新疆2021届高考数学第二次诊断性测试试卷(理科)(含答案解析)

新疆2021届高考数学第二次诊断性测试试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.己知"受=愚共屣碌凯6耀，其中片是虚数单位，则渤开朋=()

S

A.-1B.1C.2D.3

2.已知集合4={x|xeN,xW4},B=[x\x&N,x>1}.则4nB等于（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3}

C.{2,3,4}D.{x|l<x<4,xGR}

3.在△ABC中，^\AB+AC\=\AB-AC\<则乙1=()

A.nB.7C.7D.7

4.已知%>y,则下列各不等式中一定成立的是()

A.x2>y2B，>；C.(¥>(#D.3+3-y>2

5.算法流程图如图所示，若输入x=-l,n=3,其输出结果是()

/■/

A.-4I工I

B.4If•口

广号I1

C.—3

[]

D.5

6,下列语句是命题的是()

A.函数/(x)=是奇函数吗？B.x<1

C.求函数/(%)=log2x+1的零点D.1g(x|0<x<1}

y

7.椭圆搐+^=l(a>b>0)的左顶点A,下、上顶点B、C,右焦点F,

D

AC与2F交于。，若|BF|=?DF|,则椭圆的离心率等于()Fx

IB

B.立

2

cJ-3

D.更

3

8.如图，在矩形48co中，AB=8,BC=16,将矩形ABC。沿EFD'

折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）、D

A.6

B—XZ.....…;c

B.12I

E

C.2V5

D.4V5

9.已知sina-cosa=则sin2a=（）

4

A.叱B,CTD.一总

432

10.先后掷子（骰的六面分别标1、2、3、4、5,6个点）两次，落在水平桌后，记正面朝上数分别为

x、y,设事件A为“％+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且x*y"，则概P（B|Z）=（）

〜C-45D-5

11.若双曲线的标准方程为r―艺=1,则它的渐近线方程和离心率分别是（）

3664

A.y=±-x,e=-B.y=±-x,e-4

C.y=e=|D.y=±：x,e_5

434-4

12.在二网此上，,飘澈=：Q酣蔚的零点有（）个

A.0B.1C.2D.3

二、单空题（本大题共4小题，共20.（）分）

13.若。二/丁婚五，贝心/一今6）展开式的常数项为______

14.函数y=（《G）"—+2在［—1,1］上的最大值为______.

B

15.如图，在直角△ABC中，=|,BC=2,M是BC的中点,若sin/BAM=|\

31A

则4B=__.

CA

16.已知正三棱锥。-ABC的全面积为旧+3,底面边长为2,三角形△ABC的中心为力，则以。为

球心，。。为半径的球的表面积为_.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知数列｛0｝的前"项和为先,且％=工修®A耀）对一切

正整数〃成立

(1)求出数列｛即｝的通项公式；

sy,

(2)设献=三嚓，求数列限4；的前八项和置.

18.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服

务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某

部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问

卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照［50,60),［60,70),…，［90,100］

分成5组，制成如图所示频率分直方图.

(1)根据频率分布直方图求中位数

(2)已知满意度评分值在［90,100］内的男生数与女生数的比为2:1,若在满意度评分值为［90,100］

的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中恰有一名女生的概率.

19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M,

N两点，且|MN|=8.

(I)求抛物线C的方程；

(II)设直线I为抛物线C的切线且1//MN,求直线I的方程.

Ci

20.如图，在直三棱柱中，^BAC=90°,AB=BBr=a,直

线B］C与平面ABC成30。角.

(1)求证：平面BiAC!_平面ABBMi；

(2)求G到平面当AC的距离；

(3)求三棱锥4-AB/的体积.

21.已知函数/(x)=£+；_(a_i)/nx(a>0).

(1)求函数/'(x)的单调区间和极值；

(2)证明：当aeg,2］时，函数/'(x)没有零点(提示：ln2«0.69,ln3«1.1).

22.已知曲线G：(参数0€R)，以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极

坐标系，曲线C2的极坐标方程为pcos(。+；)=3,点Q的极坐标为(4企,力.

(1)将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q的直角坐标；

(2)设P为曲线C］上的点，求尸。中点M到曲线Q上的点的距离的最小值.

23.已知函数科：d=胆蝴蒯甑潴辘傅密-麴族,其中雄为使械师忒能在阳=电时取得最大值的

最小正整数.

(1)求锻的值；

(2)设府酬的三边长潮、曲、富；满足浸一甑,，且边愚所对的角渊的取值集合为，或，当扁图，,时，

求对於.点的值域.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：试题分析：因为，-----=物#哪%■为国鹭b所以，翦一遍=勘普成，

$

由复数相等的条件，燔=一工散=色，所以，磔外额=1,选心

考点：复数的代数运算，复数的概念。

点评：简单题，复数的实部、虚部分别相等，则复数相等.

