高考数学一轮复习 专题11 函数与方程及其应用（含解析）-人教版高三数学试题

专题11函数与方程及其应用一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】eq\a\vs4\al(考点一函数零点个数、所在区间)例1.(1)设函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.(2)设函数f(x)＝eq\f(1,3)x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均有零点B．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))，(1，e)内均无零点C．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－2)的图象如图所示.因为f(1)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝－1<0，f(2)＝8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1，2).(2)法一：图象法令f(x)＝0得eq\f(1,3)x＝lnx．作出函数y＝eq\f(1,3)x和y＝lnx的图象，如图，显然y＝f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))时，函数图象是连续的，且f′(x)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,x)＝eq\f(x－3,3x)<0，所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上单调递减．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝eq\f(1,3e)＋1>0，f(1)＝eq\f(1,3)>0，f(e)＝eq\f(1,3)e－1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．【解法小结】掌握判断函数零点个数的3种方法(1)解方程法若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点．(2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．(3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数．eq\a\vs4\al(考点二函数零点的应用)考法(一)已知函数零点个数求参数范围例2.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．考法(二)已知函数零点所在区间求参数范围例3.(2019·安庆摸底)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2))【解析】∵函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，∴方程4x－2x－a＝0在[－1,1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1,1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，∵x∈[－1,1]，∴2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，2)).例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4，x≥λ，,x2－4x＋3，x<λ.))(1)当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________.(2)若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________.【答案】(1)(1，4)(2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】(1)若λ＝2，当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，解得1<x<2.综上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集为(1，4).(2)令f(x)＝0，当x≥λ时，x＝4，当x<λ时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.因为函数f(x)恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解2.利用函数零点求参数范围的步骤三、【名校新题】1.(2019·北京西城区模拟)若函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)【答案】C【解析】因为函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.2.(2019·岳阳二模)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≤0，,1＋\f(1,x)，x>0，))则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】函数y＝f(x)＋3x的零点个数就是y＝f(x)与y＝－3x两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.3.(2019·郑州质量测试)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≤0，,2x－a，x>0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]【答案】A【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0<a≤1.4.(2019·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,8) C.－eq\f(7,8) D.－eq\f(3,8)【答案】C【解析】令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(7,8).5.已知函数f(x)＝2x＋x＋1，g(x)＝log2x＋x＋1，h(x)＝log2x－1的零点依次为a，b，c，则()A.a<b<c B.a<c<bC.b<c<a D.b<a<c【答案】A【解析】令函数f(x)＝2x＋x＋1＝0，可知x<0，即a<0；令g(x)＝log2x＋x＋1＝0，则0<x<1，即0<b<1；令h(x)＝log2x－1＝0，可知x＝2，即c＝2.显然a<b<c.6.(2018·济南月考)若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A.(－∞，1) B.(1，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因为函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，所以方程x2＋2x＋a＝0无实根，即Δ＝4－4a<0，由此可得a>1.7.(2019·北京燕博园联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln（x＋1）,x3－3x))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(（x≥0），,（x<0），))若函数y＝f(x)－k有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】C【解析】当x<0时，f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，∴x＝±1(舍去正根)，故f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减.又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增.则函数f(x)图象如图所示.f(x)极大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，故当k∈(0，2)时，y＝f(x)－k有三个不同零点.8.(2019·永州模拟)已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值范围是()A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】A【解析】由于f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8.令g(a)＝a＋log2a－8，a>0.则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，∴实数a所在的区间为(5，6).9.(2018·郑州一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.令g(x)＝f(x)－kx－k，若在区间[－1，3]内，函数g(x)＝0有4个不相等实根，则实数k的取值范围是()A.(0，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))【答案】C【解析】令g(x)＝0，得f(x)＝k(x＋1)，由f(x)的周期性，作出y＝f(x)在[－1，3]上的图象如图所示.设直线y＝k1(x＋1)经过点(3，1)，则k1＝eq\f(1,4).∵直线y＝k(x＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y＝k(x＋1)与y＝f(x)的图象有4个交点，∴0<k≤eq\f(1,4).10.(2019·太原模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))【解析】依题意并结合函数f(x)的图象可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,f－1·f0<0，,f1·f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠2，,[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0，,[m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，))解得eq\f(1,4)<m<eq\f(1,2).11.已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.【答案】5【解析】由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象.由图象知y＝eq\f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，