数的比例系数，实现图像的伸缩变换。例如，将y=kx（k>0）的图像沿x轴方向拉伸为原来的2倍，得到新的函数y=2kx。正比例函数伸缩通过改变反比例函数的比例系数，实现图像的伸缩变换。例如，将y=k/x（k>0）的图像沿x轴方向压缩为原来的1/2，得到新的函数y=2k/x。反比例函数伸缩通过改变对勾函数的系数，实现图像的伸缩变换。例如，将y=x+k/x（k>0）的图像在保持形状不变的情况下整体放大2倍，得到新的函数y=2（x+k/x）。对勾函数伸缩伸缩变换对称变换对勾函数的图像不具有原点对称性。但是，它关于直线y=x对称。这意味着如果点(a,b)在对勾函数的图像上，那么点(b,a)也在其图像上。对勾函数对称正比例函数的图像关于原点对称。当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。正比例函数对称反比例函数的图像也关于原点对称。当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。反比例函数对称函数在实际问题中应用06在经济学中，成本函数通常表示为生产一定数量的产品所需的成本。正比例函数可以用于描述固定成本与总产量之间的关系，而反比例函数则可以描述变动成本与总产量之间的关系。成本函数收益函数表示销售产品或提供服务所获得的收入。正比例函数可以用于描述销售量与总收入之间的线性关系，而对勾函数则可以描述价格与销售量之间的非线性关系。收益函数经济学中应用：成本、收益等模型建立速度与时间关系在物理学中，速度可以表示为距离与时间的比值。正比例函数可以用于描述匀速直线运动中速度与时间的关系，而反比例函数则可以描述某些非匀速运动中的速度与时间的关系。加速度与时间关系加速度是速度的变化率，也可以表示为时间的函数。对勾函数可以描述某些复杂运动中的加速度与时间的关系，如简谐振动等。物理学中应用：速度、加速度等关系描述工程学在工程学中，正比例函数可以用于描述某些材料的应力与应变之间的关系，而反比例函数则可以描述某些电子元件的