2.答案：C

解析：解：；A={x|x6N,久W4}={0,1,2,3,4},B-{x\xeN,x>1},

AC\B={2,3,4},

故选：C.

直接利用查两个集合的交集的定义求得AnB.

本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.

3.答案：B

解析：解：根据向量加法及减法的几何意义可知，以荏，而为邻边的平行四边形为矩形

1

A=-71

2

故选：B.

根据向量加法及减法的几何意义可知，以荏，而为邻边的平行四边形为矩形，即可求解

本题主要考查了平面向量的基本预算的几何意义的简单应用，属于基础试题

4.答案：D

解析：解：由x>y,取x=l,y=-l可排除AC,

取x=2,y=1可排除B.

故选：D.

根据x>y,取x=l,y=-l^fllx=2,y=l即可排除错误选项.

本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

5.答案:A

解析：解：模拟执行程序，可得

x=-1,71=3,S=6,i=2

满足条件i>0,S=—3,i=1

满足条件i20,S=5,i=0

满足条件i20，S=-4,i=-1

不满足条件iNO,退出循环，输出S的值为-4.

故选：A.

执行程序，根据流程依次写出每次循环得到的S,i的值，当i=-l时，不满足条件，

i>0,退出循环，输出S的值为-4.

本题主要考查了程序框图和算法，根据流程依次写出每次循环得到的S,,•的值是解题的关键，属于

基本知识的考查.

6.答案：D

解析：解：命题是能够判断真假的陈述句，

只有。满足条件，

故选:D.

根据命题的定义进行判断即可.

本题主要考查命题的判断，结合命题的定义是解决本题的关键.比较基础.

7.答案：A

解析：

本题考查椭圆的方程和性质，考查两直线的交点，以及向量的共线问题，考查离心率公式的运用，

考查运算能力，属于基础题.

求出A,B,C,F的坐标，求得直线AC,BF的方程，求得交点。的坐标，再由前=［而，运用向

量的坐标得到a,c的方程，解得a=2c,再由离心率公式，即可得到离心率.

解:由于4(—a,0),8(0,一瓦),C(O,b),F(c,O),

则有直线AC：—+^=1,直线BP：-+^-=1,

-abc-b

联立两直线方程，解得，X=—,y=@型，

a-cJa-c

即有0停£,空当，

a-ca-c

由于丽=;而，

则有c=：(言-c),

化简可得，Q=2c,

则离心率6=£=；.

a2

故选A.

8.答案：D

解析：解：设BE=x,则CE=BC-BE=16-x,

•••沿EF翻折后点C与点A重合，

AE=CF=16—

^.RtABEAB2+BE2=AE2,

即82+/=(16-幻2,解得x=6,二4E=16-6=10,

由翻折的性质得，^AEF=Z.CEF,

•••矩形ABCD的对边4D〃BC,•••Z.AFE=乙CEF,：.乙4EF=乙4FE,

AE=AF=10,

过点E作EH14。于H,则四边形ABEH是矩形，

•••EH=AB=8,AH=BE=6,FH=AF-AH=10-6=4,

在Rt△EFH中，EF=yjEH2+FH2=V64+16=4A/5.

故选：D.

设BE=x,表示出CE=16—x,根据翻折的性质可得4E=CE,然后在RtAABE中，利用勾股定理

列出方程求出x,再根据翻折的性质可得NAEF=ZCEF,根据两直线平行，内错角相等可得NAFE=

NCEF,然后求出乙4EF=44FE,根据等角对等边可得力E=AF,过点E作EHJ./W于H,可得四

边形A8E”是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH,然后求出再利用勾股定理列式计算即可得

解.

本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意函数知识在生产生活中的实际应用，注意用数学

知识解决实际问题能力的培养.

9.答案：C

解析：解：因为sina-cosa=-9,

4

所以两边平方可得：sin2a—2sinacosa+cos2a=—,

16

所以sizi2a=---.

16

故选C.

已知条件两边平方化简即可.

本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力.

10.答案:B

解析：

根据题意，利用事件的概率式，别求事件A的概率与事件A、同时发生的概率，用件率式加以计，

可(B|4)的值.本给出掷骰子的事件，求件概率.着重随件概率公、条概率的计算等知识，属于中档

题.

据题意若事A为“x+y偶数”发生，x、y两个数均奇数或均为偶数.

共有2x3x3=18个基本事件，

二事件A的概率为PQ4)=黑=

而AB同时发生共有6个基本事件，

此时4、B同时发生的概率为P(AB)

oXo6

因此，在事件A发生情况下，8发的概率为「(3|4)=甥=]=；

23

故选：B

11.答案：A

解析：解：双曲线的标准方程为兰-日=1,

3664

可得Q=6,b=8,c=〃2+>2=-36+64=10,

即有渐近线方程为y=±gx,e=(=|.

