高考数学一轮复习 练案（71）第十章 统计、统计案例 第一讲 随机抽样（含解析）-人教版高三数学试题

[练案71]第十章统计、统计案例第一讲随机抽样A组基础巩固一、单选题1．(2020·广西柳州模拟)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(C)A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样2．(2019·江西省上饶市模拟)某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率(D)A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f(1,40) D．都相等，且为eq\f(50,2019)3．(2020·云南质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有(A)A．36人 B．30人C．24人 D．18人[解析]设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x、x、3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，∴持“喜欢”态度的有6x＝36(人)．4．(2019·安徽宣城二模)一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是eq\f(2,7)，则男运动员应抽取(B)A．18人 B．16人C．14人 D．12人[解析]∵田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，∴男运动员有56人，∵每名运动员被抽到的概率都是eq\f(2,7)，∴男运动员应抽取56×eq\f(2,7)＝16(人)，故选B.5．(2019·江西省新八校高三第二次联考)某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为(B)A．35,33,30 B．36,32,30C．36,33,29 D．35,32,31[解析]先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为eq\f(18,49)，eq\f(16,49)，eq\f(15,49)，因此，各年级抽取人数分别为98×eq\f(18,49)＝36,98×eq\f(16,49)＝32,98×eq\f(15,49)＝30，故选B.6．(2020·山东新高考质量测评联盟联考)总体由编号为01,02，…，49,50的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为(B)附：第6行至第9行的随机数表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A．3 B．19C．38 D．20[解析]按题中方法选出的6个个体编号分别为41,48,28,19,16,20，故选B.7．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于(D)A．12 B．18C．24 D．36[解析]根据分层抽样方法知eq\f(n,960＋480)＝eq\f(24,960)，解得n＝36.8．(2019·河北石家庄)某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为(C)A．16 B．17C．18 D．19[解析]系统抽样的分段间隔为eq\f(1000,40)＝25，设第一组随机抽取的号码为x，则抽取的第18组的号码为x＋17×25＝443，∴x＝18.故选C.二、多选题9．(2019·江西八校联考改编)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中产品的编号可以为(ACD)A．82 B．285C．357 D．482[解析]根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以样本中产品编号为7＋25k(0≤k≤19)，所以k＝3,14,19时编号分别为82,357,482.10．(2020·三省三校(贵阳一中，云师大附中，南宁三中联考改编)某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n和m的值可以是下列四个选项中的哪组(ABD)A．n＝360，m＝14 B．n＝420，m＝15C．n＝540，m＝18 D．n＝660，m＝19[解析]某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n人，样本中的中年人为6人，则老年人为120×eq\f(6,360)＝2，青年人为eq\f(6,360)n＝eq\f(n,60)，2＋6＋eq\f(n,60)＝m⇒8＋eq\f(n,60)＝m，代入选项计算，C不符合，故选ABD.三、填空题11．某校进行教学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次为5︰3︰1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝__135__.[解析]∵eq\f(个体容量,样本容量)＝eq\f(各层个体容量,各层样本容量)，∴eq\f(45,m)＝eq\f(3,5＋3＋1)，即m＝135.12．(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取__18__件．[解析]∵eq\f(样本容量,总体个数)＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴应从丙种型号的产品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．四、解答题13．(2020·银川检测)某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq\f(5,39)，求x，y的值．[解析](1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∴eq\f(30,50)＝eq\f(m,5)，解得m＝3.抽取的样本中有研究生2人，本科生3人．从中任取2人的所有等可能基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10个，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,2)＝7个，∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq\f(7,10).(2)由题意，得eq\f(10,N)＝eq\f(5,39)，解得N＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，∴eq\f(48,80＋x)＝eq\f(20,50)＝eq\f(10,20＋y)，解得x＝40，y＝5.即x，y的值分别为40,5.14．(2019·天津市红桥区模拟)根据调查，某学校；开设了“街舞”“围棋”“武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：社团街舞围棋武术人数320240200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人．(1)求三个社团分别抽取了多少同学；(2)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．[解析](1)设三个社团分别抽取x、y、z个同学eq\f(x,320)＝eq\f(y,240)＝eq\f(z,200)＝eq\f(2,320－240)，x＝8，y＝6，z＝5，故从“街舞”，“围棋”，“武术”三个社团中分别提取了8人，6人，5人．(2)由(1)知，从“围棋”社团抽取的同学为6人，其中2位女生，则从这6位同学中任选2人，不同的结果有Ceq\o\al(2,6)＝15种，从这6位同学中任选2人，没有女生的有Ceq\o\al(2,4)＝6种，故至少有1名女同学被选中的概率P＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5).B组能力提升1．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq\f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,27)[解析]根据题意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).2．(2020·甘肃兰州一中月考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，首先将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为(C)A．7 B．9C．10 D．15[解析]从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得eq\f(236,15)≤n≤eq\f(257,10)，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.3．(2019·河北保定模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为m︰3︰2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A种型号产品抽取了45件，则m＝(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]∵用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，A种型号产品抽取了45件，又∵某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，某月生产产品数量之比依次为m︰3︰2，∴根据分层抽样的性质得eq\f(m,m＋3＋2)＝eq\f(45,120)，解得m＝3.故选C.4．(2020·四川省联诊改编)某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为__6__.[解析]n为18＋12＋6＝36的正约数，因为18︰12︰6＝3︰2︰1，所以n为6的倍数，因此n＝6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，所以n＋1为35的正约数，因此n＝6.5．(2020·内蒙古包头期末)已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查．(1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数，求随机变量X的分布列与数学期望．[解析](1)由已知，甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3︰