集合的概念与运算例题及答案

1集合的概念与运算（一）目标：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点：1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1） 集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）-（2） 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1） 非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N,N=｛）,1,2,人｝（2） 正整数集：非负整数集内排除0的集+记作N*或N N*=｛1,2,3,人｝+（3） 整数集：全体整数的集合记作Z,Z=｛）,，1,土2,人｝（4） 有理数集：全体有理数的集合■记作Q,Q=整数与分数｝（5） 实数集：全体实数的集合•记作R R=数轴上所有点所对应的数｝注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集+记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示,例如，整数集内排除0的集，表示成Z*知识点3、元素与集合关系（隶属）（1） 属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作aGA（2） 不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a电A注意：“G”的开口方向，不能把aGA颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1） 确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可-（2） 互异性：集合中的元素没有重复-3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗（1） 所有很大的实数・（不确定）（2） 好心的人+ （不确定）（3） 1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b是非零实数那么一+2、设a,b是非零实数ab3、由实数x,—x,|x|,x2,7x3所组成的集合，最多含（A）-（A）2个兀素（B）3个兀素（C）4个兀素（D）5个兀素4、设集合G中的元素是所有形如a+b\2（aGZ,bGZ）的数，求证:⑴当xWN时，xGG;1（2）若xGG,yWG,则x+y£G,而 不一定属于集合G.x证明⑴：在a+b「2（aGZ,bGZ）中，令a=x£N,b=0,则x=x+0*、：2二a+b\：2WG,即xWG证明(2)：TxWG，y£G，/.x=a+b、：2(aWZ,bWZ),y=c+d*2(cWZ,dWZ)/.x+y=(a+b )+(c+d2)=(a+c)+(b+d)“2■/aGZ,bGZ,c£Z,dGZ/.(a+c)WZ,(b+d)WZ/.x+y=(a+c)+(b+d) 2WG，1a1a+by2aa2-2b2-ba2-2b2aa2-aa2-2b2-b 不一定都是整数,a2-2b2aa2-2b2+哥迈不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程x2-1=0的所有解组成的集合，可以表示为｛-1,1｝注：(1)有些集合亦可如下表示：从51至到100的所有整数组成的集合：｛51,52,53,・・・，100｝所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,a与｛a｝不同：a表示-一个元素，｛a｝表示—个集合，该集合只有一个元素*(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的方法+格式：｛xWA|P(x)｝含义：在集合A中满足条件P(x)的x的集合•例如，不等式x-3>2的解集可以表示为：｛xeRIx-3>2｝或｛xIx-3>2｝所有直角三角形的集合可以表示为：｛xIx是直角三角形｝注：(1)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：｛直角三角形｝；｛大于104的实数｝(2)错误表示法：｛实数集｝；｛全体实数｝、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法何时用描述法⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 ■如：集合｛x2,3x+2,5y3一x,x2+y2｝⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法*如：集合｛(x,y)Iy=x2+1｝；集合｛1000以内的质数｝例集合｛(x,y)Iy=x2+1｝与集合｛yIy=x2+1｝是同一个集合吗答：不是”因为集合｛(x,y)Iy=x2+1｝是抛物线y=x2+1上所有的点构成的集合，集合｛yIy=x2+1｝二｛yIy>1｝是函数y=x2+1的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合②{-2,-4,-6,-8,-10}②{-2,-4,-6,-8,-10}{xIx=-2n,ngN且n<5}2、用列举法表示下列集合①{xWN|x是15的约数} {1,3,5,15}@{(x,y)|xW{1,2},yW{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}注：防止把{(1,2)}写成{1,2}或{x=1,y=2}③{(③{(x,y)I吟-1)}④{xIx=(-1)n,ngN} {-1,1}{(x,y)I3x+2y=16,xgN,ygN} {(0,8)(2,5),(4,2)}{(x,y)Ix,y分别是4的正整数约数}｛(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)｝3、 关于x的方程ax+b=0,当a,b满足条件 时，解集是有限集；当a,b满足条件 时，解集是无限集■4、 用描述法表示下列集合：(1){1,5,25,125,625}=1 2 3 4⑵{°’士2,士5,士10,士17,……}=巩固提升：1、 数集x,x2-x｝中元素x所满足的条件是_2、 已知A -3,2a-1,a2+1｝其中agR,⑴若-3gA，求实数a的值；⑵当a为何值时，集合A的表示不正确。3、已知集合A二+2,2a2+a｝若3gA，求a的值。变式：已知集合A二变式：已知集合A二gRIax2-3x+2=0,agR⑴若A是空集，求a的取值范围；⑵若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来;⑶若A中至多有一个元素，求a的取值范围BB的关系。5、^^a,bwZ4、设集合A二｛iIa=n2+1,ngN｝，集合B Ib二k2-4k+5,kgN｝，若agA，试判断a与集合集合P=[y）I（x—a）2+3b<6y|点（2,1）wP，点（1,0）纟P,点（3,2）纟P，求a,b的值。知识点7、集合的分类：（1） 有限集：含有有限个元素的集合■（2） 无限集：含有无限个元素的集合.（3） 空集：不含任何元素的集合记作①，如：｛xgRIx2+1二0｝知识点8、集合与集合之间的关系：（一）、子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A记作：A匸B或B二A，AuB或B二A读作：A包含于B或B包含A若任意xgAnxgB,贝9a匸B当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A工B或BgA注：A匸B有两种可能（1）A是B的一部分，,（2）A与B是同一集合*（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A二B.（3） 真子集：对于两个集合A与B，如果A匸B，并且A丰B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A三B或B^A,读作A真包含于B或B真包含A（4） 子集与真子集符号的方向 如A匸B与BgA同义；A匸B与AgB不同（5） 空集是任何集合的子集①匚A规定：空集是任何非空集合的真子集•①三A若A壬①，则①三A任何一个集合是它本身的子集.A匸A（6） 易混符号：①“g”与“匸”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如1gN,—1EN,N匸R,

①匸R,{1}匸{1,2,3}②{0}与①：{0}是含有一个元素0的集合，①是不含任何元素的集 合+女口①U{0}不能写成①二{0},①^{0}例题精析3：(1)写出N,Z,Q,R的包含关系，并用文氏图表示.(2)判断下列写法是否正确①①UA②①三A③A匸A解(1)：NuZuQuR(2)①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误(1)填空：N___Z,N___Q,R___Z, R___Q,①___{0}若A={xGR|x2-3x-4=0},B二{xWZ||x|<10},则AUB正确吗是否对任意一个集合A,都有AUA,为什么集合{a,b}的子集有那些高一(1)班同学组成的集合A,高一年级同学组成的集合B,则A、B的关系为 解：(1)NuZ,NuQ,R二Z,R二Q,①三{0}VA={xGR|x2—3x—4=0}={—1,4},B={xEZ||x|<10}={-9,—8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}•••AUB正确对任意一个集合A,都有AUA,集合{a,b}的子集有：①、{a}、{b}、{a,b}A、B的关系为AUB.3解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来.解：{xWR|x+3<2}={xWR|x<—1}.巩固提升：1、设A={l,2},B={xIxuA},问A与B是什么关系并用列举法写出集合B2、已知集合P={y=x2+1},Q二{yIy二x2+1},E={xIy=x2+1},D)F={(x,y)Iy=x2+1},G二{xIx>1}，则D)(A)P二F(A)P二F解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．k1 k13、 设集合M={xIx=—+—,keZ}, N={xIx=—+—,keZ}，则(B)24 42(A)M二N (B)M电N (C)MqN4、 若集合A={xIx2+ax+1=0,xer},集合B={l,2},且A匸B,求实数a的取值范围.([-2,2))5、 已知M={xI2x2-5x-3=0},N={xImx=1},若N匸M,则适合条件的实数m的集合P为{0,-2,3}；P的子集有旦个；P的非空真子集有个.6、 已知：f(x)=x2+ax+b,A={xIf(x)=2x}={2},则实数a、b的值分别为-2,4.(二)全集与补集1补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A匸S),由s中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作CA,S即CA={xIxeS,且x纟A}S2、 性质：C(CA)=A,CS=0,C0=SSS S S3、 全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示'例题精析3：1、 (1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求C0若A={0}，求证：CA=N*N求证：CQ是无理数集*R解(1)TS二{1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},•••由补集的定义得CsA={2,4,6}证明(2)TA二{0},N二{0,1,2,3,4,■■■},“*二{1,2,3,4,■■■}•••由补集的定义得CA=N*N证明(3)VQ是有理数集合，R是实数集合•••由补集的定义得CrQ是无理数集合.2、 已知全集U=R，集合A={x|1W2x+1V9},求CUA-解：TA={xI1W2x+1V9}={x|0WXV4},U=R*•••CuA={x|x<0,或x+3、已知S={x|—1Wx+2<8},A={x|—2<1—xW1},B={x|5<2x—1<11},讨论A与CB的关系*S解:■.■S={x|—3Wx<6},A={x|0Wx<3}, B={x|3Wx<6}CB={x|—3Wx<3}S•A二CBS知识点9、子集的个数：由例与练习题，可知（1）集合{a,b}的所有子集的个数是4个，即0,{a},{b