故选：A.

求得双曲线方程的“，b,c,由渐近线方程y=±gx,和离心率e=?即可得到所求.

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率求法，掌握双曲线的基本量mb,c的

关系是关键.

12.答案：C

解析：试题分析：在一姆阑上，巽球得需=1•或富=-'"

考点：函数零点

点评：函数零点是使函数值等于零的x的值

13.答案：240

解析：解：若。=《"3靖西=/|料=e'n3—e°=2,贝1」(一一*6=(%2_$6,

它的展开式通项公式为Tr+i=凄•（―2）『•炉2-3、令12-3r=0,求得r=4,

可得它的展开式的常数项为缠-16=240,

故答案为：240.

求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的事指数等于0,求出r的值，即可求得常

数项.

本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中

档题.

14.答案：2018

解析：解：因为函数y=（短尸，和函数y=—巧！在［一1,1］上均为减函数，

所以函数数y=（高尸-^在上为减函数，

所以当x=-1时，函数有最大值为（短）T-APTTI=2019-1=2018.

故答案为：2018.

先判断函数的单调性，再根据单调性求最大值.

本题主要考查函数的单调性与最值，属于基础题.

15.答案:V6

B

解析：解：如图，设=AB=c,CM=MB=£=1，乙MAC=0,1K^\

BMCIn\\

在4中，由正弦定理可得而旃=诉而=三=3,

3CA

解得sin乙4MB=j,

故cos/?=cos（^—Z.AMC）=sinZ-AMC=sin（7r—"MB）=sinZ-AMB=j,

ACh

而在RTAACM中，cos/3=—=

故可得高,

再由勾股定理可得。2+炉=c2,即C=WT"，

故9b2=（l+b2）（4+b2）,

解得b-V2,可得4B=c=V4+b2=V4+2=V6.

故答案为：V6.

作出图象，设出未知量，在△力BM中，由正弦定理可得sin乙4MB=：,进而可得cos/?=sin乙4MB,

在R7A4CM中，还可得cosW=*5,再由勾股定理可得c=VTT形，继而解得6的值，进而可求

AB的值.

本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题.

16.答案:y

••,底面正三角形边长为2,

Suge=V3>

・•,正三棱锥全面积为国+3，

AS^OBC=1'

・••0E—1,

又在正三角形ABC中，DE=2X组=@,

63

0D=-3,

•••S球=4兀X0D2=y,

故答案为：y

利用全面积与底边可得侧面积，从而得斜高，结合底面正三角形和重心定理，求得OC,进而得解.

此题考查了三棱锥的面积，球的面积，难度不大.

17.答案：⑴魄=董鬻鹏一领2）二鼠=辑苗耀_®警潮_里13

解析：试题分析：（i）%=:承®张欧30.冤=飙「勃冷于是可利用,髭与即、的关系求得数列疑侬的

递推公式

魄寓=酗/整n触:%&=怎睡普重得到数列俗小晦是等比数列，从而求得数列艇金的通项公式;

(2)根据数列糜1的通项公式起=*瞥-糜的特点，对其前次项的和采用拆项求和的办法、

<-嚼曲等n唠-麻外…M斜野_脸

=触感#制媛>皴嚎竹…曷%-燮，一0哥整读外…开嘲

前一部分用错位相减法求和，后一部分正是等差数的前:a项和，从而求得竭

试题解析：

解：(1)由已知得黑=筮鼠-缴犷圈讯=妈曲-Sfeilii,于是可利用僦与％的关系求得数列展侬

的递推公式

两式相减并整理得：叫闻=瓢馥*胃

所以笔书现双=翼%、"H■毒，又:雕=趣=飙厂氟畅=学，可知3#：叫京顾，进而可知:外,北整利@

所以当¥=雪，故数列俗普咄是首项为6,公比为2的等比数列，

所以触飒=蛛潸叫即魄=淘落-既

(2理=苗驾"_4=*劈_跳

设.%=：1蜷导徵譬外罡方:费『…斗，即皆①

则为葭=次密不叙:密t豚管带…件於赍4②

由②一①得：鼻=-『笈普善朴蜜朴…朴常朴斜^一丝对朴吟劈戒=幻％；-凌.普凰

**vv

=^,-hisn#…，普蟠=既在诙-购督期-空il

匕5yvvy为

考点：1、数列的递推公式、通项公式；2、等差数列及等比数；3、特列数列的求和方法(拆项重组

与错位相减法)的应用.

18.答案：解:(1)设中位数为风

则(0.008+0.021)X10+(m-70)X0.035=0.5,

解得?n=76.

所以中位数为76.

（2）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）x10=1解得x=0.006.

所以满意度评分值在［90,100］内有100x0.006x10=6人，

又因为满意度评分值在［90,100］内的男生数与女生数的比为2:1,

所以女生2人，男生4人.

