高考数学一轮复习 练案（10）第二章 函数、导数及其应用 第七讲 对数与对数函数（含解析）-人教版高三数学试题

[练案10]第七讲对数与对数函数A组基础巩固一、单选题1．计算：(lgeq\f(1,4)－lg25)÷100－eq\f(1,2)＝(D)A．1 B．eq\f(1,10)C．－10 D．－20[解析]原式＝(lg2－2－lg52)×100eq\f(1,2)＝lg(eq\f(1,22×52))×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.故选D.2．函数y＝eq\f(1,log2x－2)的定义域是(C)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2,3)∪(3，＋∞) D．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2>0，,log2x－2≠0，))所以x>2且x≠3.3．(2020·河南郑州模拟)函数y＝3＋loga(2x＋3)的图象必经过定点的坐标为(A)A．(－1,3) B．(－1,4)C．(0,3) D．(2,2)[解析]因为当x＝－1时，y＝3＋0＝3，所以该函数的图象必经过定点(－1,3)，故选A.4．函数f(x)＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x2－4)的单调递增区间为(D)A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)[解析]函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logeq\s\do4(\f(1,2))t与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logeq\s\do4(\f(1,2))t在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.5．(2020·浙江金华模拟)已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝eq\f(1,2)，则f(－a)＝(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]f(－a)＝lgeq\f(1＋a,1－a)＝lg(eq\f(1－a,1＋a))－1＝－f(a)＝－eq\f(1,2)，故选D.6．(2020·河南洛阳尖子生联考)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(D)A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c[解析]由已知可得a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72,0<log23<log25<log27⇒log32>log52>log72⇒log32＋1>log52＋1>log72＋1⇒a>b>c.二、多选题7．在同一直角坐标系中，函数y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a>0，且a≠1)的图象不可能是(ABC)[解析]解法一：若0<a<1，则函数y＝eq\f(1,ax)是增函数，y＝loga(x＋eq\f(1,2))是减函数且其图象过点(eq\f(1,2)，0)，结合选项可知，选项D可能成立；若a>1，则y＝eq\f(1,ax)是减函数，而y＝loga(x＋eq\f(1,2))是增函数且其图象过点(eq\f(1,2)，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选A、B、C.解法二：分别取a＝eq\f(1,2)和a＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知D正确，故选A、B、C.8．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do4(\f(1,2))－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围可以是(AD)A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析]当a>0时，f(a)>f(－a)，即log2a>logeq\s\do4(\f(1,2))a，解得：a>1，当a<0时，f(a)>f(－a)即logeq\s\do4(\f(1,2))(－a)>log2(－a)，解得：－1<a<0，综上，a∈(－1,0)∪(1，＋∞)，故选A、D.三、填空题9．(2020·河南信阳质量检测)若aeq\s\up4(\f(3,4))＝eq\f(8,27)(a>0)，则logeq\s\do4(\f(2,3))a＝__4__.[解析]∵aeq\f(3,4)＝eq\f(8,27)＝(eq\f(2,3))3(a>0)，∴aeq\f(1,4)＝eq\f(2,3)，∴a＝(eq\f(2,3))4，∴logeq\s\do4(\f(2,3))a＝4.10．(2020·云南玉溪模拟)f(x)＝(logeq\s\do4(\f(1,2))a)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是eq\f(1,2)<a<1.[解析]∵f(x)＝(logeq\s\do4(\f(1,2))a)x在R上为减函数，∴0<logeq\s\do4(\f(1,2))a<1，即logeq\s\do4(\f(1,2))1<logeq\s\do4(\f(1,2))a<logeq\s\do4(\f(1,2))eq\f(1,2).∴eq\f(1,2)<a<1.11．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是__(1,2]__.[解析]当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,3＋loga2≥4，))解1<a≤2.所以实数a的取值范围为(1,2]．故填(1,2]．12．(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝__－2__.[解析]由题意得f(x)＋f(－x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1＋ln(eq\r(1＋x2)＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，f(－a)＝－2.故填－2.四、解答题13．(2020·天津一中月考)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上的最大值．[解析](1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数，当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最大值是f(1)＝log24＝2.14．已知函数f(x)＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)在[－1，＋∞)内有意义，求实数a的取值范围；(4)若函数f(x)的值域为(－∞，－1]，求实数a的值．[解析](1)由f(x)的定义域为R，知x2－2ax＋3>0的解集为R，则Δ＝4a2－12<0，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3).所以a的取值范围为(－eq\r(3)，eq\r(3))．(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－eq\r(3)或a≥eq\r(3).所以实数a的取值范围是(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)内有意义，知u(x)＝x2－2ax＋3>0对x∈[－1，＋∞)恒成立，因为y＝u(x)图象的对称轴为x＝a，所以当a<－1时，u(x)min＝u(－1)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1，,2a＋4>0，))解得－2<a<－1；当a≥－1时，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－eq\r(3)<a<eq\r(3)，所以－1≤a<eq\r(3).综上可知，a的取值范围为(－2，eq\r(3))．(4)因为y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域为[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，则有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.B组能力提升1．(多选题)(2020·山东烟台模拟)已知logaeq\f(3,4)<1(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围可以是(AD)A．(0，eq\f(3,4)) B．(eq\f(3,4)，＋∞)C．(eq\f(3,4)，1) D．(1，＋∞)[解析]∵logaeq\f(3,4)<1＝logaa，故当0<a<1时，y＝logax为减函数，0<a<eq\f(3,4)；当a>1时，y＝logax<0，∴a>1，综上知A、D正确．2．(2020·河北省定州市高三上学期期中考试)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)为(A)A．eq\f(8,9) B．eq\f(7,9)C．eq\f(5,9) D．eq\f(2,9)[解析]当x＋3＝1时，y＝－1，所以A(－2，－1)；当x＝－2时，－1＝3－2＋b，∴b＝－eq\f(10,9)，∴f(log32)＝3log32－eq\f(10,9)＝eq\f(8,9)，故选A.3．(2020·甘肃会宁模拟)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，eq\f(1,4)≤x≤4，则f(x)的最大值为(C)A．10 B．11C．12 D．13[解析]设t＝log2x，∵eq\f(1,4)≤x≤4，∴－2≤t≤2，∴f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log2x＋2)(log2x＋1)＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，令g(t)＝(t＋eq\f(3,2))2－eq\f(1,4)，－2≤t≤2，∴当t＝2，即x＝4时，g(t)取得最大值g(2)＝12，即f(x)的最大值为12，故选C.4．设a，b，c均为正数，且2a＝logeq\f(1,2)a，(eq\f(1,2))b＝logeq\s\do4(\f(1,2))b，(eq\f(1,2))c＝log2c，则(A)A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c[解析]a，b，c均为正数，将a，b，c分别看成是函数图象的交点的横坐标．分别画y＝2x，y＝(eq\f(1,2))x，y＝log2x，y＝logeq\s\do4(\f(1,2))x图象如图．由图形可知：a<b<c.故选A.5．(2020·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)＝m有解，求实数m的取值范围．[解析](1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)，所以log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx