高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数（含解析）-人教版高三数学试题

专题09对数与对数函数一、【知识精讲】1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.[微点提醒]1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限.二、【典例精练】考点一对数的运算【例1】(1)计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,4)－lg25))÷100－eq\f(1,2)＝________.(2)计算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.【答案】(1)－20(2)1【解析】(1)原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\f(1,2)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22×52)))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋log6\f(6,3)·log6（6×3）,log64)＝eq\f(1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2,log64)＝eq\f(2（1－log63）,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.【解法小结】1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图象及应用【例2】(1)函数y＝lg|x－1|的图象是()(2)已知当0<x≤eq\f(1,4)时，有eq\r(x)<logax，则实数a的取值范围为________．【答案】(1)A(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1))【解析】(1)因为y＝lg|x－1|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx－1，x>1，,lg1－x，x<1.))当x＝1时，函数无意义，故排除B、D.又当x＝2或0时，y＝0，所以A项符合题意．(2)若eq\r(x)<logax在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))时成立，则0<a<1，且y＝eq\r(x)的图象在y＝logax图象的下方，作出图象如图所示．由图象知eq\r(\f(1,4))<logaeq\f(1,4)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a>\f(1,4)，))解得eq\f(1,16)<a<1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).【解法小结】1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.考点三对数函数的性质及应用角度1对数函数的性质【例3－1】(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A.f(x)在(0，2)上单调递增B.f(x)在(0，2)上单调递减C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称【答案】C【解析】由题意知，f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋lnx＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.角度2比较大小或解简单的不等式【例3－2】(1).(2017·全国Ⅰ卷)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【答案】D【解析】令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1.则x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5).∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt（2lg3－3lg2）,lg2×lg3)＝eq\f(lgt（lg9－lg8）,lg2×lg3)>0，∴2x>3y.又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt（2lg5－5lg2）,lg2×lg5)＝eq\f(lgt（lg25－lg32）,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()A.(0，1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.(0，1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同时2a>1，∴a>eq\f(1,2).综上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).角度3对数型函数性质的综合应用【例3－3】已知函数f(x)＝loga(3－ax).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.∴3－2a>0.∴a<eq\f(3,2).又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,loga（3－a）＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.【解法小结】1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【思维升华】]1.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.【易错注意点】]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.三、【名校新题】1.(2019·武汉月考)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1【答案】D【解析】由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1.2.(2018·天津卷)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))，c＝logeq\f(1,3)eq\f(1,5)，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】logeq\f(1,3)eq\f(1,5)＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3eq\f(7,2)>log33＝1，因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(\f(1,3))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(0)＝1，故c>a>b.3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为()【答案】A【解析】由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当0<a<1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝eq\f(2,a)>2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝eq\f(2,a)<2，且x＝eq\f(2,a)>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，综上只有A满足.4.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则()A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数【答案】D【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＋x>0，,10－x>0，))得x∈(－10，10)，且f(x)＝lg(100－x2).∴f(x)是偶函数，又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lgt在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.5.(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是()【答案】D【解析】由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.因此选项D正确.6.(2019·商丘二模)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在区间(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是()【答案】A【解析】∵函数f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋b))在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当0<x<1时，g(x)＝loga(1－x)为减函数，排除C；故选A.7.(2019·武汉调研)函数f(x)＝loga(x2－4x－5)(a>1)的单调递增区间是________．【答案】(5，＋∞)【解析】由函数f(x)＝loga(x2－4x－5)，得x2－4x－5>0，得x<－1或x>5.令m(x)＝x2－4x－5，则m(x)＝(x－2)2－9，m(x)在[2，＋∞)上单调递增，又由a>1及复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)．8.(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝eq\f(5,2)，ab＝ba，则a＝________，b＝________.【答案】4,2【解析】设logba＝t，则t>1，因为t＋eq\f(1,t)＝eq\f(5,2)，所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，所以b2b＝bb2，即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.9.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1－x)＋a))是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.【答案】(－1，0)【解析】由f(x)是奇函数可得a＝－1，∴f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，定义域为(－1，1).由f(x)<0，可得0<eq\f(1＋x,1－x)<1，∴－1<x<0.10.(2019·武汉调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log2（3－x），x<2，,2x－2－1，x≥2，))若f(2－a)＝1，则f(a)＝________.【答案】-2【解析】当2－a<2，即a>0时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－eq\f(1,2)，不合题意.当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.11(2019·日照调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x<1，,log2x，x≥1，))若方程f(x)－a＝0恰有一个实根，则实数a的取值范围是________.【答案】{0}∪[2，＋∞)【解析】作出函数y＝f(x)的图象(如图所示).方程f(x)－a＝0恰有一个实根，等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝a恰有一个公共点，故a＝0或a≥2，即a的取值范围是{0}∪[2，＋∞).12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.【解析】(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x).因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝logeq\f(1,2)(－x)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，