设其中女生为由,a2,男生为瓦，b2,b3,b4.

从中任取两人，所有的基本事件为：

（01»。2），（%,瓦）,

（。2也），（。2,无）,（。2也），@也），

（瓦也），（瓦，/），（瓦，儿），

(°2,3)，（如力4），（历,九）共15个,

恰有1名女生有:

（%,瓦）,（。1也），（%也），（火也），

（。2,瓦），（。2也），@也），&也）共8个.

所以，抽取的两人中恰有一名女生的概率为卷.

解析：本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数和古典概型的计算与应用.

（1）利用频率分布直方图，结合中位数的概念计算得结论；

（2）利用古典概型的计算得结论.

19.答案：解：（1）由题可知Fg,0）,则该直线MN的方程为：y=x-^,

代入V=2px,化简可得/_3Px+^-=0.

设MOi，%),N(x2,y2)>则有%i=%2=3p.

\MN\=8,.•.有X]+x2+p=8>解得p=2,

抛物线的方程为:y2=4x.

(2)设/方程为y=x+b,代入y2=叙，可得/+(2b-4)x+/=0,

因为/为抛物线C的切线，解得b=l,

.•」的方程为：y=x+l.

解析：(1)由题可知直线MN的方程为：丫=%-今代入y2=2px化简，利用韦达定理以及抛物线的

定义、|MN|=8求得p的值，可得抛物线的方程.

(2)设/方程为y=x+b,代入y2=4x化简，再利用判别式△=0,解得b的值，可得/的方程.

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.

20.答案：解：(1)证明：由直三棱柱性质，BiB,平面ABC,ACABC

：.B]B1AC,

又841AC,BrBnBA=B,

AC1平面ABBAAA,

又4cu平面B14C,

二平面BMC，平面

(2)解：•••AC"/",41cle平面(AC,ACu平面々AC

4G〃平面B/C

G到平面B14C的距离就是求公到平面B1AC的距离

过久做_LBi4,垂足为M,连接CM,

•••平面BMC1•平面ABBM，且平面々ACn平面ABBiAi=BrA,

：._L平面BMC.

从而AC=又4iM=^a,sinA^CM——y

•••Ci到平面的距离为乎

(3)解：•••直线BiC与平面ABC成30。角，

・•・乙B1cB=30°.

可得当C=2a,BC=V3a,

勿1-4B1C=VB,-ABC=3x2XaX夜axa=%-a3

解析：⑴由直三棱柱性质，1平面ABC,ACu平面ABC,根据线面垂直的性质可知J.AC,

又B4_L4C,B^OBA=8,根据线面垂直的判定可知可知AC1平面ABBMi，又ACu平面B14C,

根据面面垂直的判定定理可得结论；

(2)根据41ci〃AC,&CiC平面/4C,ACu平面&4C,满足线面平行的判定定理，则41cl〃平面B〃C,

则G到平面B/C的距离就是求必到平面8遇。的距离，过久做垂足为M,连接CM,

根据面面垂直的性质可知工平面/AC,求出即为所求；

(3)根据直线81c与平面ABC成30。则NBiCB=30°,可得B1C=2a,BC=V3a,然后根据匕1TBic=

VB1.ABC,从而求出所求.

本题主要考查了面面垂直的判定，以及点到平面距离的度量和三棱锥体积的计算，同时考查了转化

的数学思想，属于中档题.

21.答案：解：(1)/(x)=[x+y-(a2-l)Znx].

J、'ax2

,・,%>0,%e(0,a2)时，f'(x)<0,

x6(a2,+8)时,f(x)>0,

・•・f(x)在(0,。2)上单调递减，在(Q2,+8)上单调递增，

・•・x=M时，/(%)取极小值/(Q2)=i[a24-1-(a2-l)Zna2]；

(2)由⑴得:X=Q2时，f(%)取极小值也是最小值,

/(a2)=[a2+1—(a2—l)/na2],

I1r

v-<a<2,.«.-<a2<4,

设g(x)=x+1-(x-l)/nx,(^<%<4),

则g'(x)=^-lnxf

・・・g'Q)在[5旬递减,且g'⑴>0,g'(2)v0,

••・g'(X)有唯一的零点me(1,2)，

使得g(%)在《m)递增,在0,4]递减,

又由于g(；)='一："2>o,g(4)=5-6ln2>0.

・•・g(x)>0恒成立，

从而f(小)=[a2+1-(a2-l)Zna2]>0恒成立，

则/(%)>。恒成立,

•♦•。€良2]时，函数f(x)没有零点.

解析：(1)求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

(2)得到/(a2)=[a2+1—(a2—l)/na2],由于]Sa2s4,设g(x)=x+1—(x—l)Znx,(^<x<

4),根据函数的单调性证明即可.

本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题.